一元一次不等式組的解法.doc

第二章一元一次不等式與一元一次不等式組6一元一次不等式組1.通過具體問題抽象出不等式組.2.理解一元一次不等式組及其解集的意義,會用數(shù)軸表示不等式組的解集.3.體會利用不等式組解決簡單實際問題的方法.4.培養(yǎng)學生的抽象概括能力.5.體會數(shù)形結(jié)合思想的魅力.教學時通過具體的實例啟發(fā)學生建立不等式組模型,讓學生通過觀察、交流得到不等式組的概念,通過學生自己的獨立探索得出不等式組的解集.通過運用不等式組解決簡單的實際問題,提高學生分析問題、解決問題的能力,體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系.【重點】掌握一元一次不等式組的有關概念.【難點】求一元一次不等式組的解集.第課時1.理解一元一次不等式組、一元一次不等式組的解集、解不等式組等概念.2.會解一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定其解集.通過操作、觀察、歸納,運用類比的思想方法總結(jié)出一元一次不等式組、一元一次不等式組的解集、解不等式組這些概念,發(fā)展學生的類比推理能力.培養(yǎng)學生獨立思考的習慣與合作交流意識.【重點】1.理解有關一元一次不等式組的概念.2.會解一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定其解集.【難點】在數(shù)軸上確定不等式組的解集.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】復習一元一次不等式的解法.導入一:解下列不等式,并把解集在數(shù)軸上表示出來:(1)2x-1x+1;(2)x+84x-1;(3)2x+3x+11;(4)-15;(2)6x-51.探索:用每分鐘可抽30噸水的抽水機來抽污水管道里積存的污水,估計積存的污水在1200噸到1500噸之間,那么大約需要多長時間才能將污水抽完?分析:設需要x分鐘才能將污水抽完,那么總的抽水量為30x噸.由積存的污水在1200噸到1500噸之間,可得120030x1500.設計意圖通過一個具體的問題引入一元一次不等式組的概念,學生在研究這一具體問題時,自然感知到要解決的問題同時滿足兩個約束條件,而這兩個約束條件都是不等式,這樣引入不等式組的概念比較自然.一、一元一次不等式組的有關概念過渡語 同學們,我們來看下面的問題,看看大家能不能解決.某校今年冬季燒煤取暖時間為4個月.如果每月比計劃多燒5噸煤,那么取暖用煤總量將超過100噸;如果每月比計劃少燒5噸煤,那么取暖用煤總量不足68噸.若該校計劃每月燒煤x噸,則x滿足怎樣的關系式?師:這是一個實際問題,請大家先理解題意,弄清已知條件和未知元素,從而確定用哪一個知識點來解決問題,即先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,再求解.生:已知條件有:取暖時間為4個月,未知量是計劃每月燒煤的噸數(shù)x,當每月比原計劃多燒5噸煤時,每月實際燒煤(x+5)噸,這時總量4(x+5)100;當每月比原計劃少燒5噸煤時,實際每月燒(x-5)噸煤,這時總量4(x-5)100,且4(x-5)20,x,解不等式,得x6,在同一條數(shù)軸上表示不等式的解集,如圖所示:因此,原不等式組的解集為xb):(1)當不等號的方向一致時(稱同向不等式),即或?qū)@類不等式組可按“同大取大,同小取小”的法則,即取公共部分作為它的解集(如圖所示).(2)當未知數(shù)的取值小于大數(shù)且大于小數(shù)時,即則不等式組的解集在兩數(shù)之間,取公共部分(如圖所示).(3)若未知數(shù)的取值比大數(shù)還大,比小數(shù)還小,即則不等式組無解,即沒有公共部分(如圖所示).1.一元一次不等式組的有關概念.2.一元一次不等式組的解法.1.下列不等式組中,解集是2x3的是()A.B.C.D.答案:C2.在數(shù)軸上從左至右的三個數(shù)為a,1+a,-a,則a的取值范圍是()A.aB.a0D.a0與y-20,則y的取值范圍是.答案:-1y1B.x2C.1x2D.1x2答案:D6.不等式組的解集是.答案:-x47.解下列不等式組:(1)(2)解:(1)x.(2)無解.8.解不等式組并把解集表示在數(shù)軸上,求出不等式組的整數(shù)解.解:解集為-x3,在數(shù)軸上表示略.整數(shù)解為2,1,0,-1.第1課時一、一元一次不等式組的有關概念二、例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第55頁隨堂練習的1,2題.【選做題】教材第55頁習題2.8的1,2題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.不等式組的整數(shù)解有()A.1個B.2個C.3個D.4個2.在平面直角坐標系內(nèi),點P(2x-6,x-5)在第四象限,則x的取值范圍為()A.3x5B.-3x5C.-5x3D.-5x1;x4;x-1.從這四個不等式中取兩個,構(gòu)成正整數(shù)解是2的不等式組的組合是()A.與B.與C.與D.與4.方程組的解x,y滿足xy,則m的取值范圍是()A.mB.mC.mD.m【能力提升】5.若不等式組無解,則m的取值范圍是.6.(2015珠海中考改編)不等式組的解集是.7.不等式組的解集為x2,則a的取值范圍是.8.若不等式組的解集為-1x1,則(a+1)(b-1)的值等于.9.若不等式組無解,則a的取值范圍是.【拓展探究】10.解下列不等式組:(1)2x1-xx+5;(2)11.求同時滿足不等式6x-23x-4和-1的整數(shù)x的值.12.求不等式組的非負整數(shù)解.【答案與解析】1.C(解析:分別求出不等式組中兩個不等式的解集,找出解集的公共部分,確定出不等式組的解集,找出解集中的整數(shù)解的個數(shù)即可.故選C.)2.A(解析:根據(jù)第四象限內(nèi)點的坐標的特征得解得3x4;B.與無解;C.與的解集是x2;D.與的解集是1xy可得到,解得m.故選D.)5.m2(解析:不等式組無解,m+12m-1,解得m2.故填m2.)6.2x37.a28.-3(解析:解不等式組可得解集為2b+3xa+1.因為不等式組的解集為-1x1,所以2b+3=-1,a+1=1,解得b=-2,a=0,所以(a+1)(b-1)=1(-3)=-3.故填-3.)9.a1(解析:不等式組可化為因為不等式組無解,所以4a-15-2a,解得a1.故填a1.)10.解:(1)-2x-3.11.解:解不等式6x-23x-4,得x-;解不等式-1,得x.所以同時滿足兩不等式的x的值滿足-x,所以整數(shù)x的值為0.12.解:解不等式組可得其解集為x, 所以不等式組的非負整數(shù)解為0,1,2,3,4,5.充分利用數(shù)形結(jié)合思想來求各個不等式解集的公共部分,即求一元一次不等式組的解集,從而突破了本課的難點,這是本課最突出的亮點.在對整節(jié)課的時間把握上有所欠缺,致使拖堂,當然這也存在著經(jīng)驗不足,沒有預先設計的問題.還應更注重細節(jié),講究規(guī)范,強調(diào)反思.在對本節(jié)課系統(tǒng)的回顧、梳理過程中,教師要適時給予恰當引導,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力,并給學困生提供更多發(fā)言的機會.隨堂練習(教材第55頁)1.提示:(1)x3.(2)1x.習題2.8(教材第56頁)1.提示:(1)x4.(3)2x1.2.提示:不等式組的解集是組成該不等式組的每一個不等式的解集的公共部分,所以,每一個不等式的解集不一定是其組成的不等式組的解集.3.提示:a3.4.解:設大約要用x小時才能將這堆石料裝完,根據(jù)題意,得180050x2200,解得36x44.