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愛上數學剩余定理問題基礎學習一、解答題1、剩余定理基礎知識【答案】2、余數特性的基本應用例1： 5122除以一個兩位數得到的余數是66，求這個兩位數？【答案】79 【解題關鍵點】由性質（2）知，除數商=被除數-余數。 5122-66=5056， 5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數，得到 5056=6479。 由性質1知，除數應大于66，再由除數是兩位數，得到除數在6799之間，符合題意的5056的約數只有79，所以這個兩位數是79。 【結束】4、多個余數的問題例1（余同）：五年級兩個班的學生一起排隊出操，如果9人一排，多出一人；如果10人排一行，同樣多出一個人。這兩個班最少共有多少人？（） A51B71 C91D101【答案】C【解題關鍵點】此題為剩余定理問題中余同的情況，即人數減去一人的話就是9和10的公倍數，9和10的最小公倍數是90，因此兩個班最少共有90+1=91人。余同取余：用一個數除以幾個不同的數，得到的余數相同，此時反求的這個數，可以選除數的最小公倍數，加上這個相同的余數，稱為：“余同取余”。例：“一個數除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因為余數都是1，所以取+1，表示為60n+1。【結束】5、多個余數的問題例2（和同）：袋子里有一百多個小球，五個五個取出來剩余4個，六個六個取出來剩余3個，八個八個取出來剩余一個，問袋子里面有多少個球？（） A109B119 C129D139【答案】C【解題關鍵點】此題為剩余定理問題中典型的和同的情形，份容易得出9是滿足以上兩個條件的最小自然數，由于袋子里面有一百多個球，因此只需要加上5、6和8的最小公倍數120即可，即袋子里面有9+120=129個小球。和同加和：用一個數除以幾個不同的數，得到的余數，與除數的和相同，此時反求的這個數，可以選除數的最小公倍數，加上這個相同的和數，稱為：“和同加和”。例：“一個數除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因為4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示為60n+7。【結束】6、多個余數的問題例3（差同）：:把幾百個蘋果平均分成若干份，每份9個余8個，每份8個余7個，每份7個余6個。這堆蘋果共有多少個？（） A111B143 C251D503【答案】D【解題關鍵點】此題為剩余定理問題中差同的情況，即蘋果數加上一個，就是7、8和9的公倍數，而7、8和9的最小公倍數數504，正好在幾百的范圍內，因此這堆蘋果有504-1=503個?！窘Y束】7、多個余數的問題例4：一個自然數被6除余4，被8除余6被10除余8，那么這個數最小為多少？（） A58B66 C118D126【答案】C【解題關鍵點】此題為剩余定理問題中典型的差同的情況，這個自然數加上2后，就能夠被6、8和10整除，而6、8和10的最小公倍數是120，因此，這個數最小為120-2=118.【例】一個數被4除余1，被5除余2，被6除余3，這個數最小是幾？（） A10B 33 C37D57【答案】D【解題關鍵點】此題為剩余定理問題中典型的差同的情況，這個數加上3后，為4、5、6的倍數，而4、5、6的最小公倍數為60，因此這個數最小為60-3=57。10、余數關系式和恒等式的應用例1：兩個整數相除，商是5，余數是11，被除數、除數、商及余數的和是99，求被除數是多少？（ ）A.12 B.41 C.67 D.71【答案】選D?！窘忸}關鍵點】余數是11，因此，根據余數的范圍（0余數除數），我們能夠確定除數11。除數為整數，所以除數12，根據余數的基本恒等式：被除數=除數商余數12商余數=12511=71，因此被除數最小為71，選D?！窘Y束】11、余數關系式和恒等式的應用例2：有四個自然數A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數的和是？A. 216 B. 108 C. 314 D. 348【答案】選C?！窘忸}關鍵點】利用余數基本恒等式：被除數=除數商余數，有A=B5+5= (B+1)5。由于A、B均是自然數，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以