2012年深圳一模(文數(shù)).doc

2012年深圳市數(shù)學（文科）參考公式：1錐體的體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高2獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中概率表一、選擇題：本大題共10個小題；每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的1設全集，則ABCD2已知點在不等式組表示的平面區(qū)域上運動，則的最小值是ABCD3已知拋物線 的準線與雙曲線相切，則雙曲線的離心率A B CD 4執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的是AB C D或5已知過點的直線的斜率為，則ABCD如圖，三棱柱中，平面，若規(guī)定主（正）視方向垂直平面，則此三棱柱的側(cè)（左）視圖的面積為AB CD7給出四個函數(shù)：，其中滿足條件：對任意實數(shù)及任意正數(shù)，有及的函數(shù)為AB CD8已知，則“為的等差中項”是“是的等比中項”的A充分不必要條件B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件9已知符號函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為ABCD10在實數(shù)集中，我們定義的大小關(guān)系“”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似地，我們在復數(shù)集上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“”。定義如下：對于任意兩個復數(shù)，（，為虛數(shù)單位），“”當且僅當“”或“且”下面命題為假命題的是A B若，則C若，則對于任意，D對于復數(shù)，若，則二、填空題：本大題共小題，考生作答小題，每小題5分，滿分0分本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答11某人次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為，估計此人每次上班途中平均花費的時間為 分鐘12奇函數(shù)（其中常數(shù)）的定義域為 13已知，且，則的最小值為 （二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題的得分圖4DCOAB14（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，點到曲線 上的點的最短距離為 15（幾何證明選講選做題）如圖4，是圓上的兩點，且，為的中點，連接并延長交圓于點，則 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（其中），其部分圖像如圖5所示（1）求函數(shù)的解析式； 圖5（2）已知橫坐標分別為、的三點、都在函數(shù)的圖像上，求的值17（本小題滿分13分）通過隨機詢問某校110名高中學生在購買食物時是否看營養(yǎng)說明,得到如下的列聯(lián)表：（1）從這50名女生中按是否看營養(yǎng)說明采取分層抽樣，抽取一個容量為的樣本，問樣本中看與不看營養(yǎng)說明的女生各有多少名?(2) 從（1）中的5名女生樣本中隨機選取兩名作深度訪談, 求選到看與不看營養(yǎng)說明的女生各一名的概率；（3）根據(jù)以上列聯(lián)表，問有多大把握認為“性別與在購買食物時看營養(yǎng)說明”有關(guān)？性別與看營養(yǎng)說明列聯(lián)表 單位: 名男女總計看營養(yǎng)說明503080不看營養(yǎng)說明102030總計605011018（本小題滿分13分）如圖，直角梯形中， ，為的中點，將沿折起，使得，其中點在線段內(nèi).（1）求證：平面；（2）問(記為)多大時, 三棱錐的體積最大? 最大值為多少?19（本小題滿分14分）已知函數(shù)(實數(shù)為常數(shù))的圖像過原點, 且在處的切線為直線. （1）求函數(shù)的解析式；（2）若常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.20（本小題滿分14分）已知各項為實數(shù)的數(shù)列是等比數(shù)列, 且 數(shù)列滿足：對任意正整數(shù),有. (1) 求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；(2) 在數(shù)列的任意相鄰兩項與 之間插入個后，得到一個新的數(shù)列. 求數(shù)列的前2012項之和. 21（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程； （3）設點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，求證：為定值 數(shù)學（文科）參考答案及評分標準說明：1. 本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應的評分細則2. 對計算題當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3. 解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)4. 只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分數(shù)一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算。共10小題，每小題5分，滿分50分題號12345678910答案BCBBD AC ACD二、填空題：本大題考查基本知識和基本運算，體現(xiàn)選擇性。共5小題，每小題5分，滿分20分其中第14、15兩小題是選作題，考生只能選做一題，如果兩題都做，以第14題的得分為最后得分11 12 13. 