數(shù)學(xué)北師大版八年級上冊1.1 探索勾股定理(第2課時(shí)).doc

第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理（第2課時(shí)）(蘭州市第五十四中學(xué) 陳麗英)一、學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生在上節(jié)課已經(jīng)通過測量和數(shù)格子的方法，對特殊的直角三角形進(jìn)行了探索并發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但沒有對一般的直角三角形進(jìn)行一般性的驗(yàn)證.學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生具有了一定的自主探究經(jīng)驗(yàn)和合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的探究能力和合作與交流的能力；尤其在在七年級圖案設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)具備了一定的拼圖活動經(jīng)驗(yàn).二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課是八（上）勾股定理第1節(jié)第2課時(shí)，是在上節(jié)課已探索得到勾股定理之后的內(nèi)容，具體學(xué)習(xí)任務(wù)：通過拼圖驗(yàn)證勾股定理并體會其中數(shù)形結(jié)合的思想；應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問題，體會勾股定理的應(yīng)用價(jià)值并逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題意識和能力 ，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).為此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1.了解勾股定理的歷史,感受數(shù)學(xué)文化;2.探究驗(yàn)證勾股定理的三類方法:(1)等面積,兩算法;(2) 無字的證明;(3)歐氏幾何證明;3.能初步應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問題.4.經(jīng)歷勾股定理的驗(yàn)證過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想和從特殊到一般的思想, 培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和合作精神.教學(xué)重點(diǎn): 探究驗(yàn)證勾股定理的三類方法教學(xué)難點(diǎn): 驗(yàn)證勾股定理的三類方法三、教學(xué)過程本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)： （一）史話勾股定理；（二）探究勾股定理的證明方法；（三）例題講解,勾股定理的初步應(yīng)用;（四）課堂練習(xí);（五）拓展延伸；（六） 反思小結(jié)；（七）布置作業(yè)第一環(huán)節(jié): 史話勾股定理1觀看關(guān)于勾股定理歷史的視頻 視頻大致內(nèi)容：3000多年前 ，古巴比倫人和古埃及人都已經(jīng)對發(fā)現(xiàn)了勾股定理，在我國1000多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高在提出了：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”的勾股定理的特例，最早給出證明的是公元前6世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，公元前4世紀(jì)，歐幾里德在幾何原本中給出了一種很好的證明，在我國最早給出證明的是公元前三世紀(jì)的數(shù)學(xué)家趙爽，稍后一時(shí)期的劉徽在九章算術(shù)用“青朱出入圖”這種無字的證明方法驗(yàn)證了勾股定理。直到現(xiàn)在有500多種證明方法，今天就讓我們沿著歷史的足跡探究勾股定理。第二環(huán)節(jié): 探究勾股定理的證明方法第一種類型：等面積 兩算法 方法一：畢達(dá)哥拉斯的證明1 問題背景 相傳有一天，畢達(dá)哥拉斯去朋友家里做客，發(fā)現(xiàn)朋友家的地磚是方磚，他在方磚上畫了一個(gè)等腰直角三角形，并以三條邊向外做了三個(gè)正方形，聰明的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)：以直角邊為邊的兩個(gè)正方形的面積的和等于以斜邊為邊的正方形的面積。由此，他猜想：任意一個(gè)直角三角形，兩條直角邊的平方和都等于斜邊的平方。2. 