2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第8節(jié)函數(shù)與方程習(xí)題理（含解析）新人教A版.docx

第8節(jié)函數(shù)與方程最新考綱結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).知 識(shí) 梳 理1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn).(3)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)滿足：在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系b24ac000)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210微點(diǎn)提醒1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)0的實(shí)根.2.由函數(shù)yf(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間a，b上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)f(b)0，如圖所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點(diǎn)的充分不必要條件.基 礎(chǔ) 自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)函數(shù)f(x)lg x的零點(diǎn)是(1，0).()(2)圖象連續(xù)的函數(shù)yf(x)(xD)在區(qū)間(a，b)D內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)0.()(3)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時(shí)沒有零點(diǎn).()解析(1)f(x)lg x的零點(diǎn)是1，故(1)錯(cuò).(2)f(a)f(b)0是連續(xù)函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件，故(2)錯(cuò).答案(1)(2)(3)2.(必修1P92A2改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：x12345f(x)42147在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為()A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)解析由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x2與x3這兩個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)不同，即f(2)f(3)0，所以函數(shù)在(2，3)內(nèi)有零點(diǎn).答案B3.(必修1P112T1改編)若函數(shù)f(x)唯一的零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)內(nèi)，那么下列命題正確的是()A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)或(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)C.函數(shù)f(x)在區(qū)間2，16)上無零點(diǎn)D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，16)內(nèi)無零點(diǎn)解析由題意可確定f(x)唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(0，2)內(nèi)，故在區(qū)間2，16)內(nèi)無零點(diǎn).答案C4.(2018濟(jì)南月考)若函數(shù)f(x)x22xa沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(，1) B.(1，)C.(，1 D.1，)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x22xa沒有零點(diǎn)，所以方程x22xa0無實(shí)根，即44a1.答案B5.(2018全國卷)函數(shù)f(x)cos在0，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_.解析由題意知，cos0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，當(dāng)k0時(shí)，x；當(dāng)k1時(shí)，x；當(dāng)k2時(shí)，x，均滿足題意，所以函數(shù)f(x)在0，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.答案36.(2019西安調(diào)研)方程2x3xk的解在1，2)內(nèi)，則k的取值范圍是_.解析令函數(shù)f(x)2x3xk，則f(x)在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x3xk的解在(1，2)內(nèi)時(shí)，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5k10.又當(dāng)f(1)0時(shí)，k5.則方程2x3xk的解在1，2)內(nèi)，k的取值范圍是5，10).答案5，10)考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定【例1】 (1)設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)(2)設(shè)函數(shù)yx3與y的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，則x0所在的區(qū)間是_.解析(1)因?yàn)閥ln x與yx2在(0，)上都是增函數(shù)，所以f(x)ln xx2在(0，)上是增函數(shù)，又f(1)ln 11210，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知函數(shù)f(x)ln xx2有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi).(2)設(shè)f(x)x3，則x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)yx3與y的圖象如圖所示.因?yàn)閒(1)110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1，2).答案(1)B(2)(1，2)規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.【訓(xùn)練1】 (1)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，)內(nèi) D.(，a)和(c，)(2)函數(shù)f(x)ln x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)；因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi).(2)易知f(x)ln x在定義域(0，)上是增函數(shù)，又f(1)20.根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知函數(shù)f(x)ln x有唯一零點(diǎn)，且在區(qū)間(1，2)內(nèi).答案(1)A(2)B考點(diǎn)二確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例2】 (1)(一題多解)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.0(2)(2019安慶二模)定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，則函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(0，)內(nèi)的零點(diǎn)有()A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)解析(1)法一由f(x)0得或解得x2或xe.因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn).法二函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn).圖1(2)由f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x)，知yf(x)的周期T2.在同一坐標(biāo)系中作出yf(x)與yg(x)的圖象(如圖2).圖2由于兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn).所以函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(0，)內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn).答案(1)B(2)B規(guī)律方法函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0時(shí)，f(x)3x1有一個(gè)零點(diǎn)x.因此當(dāng)x0時(shí)，f(x)exa0只有一個(gè)實(shí)根，aex(x0)，則1a0.(2)函數(shù)g(x)f(x)xa存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)xa有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線yxa有2個(gè)交點(diǎn).作出直線yxa與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，a1，解得a1，故選C.答案(1)D(2)C規(guī)律方法1.已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：(1)直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.2.已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.【訓(xùn)練3】 (2018浙江卷)已知R，函數(shù)f(x)(1)當(dāng)2時(shí)，不等式f(x)0的解集是_.(2)若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_.解析(1)若2，當(dāng)x2時(shí)，令x40，得2x4；當(dāng)x2時(shí)，令x24x30，解得1x2.綜上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集為(1，4).(2)令f(x)0，當(dāng)x時(shí)，x4，當(dāng)x時(shí)，x24x30，解得x1或x3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合如圖函數(shù)的圖象知，14. 答案(1)(1，4)(2)(1，3(4，)思維升華1.轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用方程解的個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.2.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)通過解方程來判斷.(2)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷.(3)將函數(shù)yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷.易錯(cuò)防范1.函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程f(x)0的實(shí)根.2.函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：35分鐘)一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()A.，0 B.2，0 C. D.0解析當(dāng)x1時(shí)，令f(x)2x10，解得x0；當(dāng)x1時(shí)，令f(x)1log2x0，解得x，又因?yàn)閤1，所以此時(shí)方程無解.綜上函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.答案D2.(2019岳陽二模)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(x)3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析函數(shù)yf(x)3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是yf(x)與y3x兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示，由函數(shù)的圖象可知，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.答案C3.函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1，3) B.(1，2)C.(0，3) D.(0，2)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2xa在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以0a3.答案C4.函數(shù)f(x)ln xx2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B.(1，2) C.(2，e) D.(e，3)解析易知f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且f(2)ln 20.f(2)f(e)0，故f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2，e)內(nèi).答案C5.(2019湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是()A. B. C. D.解析令yf(2x21)f(x)0，則f(2x21)f(x)f(x)，因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x21x，只有一個(gè)實(shí)根，即2x2x10只有一個(gè)實(shí)根，則18(1)0，解得.答案C6.已知函數(shù)f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()A.abc B.acbC.bca D.bac解析令函數(shù)f(x)2xx10，可知x0，即a0；令g(x)log2xx10，則0x1，即0b1；令h(x)log2x10，可知x2，即c2.顯然ab0時(shí)，xf(x)m，即xm，解得m2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，12，).答案D8.(2019北京燕博園聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(2，2) B.(2，1) C.(0，2) D.(1，3)解析當(dāng)x0，函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_.解析當(dāng)x0時(shí)，由x22axaax，得ax2ax；當(dāng)x0時(shí)，由x22ax2aax，得2ax2ax.令g(x)作出ya(x0)，y2a(x0)，函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，g(x)的最大值為，由圖象可知，若f(x)ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a2a，解得4a0)的最小值為8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)解析由于f(x)在0，)上是增函數(shù)，在(，0)上是減函數(shù)，f(x)minf(0)alog2a8.令g(a)alog2a8，a0.則g(5)log2530，又g(a)在(0，)上是增函數(shù)，實(shí)數(shù)a所在的區(qū)間為(5，6).答案A14.(2018鄭州一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)x2.令g(x)f(x)kxk，若在區(qū)間1，3內(nèi)，函數(shù)g(x)0有4個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(0，) B.C. D.解析令g(x)0，得f(x)k(x1)，由f(x)的周期性，作出yf(x)在1，3上的圖象如圖所示.設(shè)直線yk1(x1)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)，則k1.直線yk(x1)經(jīng)過定點(diǎn)(1，0)，且由題意知直線yk(x1)與yf(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，00)有三個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，則x1x2x3_.解析易知yexex為奇函數(shù)，且其圖象向上平移4個(gè)單位，