【電氣與自動(dòng)化】第八章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式教學(xué)文稿.doc

【電氣與自動(dòng)化】第八章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式教學(xué)文稿 1電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論第八章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式8.1狀態(tài)空間描述的概念8.2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立8.3狀態(tài)向量的線性變換8.4從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣本章小結(jié)2電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論8.1狀態(tài)空間描述的概念 一、基本定義先看一個(gè)RLC電路的例子圖中，u-輸入變量列寫微分方程消去中間變量傳函表示形式RLcu u iC圖圖8-1duC idtdiL R i u udt?2c duduLC RCu udtdt?2()1()1cU sUsLCS RCS?3電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論一階微分方程表示形式向量矩陣表示形式在向量矩陣表示形式中，如果令，則其變?yōu)?11cduu idtcdi Riu iudt L LL?11100c cCRL LLu uui i?1cx u?2x i?111112200CRL LLx xux x?4電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論再令則可寫為 1、狀態(tài)變量足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量稱為狀態(tài)變量。 如果給定了t=to時(shí)刻這組變量值，和t=to時(shí)輸入的時(shí)間函數(shù)，那么，系統(tǒng)在t=to的任何瞬間的行為就完全確定了。 2、狀態(tài)向量以狀態(tài)變量為元所組成的向量,稱為狀態(tài)向量。 如x x11(t)、x x22(t)?x n n(t)是系統(tǒng)一組狀態(tài)變量。 則狀態(tài)向量為1211100,CRL LLxX Abx?X AXbu?1212()()()(),().().()Tnnx tx tXt X x tx tx tx t?或5電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論6電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論若指定i為輸出，則若指定均為輸出，則 二、狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程合起來稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，或稱狀態(tài)空間描述。 對于前例，其狀態(tài)空間描述為2y ix?1201xyx?,cu i1122cy u xy ix?11221001y xy x?Y CX?Y CX?X AXbu?7電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論一般，多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為其中X AXBUY CXDU?12nxxXx?1111nn nna aAa a?1111rn nrb bBb b?12ruuUu?N維向量系統(tǒng)矩陣nn方陣輸入矩陣控制矩陣nr維r維輸入向量8電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論12myyYy?m維輸出向量1111nm mnCc c?輸出矩陣mr維1111rm mrddDd d?直接傳遞矩陣mr維9電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 三、狀態(tài)空間描述的方框圖單線表示一維信號，雙線表示多維信號。 既反映了輸入對系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的因果關(guān)系，又反映了內(nèi)部狀態(tài)對外部輸出的影響。 四、狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖模擬結(jié)構(gòu)圖用來反映系統(tǒng)各狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。 U?A DC xY+B X10電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論原則系統(tǒng)的階數(shù)等于積分器的個(gè)數(shù)，取每個(gè)積分器的輸出為狀態(tài)變量。 a，由微分方程繪模擬結(jié)構(gòu)圖例移項(xiàng)210xaxaxaxbu?210x axaxaxbu?b u?2a1a0axxx x11電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論b，由方框圖繪模擬結(jié)構(gòu)圖例1KT s?1111111K K K sTs T sT TsT?1TKT12電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論c，由狀態(tài)空間表達(dá)式繪模擬結(jié)構(gòu)圖例d、多輸入多輸出系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖1223312312632x xx xx x x x uy x x?2?36u y1x2x3x3x13電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 五、狀態(tài)空間表達(dá)式的說明 1、狀態(tài)變量組的最小性體現(xiàn)在狀態(tài)變量x x11(t),x x22(t),x n n(t)是為完全表征系統(tǒng)行為所必需的系統(tǒng)變量的最小個(gè)數(shù)，減少變量數(shù)將破壞表征的完全性，而增加變量數(shù)將是完全表征系統(tǒng)行為不需要的。 22、狀態(tài)變量組在數(shù)學(xué)上的特性體現(xiàn)在x x11(t),x x22(t),x n n(t)構(gòu)成了系統(tǒng)變量中線性無關(guān)的一個(gè)極大變量組。 33、狀態(tài)空間描述考慮了“輸入狀態(tài)輸出”這一過程，揭示了問題的本質(zhì) 44、輸入引起狀態(tài)變化是一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，表現(xiàn)為向量微分方程；狀態(tài)決定輸出是一個(gè)變換過程，表現(xiàn)為代數(shù)方程。 