探究思路與方法 圖1 （1）如圖1你能表示兩個(gè)大正方形的面積嗎？（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？（板書） a2+b2+4ab =c2+4ab2,并得到方法二：趙爽弦圖1歷史背景 在我國最早給出證明的是公元前三世紀(jì)的數(shù)學(xué)家趙爽，他在周髀算經(jīng)中用一張他所謂的弦圖證明了勾股定理，2002年全世界數(shù)學(xué)家大會的會徽就是這張弦圖，以此紀(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家。2 探究趙爽弦圖的思路與方法圖2(1) 如圖2，用幾何畫板演示將兩個(gè)小正方形拼成趙爽弦圖；(2) 小組交流拼出趙爽弦圖，你能用兩種方法表示這個(gè)圖形的面積嗎？（學(xué)生板書并講解）(b-a)2+4ab =c2,得到第二種類型：無字證明 方法三：青朱出入圖（無字的證明）1 歷史背景 比趙爽稍微晚些的數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)用“青朱出入圖”驗(yàn)證了勾股定理，由于證明過程沒有用一個(gè)字，因此把這種證明又稱為無字的證明。2 探究青朱出入圖的與方法圖3 如圖3，用幾何畫板演示青朱出入圖驗(yàn)證勾股定理的過程。第三種類型：歐氏幾何證明方法四：歐幾里得證明1歷史背景公元前4世紀(jì)，歐幾里德在幾何原本中給出了一種很好的證明2 探究歐幾里德證明的思路與方法 圖4(1) 如圖4：教師分析思路并給出輔助線方法， 從RtABC的三邊向外各作一個(gè)正方形（如圖4），作ANBC交AB于N，那么正方形ABED被分成兩個(gè)矩形連結(jié)AH和EC（2）小組交流驗(yàn)證方法 （多媒體展示） 由于矩形BNHM和ABH同底等高S矩形BNHM2SABH 又正方形ABED和EBC同底等高S正方形ABED2SEBC 又EBCABH 由此可得S矩形BHMNS正方形ABED 同理可證S矩形NCMKS正方形AFGC S矩形BHMNS矩形NCMKS正方形ABEDS正方形AFGC 即S正方形BHCKS正方形ABEDS正方形AFGC， 也就是 a2+b2=c2總結(jié)勾股定理的證明方法:分三種類型 第一種類型：等面積 兩算法 以趙爽的“弦圖”為代表，用幾何圖形的 截、割、拼、補(bǔ)，一圖兩算來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系； 第二種類型：無字證明 以劉徽的“青朱出入圖”為代表，“無字證明”。 第三種類型：歐氏幾何證明 歐氏幾何證明以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏 幾何的基本定理進(jìn)行證明； 第三環(huán)節(jié): 勾股定理的應(yīng)用例1: 如圖5，飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩子頭頂上方4 km處，過了20 s，飛機(jī)距離這個(gè)男孩子頭頂5 km，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？解：Rt ABC中，由勾股定理得： AB2 = BC2 + AC2 即 52 = BC2 + 42， 所以 BC=3 飛機(jī)20 s飛行了3 km,那么1小時(shí)飛行的距離為： 3 x 3 x 60= 540 km，即：飛機(jī) 每小時(shí)飛行540 km。 圖5第四環(huán)節(jié): 課堂練習(xí)1.如圖6,三個(gè)正方形中其中兩個(gè)面積S2、S3分別為 144、169,則第三個(gè)正方形的面積S1為_。 圖6 圖72.如圖7，是某沿江地區(qū)交通平面圖，為了加快經(jīng)濟(jì)發(fā)展，該地區(qū)擬修建一條連接B，C，E三城市的沿江高速，已知沿江高速的建設(shè)成本是100萬元/ km，該沿江高速的造價(jià)預(yù)計(jì)是多少？解：Rt ABC中，由勾股定理得： BC2 =A B2 + AC2 即BC 2 =30 2 + 402， 所以 BC=50 Rt CDE中，由勾股定理得： CE2 =CD2 + DE2 即CE 2 =50 2 + 1202， 所以 CE=130 所以 BE=BC+CE=180 KM 180 x 100=18000 萬元 即：該沿江高速的造價(jià)預(yù)計(jì)是18000 萬元 第五環(huán)節(jié): 拓展延伸以小組為單位，用幾何畫板探究以下問題：(1) 如圖8，在前面已經(jīng)討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？ 圖8 圖9(2) 如圖9，在任意一個(gè)三角形中,如果一個(gè)角是銳角,那么這個(gè)三角形中夾這個(gè)銳角兩邊的平方和與第三邊的平方有怎樣的大小關(guān)系呢?如果這個(gè)角是鈍角呢?(以圖中的 P 為例來探討) 第六環(huán)節(jié):課堂小結(jié)1.驗(yàn)證勾股定理的三類方法: