(文科)選修4-4-坐標系與參數(shù)方程.doc

選修44坐標系與參數(shù)方程1極坐標系(1)極坐標系的建立：在平面上取一個定點O，叫做_，從O點引一條射線Ox，叫做_，再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個極坐標系設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的_，記為，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角叫做點M的極角，記為.有序數(shù)對(，)叫做點M的極坐標，記作M(，)(2)極坐標與直角坐標的關(guān)系：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標為(，)，則它們之間的關(guān)系為x_，y_.另一種關(guān)系為2_，tan _.2簡單曲線的極坐標方程(1)直線的極坐標方程 (R)表示過極點且與極軸成角的直線；cos a表示過(a,0)且垂直于極軸的直線；sin b表示過且平行于極軸的直線；sin()1sin(1)表示過(1，1)且與極軸成角的直線方程(2)圓的極坐標方程2rcos 表示圓心在(r,0)，半徑為|r|的圓；2rsin 表示圓心在，半徑為|r|的圓；r表示圓心在極點，半徑為|r|的圓3曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變量t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值上式所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，則稱上式為該曲線的_，其中變量t稱為_4一些常見曲線的參數(shù)方程(1)過點P0(x0，y0)，且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為_(t為參數(shù))(2)圓的方程(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為_(為參數(shù))(3)橢圓方程1(ab0)的參數(shù)方程為_(為參數(shù))(4)拋物線方程y22px(p0)的參數(shù)方程為_(t為參數(shù))1在極坐標系中，直線sin()2被圓4截得的弦長為_2極坐標方程sin 2cos 能表示的曲線的直角坐標方程為_3已知點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線(t為參數(shù))上，則PF_.4直線(t為參數(shù))的傾斜角為_5已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))則點M1(0,1)，M2(5,4)在曲線C上的是_題型一極坐標與直角坐標的互化例1在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為cos()1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點(1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標； (2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程思維升華直角坐標方程化為極坐標方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗在極坐標系中，已知圓2cos 與直線3cos 4sin a0相切，求實數(shù)a的值題型二參數(shù)方程與普通方程的互化例2已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0)和(tR)，求它們的交點坐標思維升華(1)參數(shù)方程化為普通方程常用的消參技巧有代入消元、加減消元、平方后再加減消元等對于與角有關(guān)的參數(shù)方程，經(jīng)常用到的公式有sin2cos21,1tan2等(2)在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，還要注意其中的x，y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(t為參數(shù))；(2)(為參數(shù))題型三極坐標、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系曲線C的極坐標方程是4cos ，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，M，N分別為曲線C、直線l上的動點，求MN的最小值思維升華涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解轉(zhuǎn)化后可使問題變得更加直觀，它體現(xiàn)了化歸思想的具體運用(2013遼寧)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系圓C1，直線C2的極坐標方程分別為4sin ，cos2.(1)求C1與C2交點的極坐標；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值參數(shù)的幾何意義不明致誤典例：(10分)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標系xOy的O點為極點，Ox方向為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為2cos()(1)求直線l的傾斜角；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，求AB.易錯分析不明確直線的參數(shù)方程中的幾何意義導(dǎo)致錯誤規(guī)范解答解(1)直線的參數(shù)方程可以化為2分根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，直線l經(jīng)過點(0，)，傾斜角為60.4分(2)直線l的直角坐標方程為yx，6分2cos()的直角坐標方程為(x)2(y)21，8分所以圓心(，)到直線l的距離d.所以AB.10分溫馨提醒對于直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))來說，要注意t是參數(shù)，而則是直線的傾斜角與此類似，橢圓參數(shù)方程的參數(shù)有特別的幾何意義，它表示離心角方法與技巧1曲線的極坐標方程與直角坐標系的互化思路：對于簡單的我們可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有時需要作適當?shù)淖兓鐚⑹阶拥膬蛇呁瑫r平方，兩邊同時乘以等2參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧：代入消元、加減消元、平方后加減消元等，經(jīng)常用到公式：cos2sin21,1tan2.3利用曲線的參數(shù)方程來求解兩曲線間的最值問題非常簡捷方便，是我們解決這類問題的好方法失誤與防范1極徑是一個距離，所以0，但有時可以小于零極角規(guī)定逆時針方向為正，極坐標與平面直角坐標不同，極坐標與P點之間不是一一對應(yīng)的，所以我們又規(guī)定0,02，來使平面上的點與它的極坐標之間是一一對應(yīng)的，但仍然不包括極點2在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，還要注意其中的x，y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性A組專項基礎(chǔ)訓練1(2013江蘇)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點的坐標2已知曲線C的參數(shù)方程為0,2)，曲線D的極坐標方程為sin().(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；(2)曲線C與曲線D有無公共點？試說明理由3(2013福建)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為(，)，直線l的極坐標方程為cos()a，且點A在直線l上(1)求a的值及直線l的直角坐標方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系4在極坐標系中，P是曲線12sin 上的動點，Q是曲線12cos上的動點，試求PQ的最大值5在極坐標系中，已知三點M、N(2,0)、P.(1)將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標；(2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上6在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C：x2y236變?yōu)楹畏N曲線，并求曲線的焦點坐標B組專項能力提升1在極坐標系中，已知圓O：cos sin 和直線l：sin().(1)求圓O和直線l的直角坐標方程；(2)當(0，)時，求直線l與圓O公共點的極坐標2已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為2，22cos()2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程3(2013課標全國)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(0,02)4(2012遼寧)在直角坐標系xOy中，圓C1：x2y24，圓C2：(x2)2y24.(1)在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標方程，并求出圓C1，C2的交點坐標(用極坐標表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程答案要點梳理1(1)極點極軸極徑(2)cos sin x2y23參數(shù)方程參數(shù)4(1)(2)(3)(4)夯基釋疑142.x2y22xy03.44.505.M1題型分類深度剖析例1解(1)由cos()1得(cos sin )1.從而C的直角坐標方程為xy1，即xy2.當0時，2，所以M(2,0)當時，所以N(，)(2)M點的直角坐標為(2,0)N點的直角坐標為(0，)所以P點的直角坐標為(1，)則P點的極坐標為(，)，所以直線OP的極坐標方程為(R)跟蹤訓練1解將極坐標方程化為直角坐標方程，得圓的方程為x2y22x，即(x1)2y21，直線的方程為3x4ya0.由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有1，解得a8或a2.故a的值為8或2.例2解將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程分別為y21 (0y1，x)和y2x，聯(lián)立解得交點為.跟蹤訓練2解(1)x，y4343x.又x20,2)x0,2)所求的普通方程為3xy40(x0,2)(2)4cos22x,4sin24(y1)4cos24sin22x4y4.4yx20.04cos24，02x4，2x2.所求的普通方程為x4y20(x2,2)例3解化極坐標方程4cos 為直角坐標方程x2y24x0，所以曲線C是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓化參數(shù)方程(t為參數(shù))為普通方程xy30.圓心到直線l的距離d，此時，直線與圓相離，所以MN的最小值為2.跟蹤訓練3解(1)圓C1的直角坐標方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標方程為xy40.解得所以C1與C2交點的極坐標為，注：極坐標系下點的表示不唯一(2)由(1)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0,2)，(1,3)故直線PQ的直角坐標方程為xy20，由參數(shù)方程可得yx1，所以解得a1，b2.練出高分A組1解因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由xt1得tx1，代入y2t，得到直線l的普通方程為2xy20.同理得到曲線C的普通方程為y22x.聯(lián)立方程組解得公共點的坐標為(2,2)，.2解(1)由0,2)得x2y1，x1,1(2)由sin()得曲線D的普通方程為xy20.得x2x30.解得x1,1，故曲線C與曲線D無公共點3解(1)由點A(，)在直線cos()a上，可得a.所以直線l的方程可化為cos sin 2，從而直線l的直角坐標方程為xy20.(2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x1)2y21，所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r1，因為圓心C到直線l的距離d1，所以直線l與圓C相交4解12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos，212，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，PQmax6618.5解(1)由公式得M的直角坐標為(1，)；N的直角坐標為(2,0)；P的直角坐標為(3，)(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、N、P三點在一條直線上6解圓x2y236上任一點為P(x，y)，伸縮變換后對應(yīng)的點的坐標為P(x，y)，則4x29y236，即1.曲線C在伸縮變換后得橢圓1，其焦點坐標為(，0)B組1解(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，圓O的直角坐標方程為x2y2xy，即x2y2xy0，直線l：sin()，即sin cos 1，則直線l的直角坐標方程為yx1，即xy10.(2)由得故直線l與圓O公共點的極坐標為(1，)2解(1)由2知24，所以x2y24；因為22cos()2，所以22(cos cos sin sin )2，所以x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為xy1.化為極坐標方程為cos sin 1，即sin().3解(1)C1的參數(shù)方程為.(x4)2(y5)225(cos2tsin2t)25，即C1的直角坐標方程為(x4)2(y5)225，把xcos ，ysin 代