2011年新課標(biāo)版高考題庫(kù)考點(diǎn)48 離散型隨機(jī)變量及其分布.doc

溫馨提示： 此題庫(kù)為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊?？键c(diǎn)48 離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、填空題1.（2011浙江高考理科15）某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù).若，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 .【思路點(diǎn)撥】先由相互獨(dú)立的事件同時(shí)發(fā)生的概率求出,進(jìn)而求出其他情況的概率,再求出.【精講精析】由可得,從而, , .所以.【答案】二、解答題2（2011安徽高考理科20）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘.如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人.現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為p1，p2，p3,假設(shè)p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.（）如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率.若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1，p2，p3的一個(gè)排列，求所需要派出人員數(shù)目X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）E（X）；（）假定lp1p2p3，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最小.【思路點(diǎn)撥】（）利用間接法可以比較容易得出結(jié)論；（）直接利用相互獨(dú)立事件及分布列知識(shí)解決；（）先分析抽象概括得出結(jié)論，再證明.【精講精析】（I）無(wú)論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)人被派出去的先后順序無(wú)關(guān)，都等于1-=（II）當(dāng)依次派出去的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為q1,q2,q3，隨機(jī)變量X的分布列為X123Pq1 所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）E（X）是 =（III）由（II）得結(jié)論可知，當(dāng)以甲最先，乙次之，丙最后的順序派人時(shí)， 根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.下面證明：對(duì)于 p1，p2，p3的任意排列q1,q2,q3，都有事實(shí)上，（） ，即 3.（2011福建卷理科19）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下所示：5678p0.4ab0.1且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.（）在（I）、（II）的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性？說(shuō)明理由.注：（1）產(chǎn)品的“性價(jià)比”=；（2）“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性.【思路點(diǎn)撥】（I）利用期望公式和以及分布列中的所有概率和為1，聯(lián)立關(guān)于的方程組，解方程組求得的值；（II）根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，列等級(jí)系數(shù)的概率分布，再利用公式求期望；（）根據(jù)“性價(jià)比”公式求兩工廠的產(chǎn)品的性價(jià)比，“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性.【精講精析】（I）因?yàn)?,所以即，又由的概率分布列得即.由解得（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678f0.30.20.20.10.10.1用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)的概率分布列如下：345678P0.30.20.20.10.10.1所以，即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.（）乙廠的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性，理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6,價(jià)格為6元/件，所以其性價(jià)比為.因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8,價(jià)格為4元/件，所以其性價(jià)比為所以乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性.4. （2011新課標(biāo)全國(guó)高考理科19）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱(chēng)為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)（）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（）已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）【思路點(diǎn)撥】第（）問(wèn)分別用配方、配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率來(lái)估計(jì)概率，第（）問(wèn)分別求出質(zhì)量指標(biāo)落在，上的頻率作為概率，明確的對(duì)應(yīng)取值，列分布列，用期望公式求期望即可.【精講精析】（）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3.由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42.（）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，0.54, 0.42，因此X的可能值為-2,2,4，P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,X-224P0.040.540.42即X的分布列為X的數(shù)學(xué)期望為EX=-20.04+20.54+40.42=2.68.5（2011遼寧高考文科19）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱(chēng)為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設(shè)n=2，求第一大塊地都種植品種甲的概率；（II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊地，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪種品種？附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)【思路點(diǎn)撥】（I）先編號(hào)，再逐一列出所有的基本事件，最后根據(jù)古典概型求解；（II）先求平均數(shù)，再求方差，最后下結(jié)論【精講精析】（I）設(shè)第一大塊地中的兩小塊地編號(hào)為1，2，第二大塊地中的兩小塊地編號(hào)為3，4令事件A為“第一大塊地都種品種甲” 從4小塊地中任選2小塊地種植品種甲的基本事件共6個(gè)： （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）而事件A包含1個(gè)基本事件：（1，2）所以 （II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：,由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙 6.（2011 廣東高考文科17）在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分.用xn表示編號(hào)為n(n=1,2,6)的同學(xué)所得的成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢壕幪?hào)n12345成績(jī)xn7076727072（1）求第6位同學(xué)的成績(jī)x6，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s;（2）從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間（68，75）中的概率.【思路點(diǎn)撥】(1)由平均數(shù)的計(jì)算公式列出關(guān)于的方程，求出，由標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式求標(biāo)準(zhǔn)差；（2）由古典概型概率計(jì)算公式直接求解.【精講精析】（1）由題意，即，解得；標(biāo)準(zhǔn)差s=.（2）從前5位同學(xué)的成績(jī)中隨機(jī)地選2位同學(xué)的成績(jī)，有10種可能，分別是（70，76），（70，72），（70，70），（70，72），（76，72），（76，70），（76，72），（72，70），（72，72），（70，72）.