化工原理-量綱分析與相似理論

1 量綱分析與相似理論 流體力學(xué) 2 量綱、量綱和諧性原理 3 量綱分析和相似原理，為科學(xué)地組織實(shí)驗(yàn)及整理實(shí)驗(yàn)成果提供了理論指導(dǎo)。對于復(fù)雜的流動(dòng)問題，還可借助量綱分析和相似原理來建立物理量之間的聯(lián)系。顯然，量綱分析與相似原理是發(fā)展流體力學(xué)理論，解決實(shí)際工程問題的有力工具。 4 在工程界至今還有一些由實(shí)驗(yàn)和觀測資料整理成的經(jīng)驗(yàn)公式，不滿足量綱和諧 (既經(jīng)驗(yàn)公式 )。這種情況表明，人們對這一部分流動(dòng)的認(rèn)識尚不充分。這樣的公式將逐步被修正或被正確完整的公式 (即理論公式 )所代替。 由量綱和諧原理可引申出以下兩點(diǎn)： (1)凡正確反映客觀規(guī)律的物理方程，一定能表示成由無 量項(xiàng)組成的無量綱方程。因?yàn)榉匠讨懈黜?xiàng)的量綱相同，只需用其中的一項(xiàng)遍除各項(xiàng)。便得到一個(gè)由無量綱項(xiàng)組成的無量綱式，仍保持原方程的性質(zhì)。 (2)量綱和諧原理規(guī)定了 個(gè)物理過程中有關(guān)物理量之間的關(guān)系。因?yàn)橐粋€(gè)正確完整的物理方程中各物理量量綱之間的聯(lián)系是確定的，按物理量量綱之間的這一確定性，就可建立該物理過程各物理量的關(guān)系式。量綱分析法就是根據(jù)這一原理發(fā)展起來的，它是本世紀(jì)初在力學(xué)上的重要發(fā)現(xiàn)之一。 5 什么是量綱，什么是單位，二者之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 6 答：量綱是表示各種物理量的類別；單位是度量各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)。單位和量綱都是關(guān)于度量的概念，單位決定量度的數(shù)量，而量綱則指量度的性質(zhì)。 7 量綱分析方法提出的根據(jù)是什么，它有何作用？ 答： （ 1）自然界一切物理現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，都可以用 完整的物理方法來表示。 （ 2）任何完整物理方程，必須滿足量綱和諧性原理。 可用來推導(dǎo)各物理量的量綱；簡化物理方程；檢驗(yàn)物理方程、經(jīng)驗(yàn)公式的正確性與完善性，為科學(xué)地組織實(shí)驗(yàn)過程、整理實(shí)驗(yàn)成果提供理論指導(dǎo)。 8 題 目 凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其方程各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，這被之為量綱和諧性原理。但是在曼寧公式 中，謝齊系數(shù) ， ， 明顯量綱是不和諧的，所以可能有人認(rèn)為量綱和諧性原理是錯(cuò)誤的，你是如何認(rèn)識這個(gè)問題的，并闡述你的理由。 1 / 619 解 ： 量綱和諧性原理是已被無數(shù)事實(shí)證明的客觀真理。因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)同類型的物理量才能相加減，否則沒有物理意義的。而一些經(jīng)驗(yàn)公式是在沒有理論分析的情況下，根據(jù)部分實(shí)驗(yàn)資料或?qū)崪y數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)而得，這類公式經(jīng)常是量綱是不和諧的。這說明人們對客觀事物的認(rèn)識還不夠全面和充分，只能用不完全的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式來表示局部的規(guī)律性。