14 15 三、解答題：本大題6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中. 函數(shù)的部分圖像如下圖所示.(1)求函數(shù)的解析式； 第16題圖(2) 已知橫坐標分別為的三點在函數(shù)的圖像上，求的值.解：（1）由圖可知， 最小正周期 所以 3分 又 ，且 所以,5分 所以. 6分 (2) 解法一: 因為所以, 7分, 8分從而 10分由得. 12分解法二: 因為,所以, 7分 8分 , 9分則 . 10分由得. 12分【說明】 本小題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，平面向量的數(shù)量積等基礎知識，考查了簡單的數(shù)學運算能力17（本小題滿分13分）通過隨機詢問某校110名高中學生在購買食物時是否看營養(yǎng)說明,得到如下的列聯(lián)表：（1）從這50名女生中按是否看營養(yǎng)說明采取分層抽樣，抽取一個容量為的樣本，問樣本中看與不看營養(yǎng)說明的女生各有多少名?(2) 從（1）中的5名女生樣本中隨機選取兩名作深度訪談, 求選到看與不看營養(yǎng)說明的女生各一名的概率；（3）根據(jù)以上列聯(lián)表，問有多大把握認為“性別與在購買食物時看營養(yǎng)說明”有關(guān)？性別與看營養(yǎng)說明列聯(lián)表 單位: 名男女總計看營養(yǎng)說明503080不看營養(yǎng)說明102030總計6050110解：（1）根據(jù)分層抽樣可得：樣本中看營養(yǎng)說明的女生有名，樣本中不看營養(yǎng)說明的女生有名；2分（2）記樣本中看營養(yǎng)說明的名女生為，不看營養(yǎng)說明的名女生為，從這5名女生中隨機選取兩名，共有個等可能的基本事件為：；.5分其中事件“選到看與不看營養(yǎng)說明的女生各一名”包含了個的基本事件： ； ；.7分 所以所求的概率為9分 (3) 假設：該校高中學生性別與在購買食物時看營養(yǎng)說明無關(guān)，則應該很小. 根據(jù)題中的列聯(lián)表得 11分由, 可知有%的把握認為該校高中學生“性別與在購買食物時看營養(yǎng)說明”有關(guān)？13分【說明】本題主要考察讀圖表、抽樣方法、隨機事件的概率、獨立性檢驗等基礎知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力和應用意識18（本小題滿分13分）如圖，直角梯形中， ，為的中點，將沿折起，使得，其中點在線段內(nèi).（1）求證：平面；（2）問(記為)多大時, 三棱錐的體積最大? 最大值為多少?（1）證明: 在直角梯形中，為的中點，則,又，,知.1分在四棱錐中，平面，則平面.3分因為平面,所以4分又, 且是平面內(nèi)兩條相交直線, 6分故平面.7分(2)解：由(1)知平面，知三棱錐的體積9分由直角梯形中,，得三棱錐中，10分， 11分當且僅當，即時取等號，12分（此時，落在線段內(nèi)）.故當時, 三棱錐的體積最大，最大值為. 13分【說明】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，棱錐的體積及三角函數(shù)等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力19（本小題滿分14分）已知函數(shù)(實數(shù)為常數(shù))的圖像過原點, 且在處的切線為直線.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.解：（1）由得. 1分由, 得, 3分從而, , 解得. 5分 故 6分（2）由（1）知. 的取值變化情況如下： 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增9分又,函數(shù)的大致圖像如右圖： 當時, ；11分當時, 13分綜上可知 14分【說明】本題主要考查函數(shù)導數(shù)的幾何意義、導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的運用、不等式的求解等基礎知識，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力20（本小題滿分14分）已知各項為實數(shù)的數(shù)列是等比數(shù)列, 且 數(shù)列滿足：對任意正整數(shù),有. (1) 求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；(2) 在數(shù)列的任意相鄰兩項與 之間插入個后，得到一個新的數(shù)列. 求數(shù)列的前2012項之和. 解：（1）設等比數(shù)列的公比為由得又則，數(shù)列的通項公式為 3分由題意有，得4分當時，5分 得. 故數(shù)列的通項公式為6分(2)設數(shù)列的第項是數(shù)列的第項,即.當時， 7分8分設表示數(shù)列的前項之和，則9分其中 10分,則 . 12分 從而 13分所以數(shù)列的前2012項之和為 14分【說明】考查了等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系，數(shù)列分組求和等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識21（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程； （3）設點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，求證：為定值 解：（1）依題意，得，；故橢圓的方程為 3分（2）方法一：點與點關(guān)于軸對稱，設， 不妨設由于點在橢圓上，所以 （*）4分 由已知，則， 6分由于，故當時，取得最小值為由（*）式，故，又點在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 8分方法二：點與點關(guān)于軸對稱，故設，由已知，則, 6分故當時，取得最小值為，此時，又點在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 8分(3)