第5章 截面的幾何性質(zhì).ppt

第五章截面的幾何性質(zhì) 5 1截面的靜矩和形心位置 設(shè)任意形狀截面如圖所示 1 靜矩 或一次矩 常用單位 m3或mm3 值 可為正 負(fù)或0 2 形心坐標(biāo)公式 可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)而得 3 靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系 結(jié)論 截面對(duì)形心軸的靜矩恒為0 反之 亦然 4 組合截面的靜矩 由靜矩的定義知 整個(gè)截面對(duì)某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和 5 組合截面的形心坐標(biāo)公式 將 代入 解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為 注 被 減去 部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值 例5 1試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸的靜矩 解 取平行于x軸的狹長(zhǎng)條 所以對(duì)x軸的靜矩為 例5 2試計(jì)算圖示截面形心C的位置 解 將截面分為1 2兩個(gè)矩形 建立坐標(biāo)系如圖示 各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下 矩形I 矩形II 代入組合截面的形心坐標(biāo)公式 解得 5 2極慣性矩 慣性矩 慣性積 設(shè)任意形狀截面如圖所示 1 極慣性矩 或截面二次極矩 2 慣性矩 或截面二次軸矩 為正值 單位m4或mm4 所以 即截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩 等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和 3 慣性積 其值可為正 負(fù)或0 單位 m4或mm4 截面對(duì)于包含對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交軸的慣性積為0 結(jié)論 4 慣性半徑 單位m或mm 例5 3試計(jì)算圖a所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱軸 即形心軸 x和y的慣性矩 解 取平行于x軸的狹長(zhǎng)條 則dA bdy 同理 若截面是高度為h的平行四邊形 圖b 則其對(duì)形心軸x的慣性矩同樣為 例5 4試計(jì)算圖示圓截面對(duì)于其形心軸 即直徑軸 的慣性矩 解 由于圓截面有極對(duì)稱性 所以 所以 5 3慣性矩和慣性積的平行移軸公式 組合截面的慣性矩和慣性積 1 慣性矩和慣性積的平行移軸公式 設(shè)有面積為A的任意形狀的截面 C為其形心 Cxcyc為形心坐標(biāo)系 與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為Oxy 形心C在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為 a b 任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為 同理 有 此為平行移軸公式 注意 式中的a b代表坐標(biāo)值 有時(shí)可能取負(fù)值 等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對(duì)于形心軸的量 2 組合截面的慣性矩和慣性積 根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對(duì)于某軸的慣性矩 或慣性積 等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩 或慣性積 之和 例5 5求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩 解 1 求形心坐標(biāo) 2 求對(duì)形心軸xc的慣性矩 由平行移軸公式得 例5 6試求圖a所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩 解 將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成 1 矩形對(duì)x的慣性矩 2 一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩 見上例 3 一個(gè)半圓對(duì)x的慣性矩 由平行移軸公式得 4 整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩 例5 7試計(jì)算組合截面的Ixc 解 1 求截面形心位置 2 求每個(gè)簡(jiǎn)單截面對(duì)形心軸的慣性矩 3 求整個(gè)截面的慣性矩 5 4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 截面的主慣性軸和主慣性矩 1 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 任意面元dA在舊坐標(biāo)系oxy和新坐標(biāo)系ox1y1的關(guān)系為 代入慣性矩的定義式 利用二倍角函數(shù)代入上式 得轉(zhuǎn)軸公式 注 上式中的 的符號(hào)為 從舊軸x至新軸x1逆時(shí)針為正 順時(shí)針為負(fù) 上式表明 截面對(duì)于通過同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù) 并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩 將前兩式相加得 由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知 當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí) 慣性積將隨著 角作周期性變化 且有正有負(fù) 因此 必有一特定的角度 0 使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸x0 y0的慣性積等于零 2 截面的主慣性軸和主慣性矩 1 主慣性軸 截面對(duì)其慣性積等于0的一對(duì)坐標(biāo)軸 2 主慣性矩 截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩 3 形心主慣性軸 當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí) 4 形心主慣性矩 截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩 5 確定主慣性軸的位置 設(shè) 0是舊軸x逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性軸x0的角度 則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義 得 可改寫為 注 將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定2 0角的象限 5 由上面tan2 0的表達(dá)式求出cos2 0 sin2 0后 再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式 化簡(jiǎn)后可得主慣性矩的計(jì)算公式 極大值Imax 極小值Imin 6 幾個(gè)結(jié)論 若截面有一根對(duì)稱軸 則此軸即為形心主慣性軸之一 另一形心主慣性軸為通過形心并與對(duì)稱軸垂直的軸 若截面有二根對(duì)稱軸 則此二軸即為形心主慣性軸 若截面有三根對(duì)稱軸 則通過形心的任一軸均為形心主慣