這些公式隨著人們對流體本質(zhì)的深刻認(rèn)識，將逐步被修正或被正確完整的公式所替代。 10 瑞利法 11 題 目 試用瑞利法分析溢流堰過流時(shí)單寬流量 q 的表達(dá)式。已知 q 與堰頂水頭 H、水的密度 和重力加速度 g 有關(guān)。 . 分析影響因素，列出函數(shù)方程 解 ： 根據(jù)題意可知，溢流堰過流時(shí)單寬流量 q 與堰頂水頭 H、水的密度 和重力加速度 g 有關(guān)，用函數(shù)關(guān)系式表示為 解題步驟 ( , , )q f H g2. 將 ， ， a b cq k H g13 3. 寫出量綱表達(dá)式 解題步驟 4. 選 L、 T、 示各物理量的量綱為 d i m d i m ( )a b g2 1 3 2 a b L M L L T 5. 由量綱和諧性原理求各量綱指數(shù) L： 2=c T： 2c M： 0=b a=3/2 b=0 c=1/2 14 6. 代入指數(shù)乘積式，得 其中， 流量系數(shù) m， 由實(shí)驗(yàn)來確定。 解題步驟 3 / 2 0 1 / 2 3 / 2q k H g k g H3 / 2 3 / 21 2q k g H m g H即 15 瑞利法 16 題 目 求水泵輸出功率的表達(dá)式。已知水泵的輸出功率 N 與單位體積水的重量 、流量 Q、揚(yáng)程 g17 1. 分析影響因素，列出函數(shù)方程 解 ： 根據(jù)題意可知，水泵的輸出功率 N 與單位體積水的重量 、流量 Q、揚(yáng)程 H 有關(guān) ,用函數(shù)關(guān)系式表示為 解題步驟 ( , , , ) 0f N Q H 2. 將 ， Q， a b cN k Q Hg18 3. 寫出量綱表達(dá)式 解題步驟 4. 選 L、 T、 示各物理量的量綱為 d i m d i m ( )a b H2 3 2 2 3 1 a b M L T M L T L 5. 由量綱和諧性原理求各量綱指數(shù) L： 2=b+c T： 2M： 1=a a=1 b=1 c=1 19 6. 代入指數(shù)乘積式，得 其中， 過實(shí)驗(yàn)來確定。 解題步驟 N k Q H20 定理 21 題 目 簡述布金漢 定理的運(yùn)用步驟？ 答： 根據(jù)對所研究現(xiàn)象的認(rèn)識，確定影響這個(gè)現(xiàn)象的各個(gè)物理量及其關(guān)系式。 12( , , , ) 0nf x x x 從 般取 m=3。使基本量綱的行列式不等于零，即保障基本無論量相互獨(dú)立。 22 3. 確定基本物理量依次與其余物理量組成的 表達(dá)式。 解題步驟 1 2 3 ( 1 , 2 , )b x x x i n m 4. 滿足 為無量綱相，由量綱和諧性原理定出各 項(xiàng)基本物理量的指數(shù) a、 b、 c。 5. 寫出描述現(xiàn)象的關(guān)系式。 12( , , , ) 0 23 在用布金漢 定理時(shí)，要選取 3個(gè)相互基本物理量，如何合理的選擇這 3個(gè)基本物理量呢？ 答： （ 1） 基本物理量與基本量綱相對應(yīng)。即若基本量綱選（ M， L， T）為三個(gè)，那么基本物理量也選擇三個(gè)；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個(gè)，則基本物理量同樣只須選擇兩個(gè)。 （ 2） 選擇基本物理量時(shí)，應(yīng)選擇重要的物理量。換句話說，不要選擇次要的物理量作為基本物理量，否則次要的物理量在大多數(shù)項(xiàng)中出現(xiàn)，往往使問題復(fù)雜化，甚至要重新求解。 （ 3） 為保證三個(gè)基本物理量相互獨(dú)立，其量綱的指數(shù)行列式應(yīng)滿足不等于零的條件。一般是從幾何學(xué)量、運(yùn)動(dòng)學(xué)量、動(dòng)力學(xué)量中各選一個(gè)，即可滿足要求。 