14電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 5、系統(tǒng)狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)中獨(dú)立貯能元件的個(gè)數(shù)。 6、對于給定系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不是唯一的。 7、系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法是時(shí)域內(nèi)的一種矩陣運(yùn)算方法，適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算。 8、對結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的系統(tǒng)，可依據(jù)物理機(jī)理列寫狀態(tài)方程。 9、一般來說,狀態(tài)變量不一定是物理上可測量或可觀察的量.單從便于控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)來說,把狀態(tài)變量選為可測量或可觀察更為合適。 15電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論8.2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 一、根據(jù)模擬結(jié)構(gòu)圖列寫狀態(tài)空間表達(dá)式（一）一階系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述【例11】一階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程不含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng).運(yùn)動(dòng)方程:傳函:一階系統(tǒng)方塊圖111()()11TTy ykuY s KKsU sTsT s?U(s)Y(s)KTS-11T+16電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖由模擬結(jié)構(gòu)圖寫出狀態(tài)方程:1Kx x uT Ty x?輸出方程:?KT1Tu y+_xx【例22】設(shè)一階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng).運(yùn)動(dòng)方程:11111()()1()111T TTy y Ku uYs sKsKUs TsTs s?傳函:17電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論一階系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程方塊圖:)()(s Y s UKT1T?1?s?模擬結(jié)構(gòu)圖:xx?y uTKT1?18電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論根據(jù)模擬結(jié)構(gòu)圖,寫出狀態(tài)方程,輸出方程（二）二階系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述【例33】方程中不包含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng).運(yùn)動(dòng)方程:式中為阻尼比.傳遞函數(shù):11() (1)Kx x uT TKKy x x x x ux uT T T T?22Ty TyyKu?122221122()()21()211()Ys KK sUs Ts TsTs sT T?19電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論模擬結(jié)構(gòu)圖:根據(jù)模擬結(jié)構(gòu)圖，寫出狀態(tài)方程與輸出方程.122x xx?2TKT?2?21T?y x?1u?2212212121KTT Tx xx xx uy x?221112212xx10KT TTxxux xxyx?20電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論【例44】方程中含有輸入函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).運(yùn)動(dòng)方程22()Ty TyyKuu?傳遞函數(shù)222212122211211211() (1)()21()()1()1()T TTTYs KsUsTsTsK s sT s s s s?狀態(tài)變量圖?2TK?T?2?21T?y u12xx+21電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論狀態(tài)方程與輸出方程22122121212KTT Tx xx xx uyxx?221121221xx1KTTTx xux xxyx?（三）n n階線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述.n n階線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)為: (1)1111111111 (1)11()()()1nnn nn nn nnn nn nn nbs bs bY sWsUs s as a sabs bs bsasa s as?22電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論輸出函數(shù)的拉氏變換為令:或 (1)1111 (1)11()()1nnn nn nn nbs bs bsYs Usas as as?1 (1)111()()1n nn ns Usasasas?1212()()()()()nnsUsassass ass? (1) (1)111111()()()()()()nnnn nnn nYs sbs bs bsbs sbs sbs s?可得:23電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論模擬結(jié)構(gòu)圖1a?na?2a?1bnb2b?)(s?nx?1?nx?)(s U)(s Y1?s1x1x?1?s1?s24電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論由模擬結(jié)構(gòu)圖寫出n n階線性系統(tǒng)狀態(tài)方程與輸出方程12231112211n nn n n n nx xx xx xx a x a x a x axu?1122111210100000100000101n nn n n n nx xx xuxxa a a a xx?25電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論輸出方程即?11221112121n n n nn nny b x b x bx bxxxy b bbbx?22()32() (712)Ys s sUs s s s?12312()32()1712Ys s sUs s s?【例55】設(shè)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:試?yán)L制系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖.并根據(jù)狀態(tài)變量圖寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述.解:26電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論令:模擬結(jié)構(gòu)圖12123()()1712()() (32)U sss sY s s s s?yxxx123u123-7-1227電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論狀態(tài)空間描述?1122331230100001001271231x xxx ux xxy xx?28電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 二、據(jù)系統(tǒng)方框圖導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)空間描述【例66】已知系統(tǒng)方塊圖,試導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)空間描述.解:1)把各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)化為最簡形式組合.原方塊圖化為:()()()sz ksp ssaUs Ys?iiks p?11()s z z pspspk ks sas sa?) (1)(1s Ys Uas skpsp z?29電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論2)把具有簡單函數(shù)相乘的環(huán)節(jié)化為單元方塊的串聯(lián)33）把具有最簡單傳遞函數(shù)（）的環(huán)節(jié)輸出選取為狀態(tài)變量。 化簡為?1223131311122133131()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()k k k ks sssz psps ax s x sx s x s U s x s x s U s x sx s U s x ssx sax s x ssx s kxs kxs kU ssx sp zxspx sz pU s?iiks p?)()(1s Ys Uas skpsp z?13x2x1x?30電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論拉氏反變換狀態(tài)方程輸出方程:?112213313112233123()()10000100x a x xx k x k x k ux p zxp x zp uxx axk k xkup zp zpx xxy xx?31電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 三、系統(tǒng)的一般時(shí)域描述化為狀態(tài)空間描述在經(jīng)典控制理論中,控制系統(tǒng)的時(shí)域模型為線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為要解決的問題:選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量,并由定出相應(yīng)的系數(shù)矩陣A、B、C、D.() (1)() (1)11011n n n nnn nn yay ayaybub ububu?x AxBuy CxDu? (1)(0,1,)i jainbj n?32電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 1、方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程（ （1）選擇狀態(tài)變量選擇為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量.令: （22）將高階微分方程化為狀態(tài)變量的一階微分方程組() (1)110n nn nyay ayaybu? (1),nyyy y?123 (2)1 (1)nnnnx yx yx yx yx y?12,nx xx33電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論（ （3）化為向量形式狀態(tài)方程為:輸出方程為:1223 (1)11121nn nnn n n n nx y xx y xx y xxy ax ax ax b u?112211010010n n n n nx xxxux a a ax b?100yx?34電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論【例77】設(shè)系統(tǒng)輸入-輸出微分方程為:若可導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程61166yyyyu?12,n xyxyxy?1122330100001061166x xxx uxx?123100xy xx?35電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 2、方程中包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程10 (1) (1)201 (2) (2) (1)3012 (1) (1) (2) (1)0121() (1)1011 (1)n n nn n nn n nn n nx y ux y u ux y u u ux y u u u uxy u u u u?算法 一、狀態(tài)變量選擇原則使導(dǎo)出的一階微分方程組右邊不出現(xiàn)u u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。 （11）選擇狀態(tài)變量令:() (1)() (1)110110n n n nnn n yay ayaybub ububu?36電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論式中系數(shù)待定.用用分別乘以 （1）式中相應(yīng)方程兩端，并移項(xiàng)，得 （2）式01n?11,n na a a?10 (1) (1)1121011 (2) (2) (1)223202122 (1) (1) (2) (1)1110111211() (1)1011n n nn n n nn n n n nn n nn n nn n nn n nayax a ua yax a u a uayax a u a ua uay ax auauaua uyxu uuu?不難看出，上式各方程左端相加等于線性微分方程的左端，右端等于線性微分方程的右端，則有37電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論?11121012110211xx22110111101011()()()()nn nnnn nn nnnnnnnn nn nx axaxaxua ua aua a aua a aubu bububu?等式兩邊的系數(shù)應(yīng)相等，由此得(0,1,)kuk n?0011102211xx22110 (3)nnnnn nbb ab a ab a a a a?38電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 （22）導(dǎo)出狀態(tài)變量的一階微分方程組和輸出關(guān)系式.