高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2_1_3 推理案例賞析課件 蘇教版選修1-2

2 1 3推理案例賞析 第2章2 1合情推理與演繹推理 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 通過對具體的數(shù)學(xué)思維過程的考察 進(jìn)一步認(rèn)識合情推理和演繹推理的作用 特點(diǎn)以及兩者之間的聯(lián)系 2 掌握合情推理和演繹推理研究某些數(shù)學(xué)問題的思路與方法 提高分析問題 探究問題的能力 題型探究 知識梳理 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 知識梳理 知識點(diǎn)一合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系 根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論 包括定義 公理 定理等 按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程 三段論 由一般到特殊的推理 在前提和推理形式都正確的前提下 得到的結(jié)論一定正確 按照嚴(yán)格的邏輯法則推理 有利于培養(yǎng)和提高邏輯證明的能力 題型探究 解答 類型一歸納推理的應(yīng)用 引申探究在例1基礎(chǔ)上 數(shù)列 bn 滿足bn an 試求數(shù)列 bn 的最大項(xiàng) 解答 故數(shù)列 bn 的最大項(xiàng)為a1 1 運(yùn)用歸納推理猜測一般結(jié)論 關(guān)鍵在于挖掘事物的變化規(guī)律和相互關(guān)系 可以對式子或命題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換 使其中的規(guī)律明晰化 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1下列圖形中線段有規(guī)則地排列 猜出第n個(gè)圖形中線段的條數(shù)為 解析第1個(gè)圖只有一條線段 第2個(gè)圖比第1個(gè)圖增加4條線段 即線段上的端點(diǎn)上各增加2條 第3個(gè)圖比第2個(gè)圖增加8條線段 第4個(gè)圖比第3個(gè)圖增加2 8 24 條 線段 則第n個(gè)圖形中線段的條數(shù)為1 22 23 24 2n 1 2n 1 3 答案 解析 2n 1 3 類型二類比推理的應(yīng)用 例2通過計(jì)算可得下列等式 23 13 3 12 3 1 1 33 23 3 22 3 2 1 43 33 3 32 3 3 1 n 1 3 n3 3 n2 3 n 1 將以上各等式兩邊分別相加 得 n 1 3 13 3 12 22 n2 3 1 2 3 n n 即12 22 32 n2 n n 1 2n 1 類比上述求法 請你求出13 23 33 n3的值 解答 解 24 14 4 13 6 12 4 1 1 34 24 4 23 6 22 4 2 1 44 34 4 33 6 32 4 3 1 n 1 4 n4 4 n3 6 n2 4 n 1 將以上各式兩邊分別相加 得 n 1 4 14 4 13 23 n3 6 12 22 n2 4 1 2 n n 13 23 n3 1 首先 找準(zhǔn)類比點(diǎn) 再將所要求值的式子與原題的條件相類比 從而產(chǎn)生解題方法上的遷移 2 類比推理所得結(jié)論不一定正確 在進(jìn)行類比推理時(shí) 要抓住類比的 核心 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2如圖 橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn) F為左焦點(diǎn) 當(dāng)時(shí) 其離心率為 此類橢圓被稱為 黃金橢圓 類比 黃金橢圓 可推算出 黃金雙曲線 的離心率e 解析由題意 得b2 c2 c2 c a 2 即c2 ac a2 0 所以e2 e 1 0 又e 1 解得e 答案 解析 類型三合情推理與演繹推理的綜合應(yīng)用 解答 證明 如圖 設(shè)點(diǎn)C C到平面PAB的距離分別為h h 合情推理是提出猜想 提供解題的思路 而演繹推理則是證明猜想 判斷猜想的正確性 通過合情推理得到的猜想缺少證明過程是不完整的 平時(shí)解題都是二者的結(jié)合 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3讀下列不等式的證法 再解決后面的問題 解答 證明 構(gòu)造函數(shù)f x x m1 2 x m2 2 因?yàn)閷σ磺衳 R 恒有f x 0 1 若m1 m2 mn R m1 m2 mn 1 請寫出上述結(jié)論的推廣式 解已知m1 m2 mn R 且m1 m2 mn 1 2 參考上述證法 對你推廣的結(jié)論加以證明 解答 解構(gòu)造函數(shù)f x x m1 2 x m2 2 x mn 2 因?yàn)閷σ磺衳 R 恒有f x 0 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 若 f x0 0 則x0是函數(shù)y f x 的極值點(diǎn) 因?yàn)閒 x x3中 f x 3x2且f 0 0 所以0是f x x3的極值點(diǎn) 在此 三段論 中 其中 錯(cuò)誤 答案 2 3 4 5 1 解析 大前提 解析f x0 0 x0不一定是f x 的極值點(diǎn) 還需看x0附近左右導(dǎo)數(shù)符號是否異號 大前提不正確 2 3 4 5 1 解析 2 觀察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由歸納推理可得 若定義在R上的函數(shù)f x 滿足f x f x 記g x 為f x 的導(dǎo)函數(shù) 則g x 解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知 偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù) 因此當(dāng)f x 是偶函數(shù)時(shí) 其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù) 故g x g x 答案 g x 3 對于大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的 分裂 23 3 5 33 7 9 11 43 13 15 17 19 仿此 若m3的 分裂數(shù) 中有一個(gè)是31 則m的值為 2 3 4 5 1 答案 6 解析 解析 23 3 5 是從3開始的2個(gè)奇數(shù)的和 33 7 9 11 是從5的下一個(gè)奇數(shù)7開始的3個(gè)奇數(shù)的和 而31之前除了1以外的奇數(shù)有14個(gè) 又2 3 4 5 14 63 31 33 35 37 39 41 故m的值應(yīng)為6 4 下列各圖均由全等的小等邊三角形組成 觀察規(guī)律 歸納出第n個(gè)圖形中小等邊三角形的個(gè)數(shù)為 2 3 4 5 1 答案 n2 解析 解析前4個(gè)圖中小等邊三角形的個(gè)數(shù)分別為1 4 9 16 猜測 第n個(gè)圖形中小等邊三角形的個(gè)數(shù)為n2 5 在Rt ABC中 若 C 90 則cos2A cos2B 1 在立體幾何中 給出四面體性質(zhì)的猜想 2 3 4 5 1 解答 把結(jié)論類比到四面體P ABC中 我們猜想 在三棱錐P ABC中 若三個(gè)側(cè)面PAB PBC PCA兩兩互相垂直 且與底面所成的二面角分別為 則cos2 cos2 cos2 1 解如圖 在Rt ABC中 規(guī)律與方法 1 歸納推理和類比推理是常用的合情推理 從推理形式上看 歸納推理是由部分到整體 特殊到一般的推理 類比推理是由特殊到特殊的推理 演繹推理是由一般到特殊的推理 2 從推理形式和所得結(jié)論的正確性講 演繹推理與合情推理存在差異 從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與認(rèn)識事物