24 文丘里流量計(jì)是用來測量有壓管路的流量，如右圖所示，已知 1，流體密度 ，液體粘度 以及大小直徑 用 定律求出的壓強(qiáng)降落 D 1D 22211Qh=25 1. 分析影響因素，列出函數(shù)方程 解 ： 根據(jù)題意可知，壓強(qiáng)差 ，流體的密度 ，液體的粘度 以及大小直徑 2有關(guān)，用函數(shù)關(guān)系式表示為： 0),( 21 可以看出函數(shù)中的變量個(gè)數(shù) n 6 解題步驟 26 解題步驟 選取三個(gè)基本物理量，它們分別是幾何學(xué)量 動(dòng)學(xué)量 。 2. 選取基本物理量 1030130011d 331 010 01100量綱指數(shù)行列式 由量綱公式： 故上述所選的三個(gè)基本物理量式相互獨(dú)立的。 27 解題步驟 3363 111a b 2 2 2221a b 3. 列出無量綱 值 列出 個(gè)無量綱的 值。 其中 為待定指數(shù)。 i i ia b c、 、3 3 331a b 28 4. 根據(jù)量綱和諧性原理，確定各 項(xiàng)的指數(shù) 1 1 11 1 3 1 3( ) ( )a b M L L T L M 對于 1，其量綱式為： 1 1 111: 1 3 3:1:1L a b 111111所以 ： 11 解題步驟 29 解題步驟 2 2 23 1 3( ) ( )a b L T L M 3 3 31 2 3 1 3( ) ( )a b M L L T L M 對于 2，其量綱式為： 對于 3 ，其量綱式為： 222100333421122 2413 30 解題步驟 5. 寫出無量綱量方程 0),(),( 2411211321 (1211241 )( R e ,12121上式中的數(shù)可根據(jù)需要取其倒數(shù)，而不會(huì)改變它的無量綱性質(zhì)。即： 31 題 目 流體在水平圓管中作恒定流動(dòng)，管道截面沿程不變，管徑為 D，由于阻力的作用，壓強(qiáng)將沿流程下降，通過觀察，已知兩個(gè)相距為 l 的斷面間的壓強(qiáng)差 ，流體密度 ，動(dòng)力粘性系數(shù) 以及管壁表面的平均粗糙度 等因素有關(guān)。假設(shè)管道很長，管道進(jìn)出口的影響不計(jì)。試用布金漢 定理求 p 的一般表達(dá)式。 32 1. 列出上述影響因素的函數(shù)關(guān)系式 解 ： 解題步驟 0),( 1 0 0d i m D L T M 011di m 103d 2. 在函數(shù)式中 n 7；選取 3個(gè)基本物理量，依次為幾何學(xué)量 D、運(yùn)動(dòng)學(xué)量 ，三個(gè)基本物理量的量綱是 33 解題步驟 其量綱指數(shù)行列式為 故說明基本物理量的量綱是相互獨(dú)立的?？蓪懗?n 3 7 3 4個(gè)無量綱 項(xiàng)。 1 0 01 1 0 1 03 0 1 34 解題步驟 3. 列出無量綱 值 其中， 為待定指數(shù)。 i i ia b c、 、1111 a b 2222 a b 3333 a b 4444 a b 35 4. 根據(jù)量綱和諧性原理，各 項(xiàng)中的指數(shù)分別確定如下（以 1為例） 1 1 111: 1 3:0:0L a b 111100所以 ： 1解題步驟 1 1 113( ) ( )a b L T L M36 解題步驟 同理可得 D 3 24 5. 寫出無量綱量方程，其中 2項(xiàng)根據(jù)需要取其倒數(shù)，但不會(huì)改變其無量綱性質(zhì)，所以 0),( 2 題步驟 求壓差 p 時(shí)，以 ， 代入，可得 / , R e / /g D V v D V v R e ,21令 ，最后可得沿程水頭損失公式為 )( R e ,1 上式就是沿程損失的一般表達(dá)式。 38 題 目 試用瑞利法和 定理（布金漢定理）推導(dǎo)圓柱繞流的阻力 說明瑞利法和布金漢 定理各適用于何種情況？