函數(shù)與函數(shù)方程競賽.doc

函數(shù)與函數(shù)方程競賽講座一函數(shù)的迭代1.定義: 設(shè)是定義在上且取值在上的函數(shù)，記，則稱是函數(shù)在上的迭代，稱為的迭代次數(shù).2.求次迭代的方法: 歸納法；遞推法；橋函數(shù)相似法.先看一個有趣的問題：李政道博士1979年4月到中國科技大學，給少年班的同學面試這樣一道題：五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡覺，明天再說夜里一只猴子偷偷起來，把一個桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡覺了第二只猴子起來后，像第一只猴子一樣，先吃掉一個，剩下的又剛好分成5份，也把自己的一份收藏起來睡覺去了第三、第四、第五只猴子也都是這樣：先吃掉一個，剩下的剛好分成5份問這堆桃子最少是多少個？設(shè)桃子的總數(shù)為個第只猴子吃掉一個并拿走一份后，剩下的桃子數(shù)目為個，則，且設(shè)于是由于剩下的桃子數(shù)都是整數(shù)，所以，因此，最小的為：上面的解法，我們利用了一個函數(shù)自身復(fù)合多次，這就叫迭代一般地，設(shè)是一個函數(shù)，對，記，則稱函數(shù)為的次迭代，并稱為的迭代指數(shù)反函數(shù)記為一些簡單函數(shù)的次迭代如下：（1）若，則； （2）若，則；（3）若，則； （4）若，則；（5）若（），則；的一般解法是先猜后證法：先迭代幾次，觀察規(guī)律并猜測表達式，證明時常用數(shù)學歸納法1求迭代后的函數(shù)值例1：自然數(shù)的各位數(shù)字和的平方記為，且，則（）的值域為（ ）（A） （B） （C） （D）解：由條件可知：所以（）的值域為。例2：設(shè)，而，記，則 解：因為，所以，而所以。即，故。例3：求解函數(shù)方程：解：設(shè)，則并且，于是原方程變?yōu)椋毫畹茫毫畹茫毫畹茫河傻茫豪? 已知，求.解 ， ， ， ， 由數(shù)學歸納法易知 .注：在函數(shù)迭代中，通過觀察得出的函數(shù)要用數(shù)學歸納法給予嚴格證明.2不動點法一般地，若，則把它寫成因而這里的就是方程的根一般地，方程的根稱為函數(shù)的不動點如果是函數(shù)的不動點，則也是的不動點可用數(shù)學歸納法證明利用不動點能較快地求得函數(shù)的次迭代式定理1 設(shè)是的不動點，則對于正整數(shù)，有.證 ，兩式相減得 ， （1）當時，由（1）知結(jié)論成立。假設(shè)時結(jié)論成立，那么對于，即時結(jié)論也成立。由歸納法原理知結(jié)論成立。例5：已知是一次函數(shù)，且，求的解析式例6 已知為一次函數(shù)，且，求.解 設(shè)，顯然.令，得，即為的不動點.由定理1知，解之得，所以.例7：若，求例8.已知滿足條件：(1)對任意;(2) 解：令可見其不動點集為。再令，代入條件(1)得，再將代入得，結(jié)合兩式可得：，故，這說明1是的不動點。下面用反證法證明的不動點是唯一的。假設(shè)存在。i.若,由，令得，從而這與條件（2）矛盾。ii. 若,由,而這與i矛盾。綜上只有一個不動點1，所以，即.3相似法若存在一個函數(shù)以及它的反函數(shù)，使得，我們稱通過和相似，簡稱和相似，其中稱為橋函數(shù)如果和相似，即，則有：定理2 設(shè)與都是的函數(shù)，的反函數(shù)為，若，則.定理2可用數(shù)學歸納法證明。例9：若，求函數(shù)與函數(shù)方程競賽講座二函數(shù)方程1. 常見題型:已知函數(shù)方程,求函數(shù)值；已知函數(shù)方程,討論函數(shù)性質(zhì)；由函數(shù)方程討論函數(shù)的有界性、對稱性、周期性等性質(zhì)；討論函數(shù)方程解的問題,討論給定的函數(shù)方程是否有解(常用反證法或構(gòu)造法)和給定方程的所有解.