恰有一位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間（68，75）中，有4種可能，分別是（70，76），（76，72），（76，70），（76，72）.設(shè)事件A=“恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間（68，75）中”，則P(A).答：恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間（68，75）中的概率是.7.（2011廣東高考理科17）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編號(hào)123451691781661751807580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x175且y75時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）.【思路點(diǎn)撥】（1）由已知求出抽取比例，從而求得乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）由表格中數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率，然后估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）先確定的所有取值，逐個(gè)算其概率，列出分布列，再求期望值.【精講精析】（1）由題意知，抽取比例為，則乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為（件）；（2）由表格知乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品為2號(hào)和5號(hào)，所占比例為.由此估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為（件）；（3）由（2）知2號(hào)和5號(hào)產(chǎn)品為優(yōu)等品，其余3件為非優(yōu)等品.的取值為0，1，2.P(=0)=, P(=1)=, P(=2)=.從而分布列為012P數(shù)學(xué)期望E()=.8.（2011山東高考理科18）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A，B，C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤(pán).已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤(pán)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【思路點(diǎn)撥】（）本題考查的是相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率，紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率等于紅隊(duì)只有兩人獲勝的概率和紅隊(duì)有三人獲勝的概率之和. （）本題考查的是隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，先列出的所有值，并求出每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望.【精講精析】（）記甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤(pán)中甲勝A、乙勝B、丙勝C分別為事件,則甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C分別為事件，根據(jù)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立可得紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率為.（）依題意可知，；;.故的分布列為0123P0.10.350.40.15故.9.（2011遼寧高考理科19）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱(chēng)為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)【思路點(diǎn)撥】（I）先根據(jù)古典概型結(jié)合排列組合的知識(shí)求分布列，再利用公式求數(shù)學(xué)期望；（II）先求平均數(shù)，再求方差，最后下結(jié)論【精講精析】()可能的取值為且 ， ，. 即的分布列為 01234 的數(shù)學(xué)期望為 + ()品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： ， 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： ，. 由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙. 10.（2011北京高考理科T17）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示.甲組 乙組9 9 0 X 8 91 1 1 0（）如果X=8，求乙組同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)的平均數(shù)和方差；（）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.（注：方差，其中為的平均數(shù)）【思路點(diǎn)撥】（）代入平均數(shù)、方差公式進(jìn)行計(jì)算；（）先求出Y的所有可能取值，再分別求出概率，最后計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【精講精析】（）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是8，8，9，10，所以平均數(shù)為；方差為.（）當(dāng)X=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，共有種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹(shù)總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21.事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹(shù)9棵，乙組選出的同學(xué)植樹(shù)8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y=17)=, 同理可得 .所以隨機(jī)變量Y的分布列為：Y1718192021P=19.11（2011湖南高考理科T18）某商店試銷(xiāo)某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷(xiāo)售量（件）0123頻數(shù)1595試銷(xiāo)結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.（）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；（）記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【思路點(diǎn)撥】本題主要考查互斥事件、獨(dú)立事件、對(duì)立事件、分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解決此類(lèi)問(wèn)題要注意根據(jù)事件的性質(zhì)識(shí)別概率模型，而能否正確列出分布列則將直接影響數(shù)學(xué)期望的求解.它的解題步驟是：一想，想試驗(yàn)和試驗(yàn)的基本事件.二設(shè)，設(shè)試驗(yàn)的基本事件和要解決的復(fù)合事件.三建，建立目標(biāo)事件和基本事件的關(guān)系.四算，算概率，算的依據(jù)是對(duì)立事件、互斥事件和獨(dú)立事件.五答.【精講精析】（I）P（“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”）=P（“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量1件”）=.（II）由題意知，的可能取值為2，3. ； 故的分布列為23的數(shù)學(xué)期望為.12（2011江西高考理科16）某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以便確定工資級(jí)別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對(duì)，則月工資定為3 500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2 800元，否則月工資定為2 100元，令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒(méi)有鑒別能力. （1）求X的分布列； （2）求此員工對(duì)月工資的期望.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)超幾何分布的概率模型，易得X的分布列.（2）結(jié)合第一問(wèn)月工資為3 500的概率對(duì)應(yīng)X=4的概率，2 800對(duì)應(yīng)X=3的概率,2 100對(duì)應(yīng)X2的概率，易得此員工對(duì)月工資的期望.【精講精析】.X的分布列為：X01234P 13（2011陜西高考理科T20）如圖，A地到火車(chē)站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：時(shí)間（分鐘）10202030304040505060的頻率的頻率0現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車(chē)站（）為