已知圓柱繞流阻力 、流體的流速 V、流體的密度和流體的動(dòng)力粘滯系數(shù)有關(guān)。 . 已知與阻力 d， V， ， ，即 解 ： 一、瑞利法求解 解題步驟 2. 將阻力寫成 d， V， ， 的指數(shù)乘積形式，即 ( , , , )DF f D V a b c k D V 3. 寫出量綱表達(dá)式 ()a b c i m F k D i m D V 40 解題步驟 因?yàn)樯厦娴娜齻€(gè)方程式中有四個(gè)未知數(shù)，所以不能全部解出。我們保留其中的 e，待實(shí)驗(yàn)中去確定，并用它表示其余的指數(shù) 4. 選 L、 T、 示各物理量的量綱 23 a b c e c e b T L M T 5. 由量綱和諧性原理，求各量綱的指數(shù) L： 1= a+M： 1= c+e T： a=2b=2c=11 解題步驟 6. 帶入指數(shù)乘積式，得 2 2 1e e e k D V 2 2 2 2( ) ( ) V k D D V即 22 Re k D V如果令繞流阻力系數(shù) ， 得阻力公式 2222D D l D C A其中，繞流阻力系數(shù) 后由實(shí)驗(yàn)確定。 42 1. 根據(jù)題意，本題共有 5個(gè)物理量，即 n = 5，這些物理量之間存在下述關(guān)系式 解題步驟 2. 選取 3個(gè)基本物理量，依次為幾何學(xué)量 D、運(yùn)動(dòng)學(xué)量 ，三個(gè)基本物理量的量綱是 二、 定理求解 ( , , , , ) 0 D V 1 0 0d i m D L T M 011di m 103d 43 解題步驟 其量綱指數(shù)行列式為 故說明基本物理量的量綱是相互獨(dú)立的。可寫出 n 3 5 3 2個(gè)無量綱 項(xiàng)。 1 0 01 1 0 1 03 0 1 44 解題步驟 3. 列出無量綱 值 其中， 為待定指數(shù)。 i i ia b c、 、1111da b 2222 a b 4. 根據(jù)量綱和諧性原理，各 項(xiàng)中的指數(shù)分別確定如下 對于 1，其量綱式為 1 1 12 1 3( ) ( )a b M L L T L M 45 1 1 111: 1 3:2:1L a b 111221解題步驟 1 22對于 1，其量綱式為 2 2 21 1 1 3( ) ( )a b M L L T L M 2 2 222: 1 3:1:1L a b 22211112 D V 46 解題步驟 5. 寫出無量綱量方程，其中 2項(xiàng)根據(jù)需要取其倒數(shù)，但不會(huì)改變其無量綱性質(zhì)，所以 22 ( R e )dF 2222 2 ( R e )( R e ) ( )22f V VF f D V l D C 式中： ，稱為繞流阻力系數(shù)，與物體的形狀和雷諾數(shù)有關(guān)，由實(shí)驗(yàn)確定。 2 ( R e )以上可以看出，用兩種不同的量綱分析法得到的結(jié)果完全相同。一般，瑞利法適用于比較簡單的問題，相關(guān)變量未知數(shù) n45個(gè)，而布金漢 定理是具有普遍性的方法。 47 式中無量綱項(xiàng) 為阻力系數(shù)； 為雷諾數(shù)。 由上面分析可知，實(shí)驗(yàn)研究對光滑球形潛體的作用力，歸結(jié)為實(shí)驗(yàn)測定阻力系數(shù) 樣一來，實(shí) 施這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究只需用一個(gè) 球，在一個(gè)溫度的水流中實(shí) 驗(yàn)，通過改變水流速度，整 理成不同 如圖 5 1所示。按式 (5 4)及圖 5 1計(jì)算流體對光滑球形潛體的 作用力，對不同尺寸的 球和不同粘度的流體都是適用的。 5 4） 圖 5 1 圓球阻力系數(shù)圖 2222 2 ( R e )( R e ) ( )22f V VF f D V l D C 2 ( R e )8 流體相似概念 49 何為模型試驗(yàn)的力學(xué)相似，它包括那幾個(gè)方面的內(nèi)容？ 