高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1函數(shù)與方程互動課堂學(xué)案.docx

3.1 函數(shù)與方程互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)方程的根與函數(shù)的零點1函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y=f(x)(xD)，把使f(x)=0的實數(shù) x叫做函數(shù)y=f(x)(xD)的零點2.函數(shù)零點的意義方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與 x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點函數(shù)零點存在的條件如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)使得f(x)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.4函數(shù)零點的求法求函數(shù)y=f(x)的零點：（1）代數(shù)法：求方程f(x)=0的解；（2）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)性質(zhì)找出零點5.函數(shù)零點的意義函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根，亦即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點案例1函數(shù)f(x)=lnx-的零點所在的大致區(qū)間是()A. (1, 2)B. (2, 3)C. (, 1)和（3,4）D. (e, +)【探究】 從已知的區(qū)間（a, b），求f(a)、f(b),判別是否有f(a)f(b)0.f(1)=-20,f(2)=ln2-10，f(2)f（3）0.f(x)在(2,3)內(nèi)有一個零點.【答案】 B【溯源】 這是最基本的題型，所用的方法是基本方法：只要判斷區(qū)間a, b的端點值的乘積是否有f(a)f(b)0；若問題改成：指出函數(shù)f(x)=lnx-的零點所在的大致區(qū)間，則需取區(qū)間a, b使f(a)f(b)0.案例2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，ac0，則函數(shù)的零點個數(shù)是()A. 1B. 2C. 0D. 無法確定【探究】 c=f(0),ac=af(0)0、=0、0時,拋物線開口向上,函數(shù)在x=h處取得最小值k=f(h);在區(qū)間(-,h上是減函數(shù),在h,+)上是增函數(shù).當(dāng)a0時,拋物線開口向下,函數(shù)在x=h處取得最大值k=f(h);在區(qū)間(-,h上是增函數(shù),在h,+)上是減函數(shù).（3）二次函數(shù)的三種常用解析式：一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0).頂點式：y=a(x-h) 2+k(a0),其中（h, k)為頂點坐標(biāo).標(biāo)根式：f(x)=a(x-)(x-)(a0),其中和是方程f(x)=0的根.疑難疏引于二次方程的根的分布問題，畫出圖象后，根據(jù)二次函數(shù)相應(yīng)特征列不等式（組），往往比直接求出根后根據(jù)其所在區(qū)間列不等式更簡便.一元二次方程根的分布有如下幾種情況：根的分布x1x2kkx1x2x1kx2圖象充要條件f(k)0根的分布x1、x2(k1,k2)k1x1k2x2k3在(k1,k2)內(nèi)有且僅有一根圖象充要條件f(k1)f(k2)0或者=0且(k1,k2)312用二分法求方程的近似解1.二分法的定義對于在區(qū)間a, b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫二分法.2.二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間 a, b，驗證f(a)f(b)0，給定精度.（2）求區(qū)間(a, b)的中點 x1.（3）計算f(x1).若f(x1)=0，則x1就是函數(shù)的零點；若f(a)f(x1)0，則取區(qū)間(a,x1)（此時零點 x0(a,x1)）；若f(x1)f(b)0，則取區(qū)間(x1,b)（此時零點x0(x1,b)）.（4）判斷是否達(dá)到精度,即若 |a-b|0，a=0.解得b0， a2+b0,當(dāng)b-1時，a2+b0恒成立. b-2x的解集為（1，3）.（1）若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式.（2）若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.【思路解析】 此題考查二次函數(shù)解析式求法以及最大值的求法.【答案】 （1）f(x)=-x2-x-.（2）(-,-2-)(-2+,0).7. 求方程lnx+x-3=0在（2，3）內(nèi)的根（精確到0.1）.【分析】 用二分法求解.【解】 令f(x)=lnx+x-3，即求函數(shù)f(x)=0在（2，3）內(nèi)的零點.f(2)=ln2-10,可?。?，3）作為初始區(qū)間，用二分法列表如下：中點端點或中點函數(shù)值取區(qū)間f（2）0(2,3)2.5f(2.5)0（2，2.5）2.25f(2.25)0（2，2.25）2.125f(2.125)0（2.125，2.25）2.1875f(2.187 5)0（2.187 5，2.218 75）2.187 52.2,2.218 752.2,所求方程的根為2.2（精確到0.1）.8. 國家購買某種農(nóng)產(chǎn)品的價格為120元/擔(dān)，其中征稅標(biāo)準(zhǔn)為100元征8元（叫做稅率為8個百分點，即8%），計劃可收購m萬擔(dān).為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定稅率降低x個百分點，預(yù)計收購量可增加2x個百分點.（1）寫出稅收f（x）（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后達(dá)到計劃的78%，試求此時x的值.【思路解析】 第（1）問這樣考慮：調(diào)節(jié)稅率后稅率為（8x）%，預(yù)計可收購m（1+2x%）萬擔(dān)，總金額為120m（1+2x%）萬元，從而列出函數(shù)表達(dá)式.【解】 （1）由題設(shè)，調(diào)節(jié)稅率后稅率為（8x）%，預(yù)計可收購m（1+2x%）萬擔(dān)，總金額為120m（1+2x%）萬元.f（x）=120m（1+2x%）（8x）%，即f（x）=（x 2+42x400）（0x8）.（2）計劃稅收為120m8%萬元，由題設(shè)，有f（x）=120m8%78%，即x 2+42x88=0（0x8)，解得x=2.9. 求方程2x+3x=7的近似解（精確到0.01）.【思路解析】 利用二分法.【解】 原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，并結(jié)合y=2x與y=-3x+7的圖象知方程f(x)=0只有一解.計算f(1)=2+3-70；再?。?，1.