考慮到:對 (1)式求導(dǎo):111210nnn nxaxaxax?1021xx2111112110nnnnnnnnnnxyux uxyuux uxx uxxuaxaxax uyxu?39電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 （33）化為向量形式狀態(tài)方程:輸出方程:1121010000100001nnnnxxua a aa?0100yxu?40電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論【例88】系統(tǒng)輸出-輸入微分方程為:系數(shù):按 (2)式求得狀態(tài)變量為123012318,192,6400,0,160,640aaab bbb?0011102211203312213000160640181602240nbbabaabaaa?10xx012160xyu yxyuu yxyuuu yu?18192640160640yyyyuu?41電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論狀態(tài)空間描述:輸出方程:1122330100001160640192182240x xxx uxx?123100xy xx?42電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論算法 二、引入微分算p=d/dt， （11）式的輸入輸出描述又可表示為如下形式11101110 (4)m mbpb pbpbmmn npa p apanuy?當(dāng)m=n時(shí)，上式有理分式是真的，而當(dāng)m 下面加以分別討論。 （aa）當(dāng)m （44）式進(jìn)一步改寫為111101()110 (5)n npapapanm mbpb pbpbym myuy?或?qū)⑵浔硎緸槿缦滦问?3電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論() (1) (1)110() (1) (1)110 (6)n nnmmm myayayayuyby bybpby?選取狀態(tài)變量組 (1) (1)12,nnxyxy xy?由此就可得到 (1)12 (2)23 (1)10112101121 (7) (8)nn nnn nmmx yxxyxxyxx axaxax uybxbx bx?和44電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論由表示狀態(tài)向量，即可導(dǎo)出對應(yīng)于輸入輸出描述 （11）的狀態(tài)空間描述為?1,Tnx xx?0110010 (9)0101,0,0nmx xuaaay bbx?45電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論【例99】給定系統(tǒng)的輸入輸出描述為 (3) (2) (1) (1)16194640160720y y yyuu?利用 （99）即可定出相應(yīng)的一個(gè)狀態(tài)空間描述為?112233123010000106401941617xx00xxxx uxxxy xx?46電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 （22）當(dāng)m=n時(shí)，先將 （44）中的有理分式進(jìn)行嚴(yán)格真化，可導(dǎo)出1()()1100 (10)1110nnb bap bbannnnn npap apanuyb?由此可進(jìn)而表為() (1) (1)110 (1)1100 (11)()()n nnnn nnnnyay ayayuybbay bbaybu?選取狀態(tài)變量組 (1) (1)12,nnxyxy xy?47電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論?0110011010 (12)0101(),()nnnnnnua aaybba bba bu?xxx對應(yīng)于輸入輸出描述 （11）的狀態(tài)空間描述為此為能控標(biāo)準(zhǔn)型！48電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論【例10】給定系統(tǒng)的輸入輸出描述為 (3) (2) (1) (3) (1)161946404160720yyy yuuu?利用 （12）即可定出相應(yīng)的一個(gè)狀態(tài)空間描述為?112233123010000106401941611840616644xxxx uxxxy x ux?49電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 四、系統(tǒng)的頻域描述化為狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的頻域描述（傳遞函數(shù)）化為狀態(tài)空間描述.方法采用部分分式法. 1、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為兩兩相異.若傳函極點(diǎn)為兩兩相異。 則部分分式的形式為:式中為系統(tǒng)中兩兩相異極點(diǎn).111111()()()nn nnnn nbsbsb YsWsUs sasasa?1212()()()nnk k k YsWsUs ss ss ss?12,ns ss50電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論為待定系數(shù).可按下式計(jì)算（ （1）選擇狀態(tài)變量令為狀態(tài)變量的拉氏變換式,則(1,2,)iki n?1212()()111()()()()ii issnnk LimWss sYs k Us k Us k Uss sssss?1()()(1,2,)iixs Usi nss?12,nk k k51電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論（ （2）化為狀態(tài)變量的一階方程組1121121111()()()()()()()()nnnns ss ss sssx s U sx s U sx s U sxs Us?111222111()()()()()()()()()()()()nnnnnnsx ss xsU ssx ss xsUssx ss xsUssx ss xsUs?52電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論及及對上式進(jìn)行拉氏反變換,得1122()()()nnYkxskxs kxs?1112221111122()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnx t s x tu tx t s xtu txt s xtu txt s xtu tyk xt k xtk xt?53電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論3.