答：所謂的力學(xué)相似是指原型流動(dòng)和模型流動(dòng)在對應(yīng)物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之間應(yīng)互相平行，并保持一定的比例關(guān)系（指矢量與標(biāo)量物理量的數(shù)值，如力的數(shù)值、時(shí)間與壓強(qiáng)的數(shù)值等）。 流體力學(xué)相似包括以下四個(gè)方面： 1. 幾何相似 2. 運(yùn)動(dòng)相似 3. 動(dòng)力相似 50 為什么每個(gè)相似準(zhǔn)則都要表征慣性力？ 答：作用在流體上的力除慣性力是企圖維持流體原來運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力外，其他力（如重力、粘滯力、流體動(dòng)壓力、表面張力和彈性力）都是企圖改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力。如果把作用在流體上的各力組成一個(gè)力多邊形的話，那么慣性力則是這個(gè)力多邊形的合力，即牛頓定律 。流動(dòng)的變化就是慣性力與其它上述各種力相互作用的結(jié)果。因此各種力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來相互比較。 F m a r 目 2分別寫出歐拉數(shù)與韋伯?dāng)?shù)的表達(dá)式，其各自的物理意義是什么？ 歐拉數(shù)是壓力為主要作用力的時(shí)候的相似準(zhǔn)數(shù)，表征壓力與慣性力之比，兩流動(dòng)歐拉數(shù)相等則壓力相似。韋伯?dāng)?shù)是表明張力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)數(shù)，表征慣性力與表面張力之比，兩流動(dòng)韋伯?dāng)?shù)相等則表面張力相似 。 答： 252 列表各相似準(zhǔn)則及其比尺 53 題 目 原型和模型能否同時(shí)滿足重力相似準(zhǔn)則和粘滯力相似準(zhǔn)則？為什么？ 答： 當(dāng)采用同一種流體，不可能同時(shí)滿足兩種相似。 因?yàn)椋寒?dāng)重力相似時(shí) 21 / 21 而粘滯力相似時(shí) 11 可知速度比尺不同，也即不能同時(shí)滿足兩種相似。 54 解題步驟 若采用不同流體時(shí)，在理論上是可能的。因?yàn)椋寒?dāng)重力相似時(shí) 21 / 21 而粘滯力相似時(shí) 11l 聯(lián)立以上兩式，可得當(dāng)時(shí) ，能夠同時(shí)滿足重力相似準(zhǔn)則和粘滯力相似準(zhǔn)則，但是在實(shí)際中是不可能的。 3 / 255 相似理論的應(yīng)用 56 題 目 有一直徑 d=50道長 l=200m，油的運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù) ，管中通過油的流量 ?，F(xiàn)用 10 的水和管徑 5 求模型管道的長度和通過的流量。 420 1 . 3 1 1 0 /v m s30 . 1 /Q m s57 解 ： 該管道模型的幾何比尺為 解題步驟 05 所以模型管道的長度 0 /40 . 1 0 . 5 1 m / 1 4 0 . 5 判別原型管道中的流態(tài)： 00 . 5 1 0 . 5 1 9 4 7 2 0 0 041 . 3 1 1 0 58 解題步驟 所以管內(nèi)流動(dòng)為層流，應(yīng)該按照粘滯力相似準(zhǔn)則（雷諾相似準(zhǔn)則）計(jì)算模型中流量 10 水的運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù)為 ，模型運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù)比尺為 420 1 . 