函數(shù)方程的變化多，求解技巧性很強，往往涉及不同領(lǐng)域的數(shù)學知識，特別是附加了條件的函數(shù)，更是五花八門，各有巧妙。迭代只是其中的一種方法，在高中數(shù)學各級競賽中，都有可能會遇到函數(shù)方程的問題，還有可能會用到觀察法、代換法、柯西法、賦值法（特殊值法）等幾種典型的求解函數(shù)的方法。如：1代換法例1.解函數(shù)方程.解：令，代入原式得 (1) ，代入原式得： (2)又：(3)三個方程中僅含有由方程組(1)(2)(3)得 即：檢驗：所以.經(jīng)檢驗上式滿足條件.注:事實上,對于函數(shù)方程,其中 為已知函數(shù),如果存在一個，使得(k次迭代)，即可用上述的方法求解。 解二:令，則; 此時可將(2)式表示為迭代一次可得 再迭代一次可得 解方程可得 檢驗略。例2：（2007越南數(shù)學奧林匹克）設(shè)b是一個正實數(shù)，試求所有函數(shù)，使得對任意實數(shù)x、y均成立。解：將原方程變形為： (x, 令，則等價于(x, 在中令得這表明1）若，則2）若，在式中令得：即考慮函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)，則于是可知有兩根和于是式等價于或 , c為滿足的常量）假設(shè)存在使，則或1，矛盾，因此，綜上知：說明：代換法是解函數(shù)方程最基本方法，很多函數(shù)方程中所特有的性質(zhì)是通過代換法去發(fā)現(xiàn)的。本題也是通過代換法打開了解題的思路。2柯西法（在單調(diào)（或連續(xù)）的條件下，利用柯西函數(shù)方程的解求解）.定理3 設(shè)是的函數(shù)，且對于任意，有，則（1） 對于任意，有；（2） 對于任意，有.定理3用數(shù)學歸納法易證.定理4 若對于任意的，有 （1）則.證 由（1）及數(shù)學歸納法不難證明：對于任意的正整數(shù)及有理數(shù)，有 （2）在（2）中令，得 （3）在（2）中令，得，.，.當時， （4）由（3），（4）知， （5）對于任意的，設(shè)，則有 即 .注：在定理4中，若加上為連續(xù)函數(shù)這一條件，則有.定理4的證明方法叫做柯西方法，這一方法的基本步驟是依次求出正整數(shù)的函數(shù)值、整數(shù)的函數(shù)值、有理數(shù)的函數(shù)值，在函數(shù)連續(xù)的條件下，進一步求出實數(shù)的函數(shù)值.注：上述定理證明為柯西爬坡式證法，步驟是：依次求出自變量取正整數(shù)值，整數(shù)值，有理數(shù)值，直至所有實數(shù)值，從而得到函數(shù)方程的解。例3.設(shè)連續(xù)且恒不為0，且，求函數(shù)方程的解例11.解：若存在，使。則對一切實數(shù)，有這與不恒為0矛盾，故.對兩邊取自然對數(shù)，得 令且連續(xù) g(x)連續(xù)且滿足.由定理知：即,所以。例4（2001年英國數(shù)學奧林匹克）已知函數(shù)是的映射，滿足：（1） 對任意非負整數(shù)，有，（2） ，有，求.解 在（2）中令，并記，則有.由于數(shù)列是遞增數(shù)列，由定理3知，.若，則有，矛盾，所以，從而有.又因為，容易得.所以，.3特殊值法例5.已知函數(shù)滿足：，且對任意的，都成立，試求.解:在已知條件中令可得(1) 令可得 (2) 令可得(3) 解方程可得 易檢驗滿足已知條件。例6.的定義域在非負實數(shù)集合上并取非負數(shù)值的函數(shù)，求滿足下列所有條件的：（1）；（2）；（3）當時，.解：（）令得.所以當時，.（）考慮（即）時，（1）兩邊等于零的特殊情況。設(shè),由（）得：，即。設(shè)，由（）得；，即，因為，且，所以，解得.所以當時,.所以.例7（2004年高中聯(lián)賽試題）設(shè)函數(shù)，滿足，且，都有 （1）求.