答:大約要用36至44小時才能將這堆石料裝完.在本章前面幾節(jié)課的學習中,學生已經(jīng)學習了一元一次不等式的概念,掌握了解一元一次不等式的基本技能.在相關知識的學習過程中,學生會利用一元一次不等式解決一些簡單的實際問題,感受到了不等式在生活中的廣泛應用,同時在以前的數(shù)學學習中,學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程,具有了一定的合作學習的經(jīng)驗,具備了一定的合作與交流的能力,學生已初步掌握了類比思想、化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,認識到類比、化歸和數(shù)形結(jié)合思想在思考、解決數(shù)學問題中的優(yōu)越性,這對本課的學習是有益的,但還要注意加強學生學習的主動性和探究性.一元一次不等式組是從已有的知識構(gòu)建出發(fā),遵從情境引入的理念,靈活地、創(chuàng)設性地處理教材的一節(jié)課.我們知道求未知數(shù)取值范圍的問題是普遍存在的,在涉及兩個以上數(shù)量間的大小關系的問題中,不等式組是解決這些問題的有力工具,因此必須學會求解一元一次不等式組,可見本節(jié)課在這一章中具有舉足輕重的地位.本課時教學應為學生提供個性化的學習時間和空間,鼓勵學生利用類比思想和數(shù)形結(jié)合思想自主探究,合作交流,大膽表述,滿足學生多樣化的學習要求.此外,二元一次方程組與一元一次不等式組兩者之間既有聯(lián)系又有差異,因此,在教學中一要注重類比,做好從方程組到不等式組的遷移;二要重視化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法的滲透.第課時1.會解由兩個或兩個以上一元一次不等式組成的不等式組,并能用數(shù)軸求得解集;2.總結(jié)解一元一次不等式組的步驟及情形.通過總結(jié)解一元一次不等式組的步驟,培養(yǎng)學生的類比推理能力和不完全歸納能力.1.培養(yǎng)學生獨立思考的習慣,加強運算的熟練性與準確性.2.培養(yǎng)學生的合作交流意識與創(chuàng)新意識,為學生在今后的生活和學習中更好地運用數(shù)學做準備.【重點】鞏固解一元一次不等式組.【難點】討論求不等式組解集時出現(xiàn)的所有情況,并能清晰地闡述自己的觀點.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】復習上一節(jié)一元一次不等式組的解法.導入一:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長7 cm,b長3 cm,如果要再找一根長為x cm的木條,用這三根木條釘成一個三角形木框,請動手試一試:(1)當x等于14時,能與a和b釘成三角形木框嗎?(2)當x等于9時,能與a和b釘成三角形木框嗎?(3)當x等于4時,能與a和b釘成三角形木框嗎?(4)在什么條件下,長度為3 cm,7 cm,x cm的三條線段可以圍成三角形?設計意圖引導學生進行操作、觀察、發(fā)現(xiàn),激發(fā)學生的好奇心和求知欲,讓學生親自動手,親身體驗,使學生理解x并不是可以取任意值,要圍成三角形,x的取值有一定的限制,讓學生深深感受到數(shù)學與生活實際是密不可分的.導入二:上節(jié)課我們已經(jīng)學習了如何解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,本節(jié)課我們將繼續(xù)加強解法的熟練性和準確性,同時還要全面地對所有解的情況進行總結(jié).設計意圖直接引入課題,開門見山,引起學生的注意,有利于后面的教學.例題講解過渡語同學們,下面我們來研究由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集的四種情形.