一個(gè)高效的設(shè)計(jì)可變分?jǐn)?shù)延遲濾波器使用第一一階微分器.doc

一個(gè)高效的設(shè)計(jì)可變分?jǐn)?shù)延遲濾波器使用第一一階微分器 秀昌培，研究員，IEEE，并漸成井，高級(jí)會(huì)員，IEEE 1.介紹 在許多信號(hào)處理的應(yīng)用中，需要一個(gè)采樣周期的分?jǐn)?shù)的延遲。這些應(yīng)用有數(shù)字接收機(jī)的時(shí)間調(diào)整、天線陣波束指向、語音編碼與合成、樂器造型、采樣速率轉(zhuǎn)換、時(shí)延估計(jì)、梳狀濾波器設(shè)計(jì)、模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換等。1一10在指南論文 3 ， 4 提出了一個(gè)優(yōu)秀的分?jǐn)?shù)延遲濾波器設(shè)計(jì)的調(diào)查。給定的可變分?jǐn)?shù)延遲濾波器所需的頻率響應(yīng)為 （1）延遲D是一個(gè)整數(shù)，并且p是一個(gè)變量或可調(diào)的分?jǐn)?shù)在 - 0.5，0.5 。到目前為止，已經(jīng)有幾種方法來設(shè)計(jì)可變分?jǐn)?shù)延遲的有限脈沖響應(yīng)濾波器。在文獻(xiàn)5中，用于近似本規(guī)范的杉木過濾器的傳遞函數(shù)被選擇如下： （2）式中an(p)是p 的m次多項(xiàng)式函數(shù)，即 （3） Farrow結(jié)構(gòu)可調(diào)延遲p分?jǐn)?shù)延遲濾波器用（3）替換（2），傳遞函數(shù)可以重寫作為 （4）式中。在文獻(xiàn) 5 一10 提出了幾種方法設(shè)計(jì)M + 1階子濾波器G（k）(k=0,1,2.M)。這樣濾波器H(z，p)接近所需的響應(yīng)的Hd(w，p)。一旦M + 1子濾波器G（k）設(shè)計(jì)好，濾波器H（z，p）可以通過有效的Farrow結(jié)構(gòu)實(shí)施，如文獻(xiàn)5圖1所示。 另一方面，數(shù)字微分器一直是一個(gè)非常有用的工具，在確定和估計(jì)一個(gè)給定信號(hào)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)。例如，在雷達(dá)和聲納應(yīng)用中，使用微分器的位置測(cè)量計(jì)算速度和加速度，在文獻(xiàn)【11】。在生物醫(yī)學(xué)工程中，往往需要獲得高階導(dǎo)數(shù)的生物醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)，特別是在低頻范圍，在文獻(xiàn)【12】。到現(xiàn)在為止，已經(jīng)開發(fā)了幾種方法來設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)（IIR）和FIR數(shù)字微分器，如雷米茲交換算法，文獻(xiàn)【13】，濾波器法，文獻(xiàn) 14 ，最小二乘法，文獻(xiàn) 15 ， 16 ，二次規(guī)劃，文獻(xiàn)【17】，等。本文中，泰勒級(jí)數(shù)展開將用于將分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)第一階微分器，以便于FIR和IIR微分器的設(shè)計(jì)可以直接應(yīng)用到的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器。該結(jié)構(gòu)在系數(shù)存儲(chǔ)方面是更有效的比圖1中的Farrow結(jié)構(gòu)濾波器，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)一階微分器需要設(shè)計(jì)并不是M + 1子濾波器需要實(shí)現(xiàn)。最后，值得一提的是，實(shí)施一個(gè)分?jǐn)?shù)延遲濾波器或插值的各階微分器的想法不是新提出的。有關(guān)的研究可以在 18 和 19 中找到。然而，在本文中，只使用單一的一階微分器的構(gòu)思新穎。 2.設(shè)計(jì)方法在這一節(jié)中，我們將使用泰勒級(jí)數(shù)展開式將分?jǐn)?shù)延遲濾波器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)一階微分器的設(shè)計(jì)。其主要思想是基于以下證明。證明：如果一階微分器的頻率響應(yīng)表示為和延遲D= Mn0，然后可以表明分?jǐn)?shù)延遲濾波器Hd(w,p)可以被寫為式中M，n0為兩個(gè)任意整數(shù)，O（x）則表示一個(gè)術(shù)語，至少為零，當(dāng)接近零。 證明:使用泰勒級(jí)數(shù)展開，可以表示為如下的多項(xiàng)式： （6）兩邊都乘以，我們可以得到以下等式：將D=Mn0代入（7）中，并且F（w）=，我們得到：由于分?jǐn)?shù)階數(shù)p的范圍是【一0.5，0.5，當(dāng)M非常大的時(shí)候，接近于零。因此，分?jǐn)?shù)延遲濾波器的理想響應(yīng)可近似以下形式：M越大，越接近。為了評(píng)估這種近似的性能，歸一化均方根誤差（NRMS）的定義為 很容易得出所以NRMS只取決于M和的選擇。表I列出當(dāng) = 0.9時(shí)，M取不同值時(shí)的各種NRMS。從這個(gè)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m5，NRMS小于0.1%。因此，當(dāng)m5時(shí)能更好地接近理想響應(yīng)。現(xiàn)在，讓我們來描述如何設(shè)計(jì)一個(gè)近似的可變?yōu)V波器。從（9）我們看到，如果我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)濾波器G（z）接近一階微分響應(yīng)，那么，下面這個(gè)濾波器就很好地接近。基于（11），分?jǐn)?shù)延遲濾波器可以由一階微分算子G（Z）和M實(shí)現(xiàn)圖2所示的整數(shù)延遲。因此，設(shè)計(jì)問題簡化為一階微分算子G（z）的設(shè)計(jì)。在文獻(xiàn)中，已經(jīng)提出了幾種方法來設(shè)計(jì)FIR和IIR微分器G（z）文獻(xiàn)【13】【17】。一旦G（z）設(shè)計(jì)并插入到結(jié)構(gòu)中，如圖2所示，我們可以很容易地調(diào)整分?jǐn)?shù)，以獲得所需的延遲響應(yīng)?，F(xiàn)在，結(jié)構(gòu)圖1中所提出的Farrow結(jié)構(gòu)和圖2中所提的方法在三個(gè)方面進(jìn)行效率的比較。1） 計(jì)算復(fù)雜度：Farrow結(jié)構(gòu)的M + 1子濾波器G（z），但是我們的結(jié)構(gòu)有M 個(gè)G（z）濾波器和M個(gè)標(biāo)量乘法。因此，兩者幾乎具有相同的運(yùn)算復(fù)雜度。2） 濾波器時(shí)延：在Farrow結(jié)構(gòu)，整數(shù)時(shí)延是固定的，預(yù)先指定的延遲，但我們的結(jié)構(gòu)時(shí)延近似于Mn0。因此，當(dāng)濾波器階數(shù)M比較大，所提出的結(jié)構(gòu)的延遲比Farrow結(jié)構(gòu)延遲時(shí)間長。3） 存儲(chǔ)要求：對(duì)于Farrow結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，有M + 1個(gè)子濾波器的系數(shù)要被存儲(chǔ)在存儲(chǔ)器中。然而，所提出的結(jié)構(gòu)，只有一個(gè)單一的一階微分系數(shù)需要被存儲(chǔ)在存儲(chǔ)器中。因此，在濾波器系數(shù)的存儲(chǔ)條件上該結(jié)構(gòu)比Farrow結(jié)構(gòu)更有效。 3.設(shè)計(jì)實(shí)例 在這一部分中，例用MATLAB語言在IBM兼容的個(gè)人計(jì)算機(jī)來說明該設(shè)計(jì)方法的有效性。為了評(píng)估性能，最大絕對(duì)誤差和均方根誤差定義為其中誤差在這個(gè)例子中，參數(shù)被選擇為n0= 29，M= 7，= 0.9。因此，整數(shù)延遲D=Mn0 = 203?，F(xiàn)在，最小二乘法（文獻(xiàn) 16 ）是用來設(shè)計(jì)長度為2n0 + 1和通帶截止頻率的線性相位FIR微分器G（z）。圖3顯示了一階微分算子G（z）的幅度響應(yīng)。顯然，G（z）在范圍【0，0.9】內(nèi)接近理想反應(yīng)w。通過將設(shè)計(jì)的微分器G（Z）插入如圖2所示的結(jié)構(gòu)，可以得到可變分?jǐn)?shù)延遲濾波器H（z，p）。圖4和5分別描述了可變分?jǐn)?shù)延遲濾波器H（z，p）分貝刻度和組設(shè)計(jì)的幅度響應(yīng)，延遲頻率范圍在 0，0.9 ，p在-0.5,0.5。最大絕對(duì)誤差為，均方根誤差為由于錯(cuò)誤是非常小的，該規(guī)范是很好的。最后，相同的算法復(fù)雜度下比較所提出的結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)的Farrow結(jié)構(gòu)的性能是有趣的。因?yàn)闉V波器Gk（z）在Farrow結(jié)構(gòu)的非線性相位，要實(shí)現(xiàn)Gk（z）需要N + 1次的乘法。在上面的例子中，一階微分算子G（z）是長度為2n0+ 1的線性相位，所以實(shí)現(xiàn)微分器G（z）不需要乘法。因此，當(dāng)我們選擇N+1 =n0，這兩個(gè)結(jié)構(gòu)的濾波器具有相同的算術(shù)復(fù)雜度?，F(xiàn)在，用 7 中的傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法設(shè)計(jì)Farrow結(jié)構(gòu)中的濾波器Gk（z），規(guī)范N= 30，D = N / 2 = 15，均勻加權(quán)。結(jié)果，最大絕對(duì)誤差為4.778 x 10-3和均方根誤差為7.84510-4。因此，在相同的算法復(fù)雜度下，該結(jié)構(gòu)比Farrow結(jié)構(gòu)具有更小的設(shè)計(jì)錯(cuò)誤。然而，F(xiàn)arrow結(jié)構(gòu)的延遲是15，但我們的結(jié)構(gòu)的延遲是Mn0 = 203。