第一章 函數(shù)極限與連續(xù)練習(xí)題.pdf

一 選擇題一 選擇題 1 1 0 lim xx f xg x 存在 0 lim xx f xg x 不存在 則正確的是 A 0 lim xx f x 不一定存在 B 0 lim xx g x 不一定存在 C 0 22 lim xx fxgx 必不存在 D 0 lim xx f x 不存在 2 設(shè) nn xay 且lim 0 nn n yx 則 nn xy A 都收斂于a B 都收斂 但不一定收斂于a C 可能收斂 也可能發(fā)散 D 都發(fā)散 3 下列各式中正確的是 A 0 1 lim 1 1 x x x B 0 1 lim 1 x x e x C 1 lim 1 x x e x D 1 lim 1 x x e x 4 設(shè) f x g x在0 x 的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義 并且當(dāng)0 x 時(shí) f x g x都與x為同 階無窮小 則當(dāng)0 x 時(shí) A f xg x 必是x的同階無窮小 B f xg x 必是x的高階無窮小 C f g x必是x的同階無窮小 D f g x必是x的高階無窮小 5 在0 x 時(shí) 下列無窮小量中與x等價(jià)的是 A 1 x e B 1 ln 1 x x C 11x D 1 cosx 6 當(dāng)0 x 時(shí) 2 1 1 x eBxCxAx 是比 3 x高階無窮小 則 A 21 1 36 ABC B 121 336 ABC C 21 1 36 ABC D 121 336 ABC 7 設(shè) 4 ln 1 sin 0 sin cos cos2 0 0 x x f xxxxx g x x x 則0 x 時(shí) f x是 g x 的 A 高階無窮小量 B 低階無窮小量 C 同階非等價(jià)無窮小量 D 等價(jià)無窮小量 8 設(shè) f x滿足 2 0 lim1 x f x x 當(dāng)0 x 時(shí) 2 lncosx是比 n x f x高階的無窮小量 而 n x f x是比 2 sin 1 x e 高階的無窮小 則正整數(shù)n等于 A 1 B 2 C 3 D 4 9 設(shè)0ab 則 1 lim nn n n ab A a B 1 a C b D 1 b 10 已知 2 lim0 1 x x axb x 其中 a b是常數(shù) 則 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 11 設(shè) 2 x a x F xf t dt xa 其中 f x為連續(xù)函數(shù) 則lim xa F x A 2 a B 2 a f a C 0 D 不存在 1 12 2 設(shè) x 1 g xf u du 其中 f x 2 1 10 1 cos 02 x x x xex 則g x在 1 2 內(nèi) A 無界 B 遞減 C 不連續(xù) D 連續(xù) 13 設(shè)函數(shù) f x在區(qū)間 1 1 上連續(xù) 則0 x 是函數(shù) 2 2 0 2 x f xt g x x 的 A 可去間斷點(diǎn) B 跳躍間斷點(diǎn) C 無窮間斷點(diǎn) D 振蕩間斷點(diǎn) 14 設(shè) 2 0 ln 1 2 lim4 x xf xx x 則 0 2 lim x f x x A 2 B 4 C 6 D 8 15 f x在點(diǎn)a連續(xù) 是 f x在點(diǎn)a處連續(xù)的 條件 A 必要非充分 B 充分非必要 C 充要 D 既非充分又非必要 16 3 ln 1 1 sin 0 1 cos 0 x x f xxx xx 則 12 lim nnn n r n aaa 3 求 222 111 lim 12 n nnnn 4 21 lim tan n n n n 5 lim 1 n n nn 6 1 1 1 limsin n n n n nn 7 222 12 lim 12 n n nnnnnnn 8 2 1 3sin2sin lim x xx x x 9 2 3 lim 3ln 1 x xx x 10 2 2 0 coscos1 lim sin x xxx x 11 2 2 2 2 0 0 2 3 lim x t xt x e dt edt 12 0 tan tan sin sin lim sin x xx xx 13 1 2 limarctan 1 x x x x 14 11 3 1 0 1 2 lim 3 n nn n n a aana a 設(shè) 求 15 設(shè) 2 0 1 tan1 lim3 1 x x f xx e 則 0 lim x f x 1616 設(shè)函數(shù) f x在點(diǎn)0 x 處有 0 0f 0 2f 則 0 20 lncos lim 1 2 1 x x xt dt fx 1717 0 11 lim arctancot x arc xx 18 若 0 11 lim 1 x x a e xx 則 a 19 設(shè) 2 tan 0 1 0 arcsin 2 x x aex e f x x x 在0 x 連續(xù) 則 a 20 函數(shù) 1 tan x x eex f x x ee 在 上的第一類間斷點(diǎn)是 三三 解答解答題題 1 求下列極限 1 x x x x 1 0 e lim 2 3 0 arctansin lim x xx I x 3 2 0 1tan1 sin lim ln 1 x xx xxx 4 7 74 4 764 511sin8 lim 13 x xxx xx 5 2 lim x ax b x a b x xaxb xab 6 1 ln 0 lim x x x x 7 tan 0 1 lim x x I x 8 2 2 2 0 cos sin 1 lim x x x x 9 21 lim sincos x x xx 10 2 limtan 4 n n n 11 2 2 411 lim sin x xxx xx 12 1 2 lim1 x x xx 13 1 lncos1 lim 1 sin 2 x x x 14 3 0 sincos lim sin x xxx x 15 2 lim 1 1 x x x e x 2 已知 1 lim x f x 存在 且 21 3 1 arctan11 2lim 1 x x xx f xx ef x x 求 f x 3 設(shè)數(shù)列 n x由下式給出 1 1 2 x 2 1nnn xxx 1 2 n L 試求 12 111 lim 111 n n xxx L 5 5 已知 2 1 1 fx x 1 1 g x x 且 0 0 0fg 試求 0 11 lim x f xg x 6 證明 14 lim 1 1 n n n nnn ne 7 7 設(shè)函數(shù) f x在0 1x 0b 至少有一正根 并且他不超過ab 11 設(shè) f x 在 上 連 續(xù) 且 lim0 x f x x 試 證 存 在 使 0f 參考答案參考答案 1 1 答案 答案 D D 解析 解析 若 0 lim xx f x 存在 必得 0 lim xx g x 存在 從而應(yīng)得 0 lim xx f xg x 存在 這與已知矛盾 故 A B 不正確 對于 C 只需取反例說明即可 例 11 sin sin f xg x xx 0 lim 0 xx f xg x 存在 00 1 lim lim 2sin xxxx f xg x x 不存在 但 0 22 lim 0 xx fxgx 是存在的 故 C 必不正確 2 答案 答案 A 解析 解析 由 nn xay 得0 nnn axyx 又由lim 0 nn n yx 及夾逼定理得 lim 0 n n ax 因此lim n n xa 由此得limlim nn nn xya 故應(yīng)選 A 3 答案 答案 A 解析 解析 此題主要考察的是 1 lim 1 x x e x 所以 1 ln 1 00 1 lim 1 lim1 x x x xx e x 又由 11 11 lim 1 lim 1 xx xx e xx 且 11 11 lim 1 lim 1 xx xx e xx 故選 A 4 答案 答案 C 解析 解析 因?yàn)?0 lim0 x g x b x 所以 0 lim 0 x g x 且存在去心鄰域 0 0 U 當(dāng) 0 xU x 時(shí) g x與bx同號 從而知 0g x 于是存在去心鄰域 00 0 0 UU 當(dāng) 0 0 xU 時(shí) f g x有定義 且 0000 limlim limlim xxtx f g xf g xg xf tg x xg xxtx 又因?yàn)?0 lim0 t f t a t 從而 0 lim0 x f g x ab x 下舉反例 A 的反例 2 f xxxg xx B 的反例 2 f xx g xx 5 答案 答案 B 解析 解析 利用等價(jià)無窮小可知 當(dāng)0 x 時(shí) 1 x ex 1 lnln 1 1 x xx x 1 11 2 xx 1 cos 2 x x 6 答案 答案 B 解析 解析 利用泰勒公式 23 3 1 0 26 x xx exo xx 2 23 32 233 1 1 1 1 1 26 11 1 262 x eBxCxAx xx xo xBxCxAx B AB xBC xC xo x 由題設(shè) 10 1121 0 2336 1 0 62 AB BCABC B C 7 答案 答案 C 解析 解析 4 00 444 3 0 2 22 00 sin cos cos2 limlim ln 1 sin 1 