(補充例題)解下列不等式組.(1)(2)(3)(4)師:在做這組練習題之前,我們先回憶一下求一元一次不等式的解集和一元一次不等式組的解集的步驟.生:解一元一次不等式的步驟大致為:去分母,去括號,移項、合并同類項,系數(shù)化成1.要注意的是在去分母和系數(shù)化成1這兩步中,不等號的方向是否改變.解一元一次不等式組的步驟:分別求出組成不等式組的每個一元一次不等式的解集,在同一條數(shù)軸上確定它們的公共部分,從而得出不等式組的解集.師:很好.下面請同學們先自己獨立完成這四個不等式組的求解.生1:(1)解:解不等式,得x1,解不等式,得x-4.在同一條數(shù)軸上表示不等式的解集如圖所示:所以,原不等式組的解集是x1.生2:(2)解:解不等式,得x,解不等式,得x.在同一條數(shù)軸上表示不等式的解集如圖所示:所以,原不等式組的解集是x.解不等式,得x4.在同一條數(shù)軸上表示不等式的解集如圖所示:所以,原不等式組的解集是x4.解不等式,得x1;(2)由得x;(3)由得x4;(4)由得無解.生1:由(1)得,兩個不等式的解集中不等號都是大于號,在不等式組的解集中,數(shù)值取1和-4中比較大的數(shù)1,不等號取大于號.生2:由(2)得,兩個不等式的解集中不等號都是小于號,在不等式組的解集中不等號取小于號,而數(shù)值取和中比較小的數(shù).生3:由(3)得,兩個不等式的解集中不等號有大于號也有小于號,數(shù)值,x4,不等式組的解集中x取大于小數(shù)且小于大數(shù)的數(shù),即x4,x3,即x應取大于4且小于3的數(shù),而這樣的數(shù)根本不存在,所以原不等式組無解.師:大家分析得非常精彩,基本上說明了情況,下面我再系統(tǒng)地給大家做一下總結(jié):由兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集有以下四種情形,設ab;(2)不等式組的解集是xa;(3)不等式組的解集是axb;(4)不等式組無解.這是用式子表示,也可以用語言簡單表述為:同大取大;同小取小;大小小大取中間;大大小小是無解.一元一次不等式組解集的表示方法及記憶規(guī)律:不等式組(ab同大取大xa同小取小axb大小小大取中間無解大大小小是無解1.下列不等式組中,是一元一次不等式組的是()A.B.C.D.解析:B中含有兩個未知數(shù)x,y;C中化簡后x的最高次數(shù)是2;D中不等式23沒有未知數(shù)x.故選A.2.下列說法正確的是()A.不等式組的解集是5x3B.不等式組的解集是-3x5;B,D中不等式組無解.故選C.3.不等式組的最小整數(shù)解為()A.-1B.0C.1D.4解析:不等式組的解集為-x4,所以最小整數(shù)解為0.故選B.4.(2015汕尾中考)使不等式x-12與3x-78同時成立的x的整數(shù)值是()A.3,4B.4,5C.3,4,5D.不存在解析:解不等式組得3x5,使不等式x-12與3x-78同時成立的x的整數(shù)值是3,4.故選A.5.若不等式組有解,則m的取值范圍是.答案:m2B.x3C.2x3D.無解2.(2015恩施中考)關于x的不等式組的解集為x3C.m3D.m33.小寶和爸爸,媽媽三人在操場上玩蹺蹺板,爸爸體重為69千克,坐在蹺蹺板的一端,體重只有媽媽一半的小寶和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端,這時爸爸的一端仍然著地.后來小寶借來一副質(zhì)量為6千克的啞鈴加在他和媽媽坐的一端,結(jié)果爸爸被蹺起,那么小寶的體重可能是()A.23.2千克B.23千克C.21.1千克D.19.9千克【能力提升】4.若不等式組的解集是-1xa2a3,請將x1,x2,x3按從大到小的順序排列起來.【拓展探究】7.為節(jié)約用電,某學校于本學期初制定了詳細的用電計劃.