解 （方法1）在（1）中將互換，則有 （2）由（1），（2）得 （3）在（3）中令，則有 ，即.易證是方程（1）的解.（方法2）在（1）中令，得 （4）即 .為了求出，需要求，為此在（1）中令，得，從而有，代入（4）可得.例8 已知是的函數(shù)， （1）求.解 將代入（1）式，得，即 .所以，有 （2）由（2）易得 ，.在（1）中令，則有，即 ，所以， .在（1）中令，得，即 ，有.例9 （2008年荷蘭數(shù)學奧林匹克）求所有函數(shù)，使得，有 （1）解 ，若，則， ，故是的單射.下證.當時，在（1）中取，得.因為上式左邊3個數(shù)均為正整數(shù)，所以只能全為1，故，即時結(jié)論成立.假設(shè)時，有，那么當時，由是單射知，從而有，進而有，即 （2） （3） （4）將上述3式相加，得.又，從而知不等式（2），（3），（4）全取等號，故，即對于結(jié)論成立.由歸納法原理知，.例10（第17屆巴爾干數(shù)學奧林匹克）求所有的的映射，使得，均有 （1）解 設(shè)，在（1）中令，則有 （2）由（2）知的值域為，所以的值域為R.又若，則，由（2）得，所以，這表明是的雙射.因此，使得.在（1）中令，得 （3）由（2），（3）知，所以 ， .在（1）中令，得 （4）在（4）中令，注意到由（3）可知，從而有，故，有 （5）由（4），（5）可知 （6）因此，,有或.假設(shè)存在非零實數(shù)，使得，而，那么在（1）中令，得，又由（6）知或，矛盾，所以方程（1）的解是或.例11：（2008年IMO第4題）求所有的函數(shù)滿足對所有的正實數(shù)，x, y, z，都有：解：令得：對任意令，得：去分母整理：，所以對每個有或者若存在b, ，使得，則由知，b, c都不等于1。且，令，則，所以又因或者；若則矛盾若，則矛盾所以經(jīng)檢驗滿足。4觀察函數(shù)特有的性質(zhì)并利用其解題函數(shù)的性質(zhì)包括單調(diào)性、奇偶性、周期性及所具有的特殊形式，在解題的過程中需要對其進行觀察判斷并利用其解決問題。例12：（2007日本數(shù)學奧林匹克決賽）求定義域為正實數(shù)集，值域為實數(shù)集的函數(shù)f，滿足：，其中x、y為任意實數(shù)。解：令，及，重復(fù)應(yīng)用這個等式m次得：，再令。下面證明對任意的正整數(shù)n和任意的兩實數(shù)t，有，顯然當時，命題成立。又因為題中第二個不等式等價于，所以，對任意的n、t有，若取，滿足，則：另一方面，有故上式中不等式號均為等號，即因此必有再證明：g為單調(diào)不增函數(shù)；對于正實數(shù)t，有由于，則故對于所有的x, y ，有故g為單調(diào)不增函數(shù)設(shè)，接下來證明：反設(shè)對正實數(shù)t有，則存在一個有理數(shù)滿足及，另一方面：由，有與及g的單調(diào)不增矛盾，同理若，也得到矛盾，因此，對于正實數(shù)t，有從而，對于這樣的f，有，均滿足。為所求說明：該題關(guān)鍵是抓住函數(shù)具有兩個特有特征而對此進行解答。抓住函數(shù)特征和性質(zhì)來求解函數(shù)方程問題，是最常用的方法。三訓(xùn)練題1. 已知是一次函數(shù)，且(n次迭代)。求2設(shè)且滿足：(),試求.3. 設(shè)，若且,試求.4. 已知，求解函數(shù)方程5. 設(shè)在整個實數(shù)上是連續(xù)的,且, 解函數(shù)方程.6. 若函數(shù)在某一充分小的區(qū)間(a,b)內(nèi)有界，求的解。訓(xùn)練題答案：1.解：設(shè)，則由題設(shè)知：=1024 且=1023=2，=1 或 =2，=32.解：原式可以改寫為 ， 。 則有 累乘可得 再將代入上式可得 累加可得 ， 。3.解：； ； ， 猜想 設(shè)n=k時上式成立,當n=k + 1時， 。 由數(shù)學歸納法知猜想正確.4.解：令，得當1、，令，解得 2、，令， (其中為任意實數(shù)) 5.解:令得