3 1 1 0 /v m s041 . 3 1 1 010040 . 0 1 3 1 1 0 流量比尺 1 0 0 1 0 1 0 0 0Q v l 30 . 1 0 . 0 0 0 1 m / 0 . 1 / s 故模型管道中的流量 為 59 題 目 渠道上設(shè)一平底單孔平板閘門泄流，上游水深H=3m，閘前水流行近流速 s，閘孔寬度 b = 6m，下游為自由出流，閘門開度 e =欲按長度比尺 l =10 設(shè)計(jì)模型，來研究平板閘門的流量系數(shù) ，試求：（ 1）模型的尺寸和閘前行進(jìn)流速 2）如果在模型上測得某點(diǎn)的流量為 81.5 l / s，則原型上對應(yīng)點(diǎn)的流量 3）閘門出流的流量系數(shù) 為多少？ 60 解： （ 1）模型尺寸設(shè)計(jì)和閘前行近流速 解題步驟 因?yàn)殚l孔出流主要作用力是重力，所以按重力相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)模型。模型的長度比尺為 l =10，則模型中的尺寸為 上游水深 30 . 310 閘孔寬度 6 0 . 610 1 . 0 0 . 110 閘門開度 61 重力相似準(zhǔn)則條件下的流速比尺 1 / 2解題步驟 0 1 / 200 0 . 6 0 . 1 9 /10 v 所以 （ 2）原型流量 Q 的計(jì)算 重力相似準(zhǔn)則條件下的流量比尺 2 / 5Q l2 / 5 2 . 5 30 . 0 8 1 5 1 0 2 5 . 7 6 /m Q m Q m s 即原型上的流量為 32 5 . 7 6 /題步驟 （ 3）計(jì)算流量系數(shù) 02SQ b e g H 流量系數(shù) 是常數(shù)，在原型和模型上都相同。 根據(jù)平板閘門自由出流計(jì)算公式： 由于行近流速很小，可以忽略不計(jì) H，自由出流 。 1S 即平板閘門閘孔出流的流量系數(shù)為 2 5 . 7 60 . 5 62 6 1 1 9 . 6 3Qb e g H 63 題 目 設(shè)有油罐，直徑 m，油溫 20 ，已知油的運(yùn)動(dòng)粘度 p=s ，長度比 左右，試進(jìn)行下面各項(xiàng)研究：（ 1）選定何種相似準(zhǔn)則？（ 2）模型流體的選定？（ 3）各項(xiàng)比例的計(jì)算。 2 64 解： （ 1） 油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度較大，故又受粘性力的作用。 因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，這里的相似準(zhǔn)則應(yīng)該選定同時(shí)滿足雷諾數(shù)和弗汝德數(shù)。 解題步驟 （ 2） 模型流體的選定 1 / 2 1 / 2r3 / 2 3 / 248 65 由于運(yùn)動(dòng)粘度 的流體極難找到，所以只好挑選一些近似的流體。現(xiàn)在選用 20 的 59%的甘油溶液， ，與計(jì)算值很接近，但在試驗(yàn)過程中要保持 20 的溫度。于是模型液體的運(yùn)動(dòng)粘度應(yīng)為 ,而不再是 了。 解題步驟 20 . 7 4 0 . 0 9 2 5 /8c m s 2 /c m c m c m c m 題步驟 （ 3） 模型流體選好后，由于所選擇的 ，所以對長度比 l 應(yīng)進(jìn)行修正 2 /cm 3 2 / 3 2 / 30 . 7 4( ) ( ) 4 . 10 . 0 8 9 2 即長度比 不是 4。因此模型油罐的直徑為 4 0 . 9 7 64 . 1 67 解題步驟 流速比 v 按弗汝德準(zhǔn)則求得（按雷諾準(zhǔn)則也能得到同樣結(jié)果） 1 / 2 2 / 3 1 / 2( ) 4 . 1 2 . 0 2 5 可知模型油管內(nèi)的流速大致為原