sin4 4 lim ln 1 sin sin 1 4 1 cos48 2 limlim 333 xx x xx f xxxxx xg x x xx xxx x x x xx 等價(jià)無窮小替換 可知 f x是 g x的同階非等價(jià)無窮小量 8 8 答案 答案 A A 解析 解析 由 2 0 lim1 x f x x 知 0 x 時(shí) 2 f xx 于是 2 nn x f xx 又當(dāng) 0 x 時(shí) 2224 1 lncosln 1 cos1 cos1 2 xxxx 2 sin22 1sin x exx 再根據(jù)題設(shè)有 224n 可見1n 9 答案 答案 B 解析 解析 1 111 lim limlim 1 nnn n nn nn nnn a ab abab 由于11 2 nn n a b 且 lim21 n n 按極限的夾逼定理得 1 1 lim nn n n ab a 10 答案 答案 C 解析 解析 由 2 lim0 1 x x axb x 得 2 1 lim0 1 x a xab xb x 所以此時(shí)必有 10a 0ab 故1 1ab 11 答案 答案 B 解析 解析 2 2 lim lim x axaxa x F xf t dta f a xa 注 此題應(yīng)用到了變上限積分求導(dǎo)公 式 其知識點(diǎn)在定積分中學(xué)到 1212 答案 答案 D 解析 解析 一種簡單的方法是利用結(jié)論 設(shè) f x在區(qū)間 a b上有界 且只有有限個(gè)間斷 點(diǎn) 則 f x在 a b上可積 可判斷本題中的 f x在 1 2 上是可積的 再利用結(jié)論 若 f x在 a b上可積 則 1 x f u du 是 a b上的連續(xù)函數(shù) 可得g x在 1 2 內(nèi)是連續(xù) 的 因此選 D 另一種方法是直接計(jì)算出g x 然后再判斷 當(dāng) 1 0 x 時(shí) 11 1 1 cos xx g xf u dudu u 1 1 tantantan 222 x ux 當(dāng) 0 2 x 時(shí) 20 110 1 1 cos xx u g xf u duduuedu u 2 0 10 1 tan 22 x u u e 2111 tan 222 x e 即 2 1 tantan 10 22 111 tan 02 222 x x x g x ex 00 11 lim lim tantantan 222 xx x g x 2 00 1111 lim lim tantan 0 2222 x xx g xeg 所以 g x在0 x 處是連續(xù)的 因而它在 1 2 內(nèi)也是連續(xù)的 13 答案 答案 A 解析 解析 在 2 2 0 x f xt dt 中 令 2 xtu 當(dāng)0t 時(shí) 2 ux 當(dāng) 2 tx 時(shí)0u dtdu 因此 22 2 00 xx f xt dtf u du 于是 2 2 0 2 000 2 lim limlim 2 x xxx f u du f xx g x xx 2 0 lim 0 x f xf 按照間斷點(diǎn)的分 類 所以0 x 是 g x的可去間斷點(diǎn) 14 答案 答案 C 解析 解析 22 2 ln 1 2 ln 1 2 2f xxf xxxx xxx 所以 22 00 2 ln 1 2 ln 1 2 2 limlim xx f xxf xxxx xxx 2 00 2 2 ln 1 2 2 1 2 4lim4lim6 2 xx xx x xx 15 答案 答案 B 解析 解析 f x在xa 連續(xù) f x在xa 連續(xù) f xf af xf a 但 f x在xa 連續(xù)推不出 f x在xa 連續(xù) 如 1 1 xa f x xa 1f x f x在xa 連續(xù) 但 f x在xa 間斷 16 答案 答案 C 解析 解析 00 0 1 cos1 0 limlim 02 xx f xfx f xx 3 2 000 0 ln 1 11 0 limlimsinlimsin0 0 xxx f xfx fx xxxx 0 0 ff 所以 f x在0 x 處不可導(dǎo) 又由 0 0 ff 存在可得 f x在0 x 右 連續(xù)和左連續(xù) 既 f x在0 x 連續(xù) 17 答案 答案 B 解析 解析 易得 f x的表達(dá)式 2 1 sin 2 11 sin 22 lim 111 2 22 1 0 2 n n x x x x f x x x x 由表達(dá)式得到 f x的間斷點(diǎn)為 1 2 18 答案 答案 D 解析 解析 因?yàn)?1 0 lim 1 0 x x x e 所以 0 lim 0 x f xx 是 f x的第二類間斷點(diǎn) 再 由 11 