向量形式即狀態(tài)方程稱其為對角線規(guī)范形！?1112221121xx01nn nnnx x sxsxus x xxxy k k kx?xx01nsss?xxu54電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論【例11】設(shè),試求其狀態(tài)空間描述.解:其極點(diǎn)為,而待定常數(shù)為32()6()()6116YsWsUssss?1111222233336()() (1)3 (1) (2) (3)6()() (2)6 (1) (2) (3)6()() (3)3 (1) (2) (3)sssss sk LimWs ss Lim sss skLimWs ss Lim sssskLimWs ss Limssss?121,2,3ns ss?55電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論?11223312310010xx031363xxxxuxxxy xx?相應(yīng)的狀態(tài)空間描述為56電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 2、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為重根（a）傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為一個(gè)重根形式:s1為為n重極點(diǎn)，為待定常數(shù)。 按下式計(jì)算1）選擇狀態(tài)變量111121111()()()()()nn nk k kYsWsUs ssssss?111111112111111()() (1)!111()()()()()()ini issn nndk LimWsssi dsYs kUskUskUsssssss?12111111111()()()()()()n nxsUs Usx sssssssss?1(1,2,)iki n?57電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論2）化為狀態(tài)變量的一階方程組及對上式進(jìn)行拉氏反變換2312111112111111111()()()()()()1111()()()()()()1()()nnnnnnx sUsUsx sssssssssxsUsUsxsssssssssxsUsss?1112212311111111221()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnsx ssxsxssx ssxsxssx ssxsxssx ssxsUsY skxskxskxs?58電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論3）向量形式1112212311111111221nnnnnnnx sxxx sxxxsxxxsxuy kxkxkx?1112211121112110010101nnnnxxsxx susxxxxyk k kx?約當(dāng)規(guī)范形!59電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論【例12】設(shè),三重極點(diǎn)為s=2,待定常數(shù)狀態(tài)空間描述為23251() (2)s sW ss?1(1,2,3)ik i?32112231222231322() (2) (251)19() (2) (45)1314() (2)22!2sssssk LimW ssLimssdk LimWssLimsdsdk LimWssds?11223312321000210002119132xxxxuxxxy xx?60電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論(b)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為k個(gè)重根設(shè)設(shè)為重根,為重根,為重根,且狀態(tài)空間描述為22s lk ks l11s l22kl l l n?61電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論11111112121112211112222212111111kkl ll ll lllllkn l n lkn lknx xsx xsx xsx xsx xsxs xsxxsxsx?1xx001001kkn lnuxx?62電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論1211112111kl l k klnxyk k kkkkx?121121212121211112211101000,110000100100000,111,kkkkkl l kkk lsss sJJs sssJsBB BC kk CkkCkk?k?及令63電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論則?11211000000k kkBJJx xuJBy C C Cx?稱為Jordan(約當(dāng))規(guī)范形64電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 3、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)同時(shí)具有單極點(diǎn)和重極點(diǎn),令為單極點(diǎn),為重極點(diǎn),為為重極點(diǎn),且且狀態(tài)方程12,ksss11ks l?k mms l?121mm iiklllkln?65電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論1111111111111111m mkkkkk kkklklkk mnln lkmn nkmsx xsxxsxxsxxss xxsxxs?110101u?66電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論輸出方程11121,11,1,m kkkl kmkmlnxy kkkkkkkx?67電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 五、根據(jù)物理機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式方法根據(jù)系統(tǒng)含有儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)確定最小變量組，根據(jù)系統(tǒng)物理機(jī)理列寫微分方程，最后寫出矩陣形式。 【例13】R R-CC-L網(wǎng)絡(luò)如圖所示。 e(t)-輸入變量，-輸出變量。 試求其狀態(tài)空間描述。 解1)確定狀態(tài)變量選和構(gòu)成最小變量組,組成狀態(tài)向量x=2()Ru tculiculi?()e tR1L?u R2R2c ic il68電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論2)列寫網(wǎng)絡(luò)方程:消去不是所確定的狀態(tài)變量,即將代入由 （33）式得dudti c?112()() (1)()() (2)LC LCL CCdiRi iL etdtRi iuRi et?11211() (3)() (4)C CLCC LLduduRi RCu RCetdt dtdudiRi RCL etdtdt?112121211() (5)()()()CC LduRu ietdt RRCRRCRRC?69電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論由 （44）式得 （55）式代入 （66）式3)狀態(tài)空間描述111() (6)C LLdudi RC Ri etdtLdt LL?1122121212()()()()LC LdiR RR Ru ietdt RRL RRL RRL?