如果實際每天比計劃多用2度電,那么本學期用電量將會超過2530度;如果實際每天比計劃少用2度電,那么本學期用電量將不會超過2200度.若本學期的在校時間為110天,則學校每天計劃用電量在什么范圍內(nèi)?8.某賓館底層客房比二樓少5間,某旅游團有48人,若全安排在底層,每間住4人,則房間不夠;每間住5人,則有房間沒有住滿5人;若全安排在二樓,每間住3人,則房間不夠;每間住4人,則有房間沒有住滿4人.求該賓館底層有客房多少間.【答案與解析】1.C2.D(解析:解不等式組,可得又不等式組的解集為x3,所以m3.故選D.)3.C(解析:設小寶的體重為x千克,根據(jù)題意,得解這個不等式組得21x23.故選C.)4.1(解析:先解不等式組,得a+2x,然后根據(jù)不等式組的解集為-1x1可得a+2=-1,=1,求出a,b的值,然后把它們代入要求的代數(shù)式中進行計算即可.故填1.)5.-4x2(x-1)得x-4,解不等式x+84x-1得x3,所以不等式組的解集為-4x3.故填-4xa2a3,所以x1-x2=(a1+a3-a2)-(a1+a2-a3)=a3-a20,所以x1x3,所以x3x1x2.7.解:設學校每天計劃用電量為x度,依題意,得解得21x22,即學校每天計劃用電量在21度(不包括21度)到22度(包括22度)范圍內(nèi).8.解:設該賓館底層有客房x間,則二樓有客房(x+5)間,根據(jù)題意得解得x3.2.提示:該校計劃每月燒煤2022 t(不含20 t和22 t).習題2.9(教材第59頁)1.提示:(1)x-10.(2)-1x3.(3)x-10.(4)-x.2.解:由題意得31-a1-2a,解得a-2.3.解:(答案不唯一)其解集為0x8.4.解:由得因為其解集為-1x0a02.提示:(1)x-1.(3)x6.(7)x-.(數(shù)軸表示略)3.解:(1)x+10.(2)x20.(3)2x-(-3)0.(4)105a-320.4.提示:(1)-3x.(2)2x15.(3)x-.(2)x=-.(3)x-.6.提示:正整數(shù)解為1,2,3,12.7.提示:(1)-1x(2)(3)(5)(6)10.B11.(1)(3)12.解:設甲旅行社收費y1元,乙旅行社收費y2元,根據(jù)題意,得y1=5002+500x,即y1=350x+1000;y2=500(x+2),即y2=400x+800.當y1y2時,解得x4;當y1=y2時,解得x=4;當y14.故當兩位家長帶領少于4名學生去旅游時,選擇乙旅行社;當帶領4名學生去旅游時,選擇兩家旅行社都可以;當帶領超過4名學生去旅游時,選擇甲旅行社.13.解:設超市購進這批水果的總質(zhì)量為p千克,每千克進價為q元.(1)最終銷售額為p(1-5%)q(1+5%)=pq1-(5%)2(元).因為pq1-(5%)20,則a-7.15.解:設招聘A工種的工人x人,則招聘B工種的工人(150-x)人,根據(jù)題意,得150-x2x,解得x50.所付工資總額為1500x+3000(150-x)=450000-1500x,因為-1500=(2)任意兩個數(shù)的平方和大于或等于這兩個數(shù)乘積的2倍,當且僅當這兩個數(shù)相等時取等號,即a2+b22ab(當且僅當a=b時取等號).(3)因為(a-b)20,即a2-2ab+b20,所以a2+b22ab.某縣響應“建設環(huán)保節(jié)約型社會”的號召,決定資助部分村鎮(zhèn)修建一批沼氣池,使農(nóng)民用到經(jīng)濟、環(huán)保的沼氣能源.幸福村共有264戶村民,政府補助村里34萬元,不足部分由村民集資.修建A型、B型沼氣池共20個.兩種型號沼氣池每個修建費用、可供使用戶數(shù)、修建用地情況如下表所示:沼氣池修建費用(萬元/個)可供使用戶數(shù)(戶/個)占地面積(m2/個)A型32048B型236政府相關部門批給該村沼氣池修建用地708 m2.設修建A型沼氣池x個,修建兩種型號沼氣池共需費用y萬元.(1)用含有x的代數(shù)式表示y;(2)不超過政