1111 lim lim0lim 0 lim 1 xx xx xxxx eef xf x 所以1x 是 f x的第一類 間斷點(diǎn) 19 答案 答案 B 解析 解析 令 F xf xg x 假設(shè) F x在 1 xx 處連續(xù) 由 f xF xg x 及 已知條件 g x僅在 2 xx 處間斷 其他處均連續(xù) 于是推出 f x在 1 xx 處連續(xù) 這與已 知條件矛盾 故 F x在 1 xx 間斷 同理推出 F x在 2 xx 處亦是間斷點(diǎn) 下舉出 A C D 的反例 A 的反例 1 0 1 0 x f x x g xf x 而 0f xg x 無間斷點(diǎn) C 的 反 例 與 A 一 致 此 時(shí) 1f x g x 無 間 斷 點(diǎn) D 的 反 例 1 00 1 0 01 1 xx f xg x xx 0f x g x 無間斷點(diǎn) 20 答案 答案 B 解析 解析 由于 12 1 limarctan0 1 2 x x x xx e xx 則0y 為水平漸近線 又 12 0 1 limarctan 1 2 x x x xx e xx 則0 x 為其垂直漸近線 12 1 limlimarctan 1 2 x x xx yexx e xxxx 則原曲線無斜漸近線 二二 填空填空題題 1 答案 答案 1 e 解析 解析 1 1 1 11 ln ln 1 n n i i n nn n nnn n n nee nn 1 10 1 1 limln ln 1 1 lim n n i i xdx nn n n neee n 2 答案 答案 12 max r a aa 解析 解析 令 12 max r aa aa 則 12 nnnnnn n r aaaaraa r 所以 原式 2ln1 lim2lim0 xx x xx 6 答案 答案 e 解析 解析 1 1 1 limsin n n n n nn 1 1 lim 1 sin 11 lim 1lim 1 sin 1 sin 111 lim sinsin lim sin 1 0 1 n n n n nn nn n n nn n nn n eneee nnn n 7 答案 答案 1 2 解 析 解 析 222 22 1112 12221 n nn nn nnnnnnnnnnnn 22 111 limlim 2212 nn n nn n nnnnn 故原式 1 2 8 答案 答案 3 解析 原式 1 sin 2sin lim3lim303 1 xx x x x x 9 答案 答案 9 2 解析 解析 原式 2 2 33 ln 1 33 lim ln 1 lim 1 xx xx x xx x 2 1 0 0 3 3 3ln 1 3 9 1 3 limlim 22 t t x tt t tt 10 答案 答案 3 2 解析 解析 原式 2 22 000 coscos1cos113 limlimlimcos1 22 xxx xxxx x xx 11 答案 答案 0 解析解析 原式 222 2 222 22 4 4 00 181414 4 442 limlimlim0 33 328 xx xtt x xxx xxx ee dte dt e eexe 12 答案 答案 6 解析 解析 tan tan sin sin tan tan tan sin tan sin sin sin sinsin xxxxxx xxxx 2 sec tansin tan sin sin sin sinsin xxxx xxxx 其中sintanxx 此時(shí)利用了拉格朗日中值定理 且 2 0 limsec1 x 所以 2 00 sec tansin sin 1 cos limlim3 sincos sin xx xxxx xxx xx 32 11 0sin000 22 22 tan sin sin sin tansin1 cos3cossin limlimlimlim3 sinarcsin 1 1 1 xtxtt xxttttt xxtt ttt 故原式6 13 答案 答案 解析 解析 1 2 arctan 1 x f xx x 令則 1 2 lim limarctan2 12 xx x f xx x 1 2 lim limarctan 12 xx x f xx x 2 1 2 limarctan 1 x x x x 故 14 答案 答案 3 解析 解析 03 2 3 nn ana 令則于是 0lim nn n xaaA 在單調(diào)上升 從而 是單調(diào)有界的 故存在極限 3 1 3lim3 3 n n A AAa A 對遞歸方程取極限得 15 答案 答案 12 解析 解析 由題設(shè)及 2 000 lim 1 0lim 1 tan10lim tan0 x xxx ef xxf xx 所以 2 000 1 tan 1 tan1 2 limlim3lim 12 12 x xxx f xx