狀態(tài)方程1121212112212121211()()()()()()()C CLLu uRR RCR RCR RCetR RR RR RL R RLR RL ii?70電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論令令狀態(tài)向量1121212112212121222212122121212121111()()(),()()(),RRR CRRCRRCA BR RR RRR LRRLRR LRRR RCDR RRRRR?C CLLu uX Xi i?2()Ru ety u?輸入向量:輸出向量:2212222121212()CR CC LduRRR RuRi RCuietdt RR RRRR?輸出方程:?22122121212()CRLu RRRRueti RRRRRR?71電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論因此狀態(tài)空間描述的數(shù)學(xué)模型可表示為狀態(tài)方程和輸出方程.即為x AxBuy CxDu?72電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論8.3狀態(tài)向量的線性變換 一、系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性設(shè)給定系統(tǒng)為我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣T，將原狀態(tài)向量X作線性變換，得到另一狀態(tài)向量z，設(shè)變換關(guān)系為代入狀態(tài)方程和輸出方程，得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式由于T為任意非奇異矩陣，所以系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式是不唯一的。 0 (0)X AXBu X Xy CXDu?1X Tz z TX?則11110; (0) (0)XTzATzBu zTATzTBuz TX TXyCXDuCTzDu?11,zAzBu ATATBTByCzDuCCTDD?其中，73電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論【例14】某系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為11）若取變換矩陣則變換后的狀態(tài)向量為?0221; (0)130103X Xu XyX?1116xx,xx2TT?即111221xx132121322z TX Xzxz xx?即新的狀態(tài)向量是原狀態(tài)向量的線性組合12,zz12,xx74電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論變換后即變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為?11111101026xx13132023xx011301262036020A TATB TBC CT?10100102316010111213121z Az Bu zuy Cz zz T x?75電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論22）若取變換矩陣則變換后的狀態(tài)向量為變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為1222111,1112TT?即121112z TX X?11222102021102211121213111xx21110;022121121033311zTATz TBu zuz uzTxy CTzzz?76電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論 二、系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量 1、特征值定義:設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為:式中.A為常陣,B為常陣。 系統(tǒng)特征值就是其系數(shù)矩陣A的特征值。 即特征方程的根。 2、特征值性質(zhì)1）一個(gè)n維系統(tǒng)的方陣A，有且僅有n個(gè)特征值。 2）物理上存在的系統(tǒng)，方陣A為實(shí)常陣，其n個(gè)特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)對。 XAXBu?nn?n r?0I A?nn?nn?77電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論3)對系統(tǒng)作線性變換，其特征值不變。 證明作線性非奇異變換，則有若要證其特征值不變，則必證又1?X P X?X PX?X CX CPCX yu B X ABu PX AP P BuPX A PX PX?11111?1I AI PAP?111111()I PAP PP PAP P I APP I AP P P I AI A?78電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論4）設(shè)為A的一個(gè)特征值，若存在某個(gè)n維非零向量，使5）設(shè)為系數(shù)矩陣A的特征值,是A的分別屬于特征值的特征向量。 當(dāng)兩兩相異時(shí)，線性無關(guān)，因此由這些特征向量組成的矩陣P必是非奇異的。 iiiAV V?，則稱為A A的屬于的特征向量.iVi?121,2,3,Ti ii niVvv v in?12,n?12,nVV V12,n?12,nVV V?11121212221212nnnn nnnv v vv v vP VV Vv v v?iV79電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論6)若系統(tǒng)矩陣A具有如下形式則其特征多項(xiàng)式為特征方程的根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，即系統(tǒng)的特征值。 121010000100001nnnAa aaa?111nnnnIA aaa?1110nnnnIAa aa?80電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論【例15】求的特征向量。 解先求特征值，由11）對應(yīng)于的特征向量設(shè)01161166115A?3212311611606115611601,2,3I A?11?1P1112131pP pp?81電氣信息學(xué)院首頁上頁下頁末頁結(jié)束自動(dòng)控制理論按照特征向量的定義，有則乘開后得到解之得令111AP P?111121213131011611