f xx f x ex 1616 答案 答案 0 解析 解析 由 0 0f 0 2f 知 0 lim2 x f x x 于是當(dāng)0 x 時(shí) 2f xx 故 0 00 2 2000 2 lncos lncos lncos limlimlim 1 1 2 1 2 2 xx x xxx xt dtuduu du fx fx fx 0 2 000 lncos lncossin limlimlim0 488cos x xxx u du xx xxx 1717 答案 答案 2 解析解析 當(dāng)0 x 時(shí) 11 arctan cotarc xx 均無極限 分左右極限考慮 由 0 11 lim arctancot 0 22 x arc xx 0 11 lim arctancot 22 x arc xx 從而原極限 2 18 答案 答案 2 解析 解析 0000 1111 lim lim 1 limlim11 x xxxx xxxx e a eeaeaea xxxx 2a 19 答案 答案 2 解析 解析 f x在0 x 連續(xù) 00 lim lim 0 xx f xf xf 由于 tan 000 1tan lim limlim2 arcsin 22 x xxx ex f x xx 2 00 lim lim x xx f xaea 即2a 20 答案 答案 0 解析 解析 顯然在 區(qū)間內(nèi)沒有意義的點(diǎn)有 0 1 2 xxx 2 lim x f x 且 1 lim x f x 00 1 lim 0 lim xx e f xf x e 根據(jù)間斷點(diǎn)的定義知 0 x 為跳躍間斷點(diǎn)即為第一類間斷點(diǎn) 三三 解答解答題題 1 解析 解析 1 1型極限 可用公式 1 limexp lim 00 uvu x v x 來計(jì)算 事實(shí)上 1 1 1ln ln uuu 故原式 2 00 e 1e 1limexp 1e limexp xx x x x x x 2 由于 3333 12 11 arctan sin 33 xxxoxxxxox 故 3333 12 33 00 11 arctansin133 limlim 6 xx xxo xxxox xx I xx 3 原式 2 0 tansin1 lim ln 1 1 tan1 sin x xx xxxxx 0 tan1 cos1 lim ln 1 1 tan1 sin x xx xxxxx 2 0 1 1 2 lim1 ln 1 2 x x xx 2 0 1 lim 4ln 1 x x xx 0 12 lim 1 4 1 1 x x x 0 11 lim 2 1 42 x x 4 7 4 4 7767 44 4 4 111sin8 5 5 lim 131 13 x x xx xx I x 5 22 11 lim 1 x ax b ab a b x a ba b x ab eexx Ie eab x 6 0 ln lim 01 ln 1 ln 0 lim1 x xx x x x x Ixee 7 00 tan 11 lim tanlnlimln 02 0 1 lim1 xx x xxx x x Ieee x 8 原式 222 22 0 sincos lim sin x xxx xx 222 4 0 sincos lim x xxx x 3 00 sincossincos limlim xx xxxxxx xx 3 00 1 sin2 sin 2 lim 1coslim xx xx x x xx 2 0 1 cos2 2lim 3 x x x 2 2 0 1 2 2 2lim 3 x x x 4 3 9 令 1 x t 則 00 ln sin2cos212cos2sin lim ln sincoslimlim2 sin2cos xtt tttt x xxttt 故 2 21 lim sincos x x e xx 10 22 1tantan 21 tan lim1 lim1 222 4 1tan1tan nn nn n nnn 故原式 22 1tan2tan limlim 1 22 1 tan1 tan nn nn nn nn 22 1 tan4tan 1 222 2tan1 tan 4 2 2tan lim 1 2 1tan nn nnn n n e n 11 原式 2 22 32 lim sin411 x xx xxxxx 2 22 12 3 lim1 sin111 141 x xx x xxxx 12 2 222 ln1 11 limlim1lim0 111 xxx xx x x xxxx 故 1 20 lim11 x x xxe 13 原式 2 2 11 tan1sec1224 limlim cossin 222 xx xx xx 14 32 43 sin cos1 0 3 2 xx xxo xxo xx 故 32 3 33 00 1 3 2