尋芳陌上花如錦,折得東風(fēng)第一枝.doc

尋芳陌上花如錦，折得東風(fēng)第一枝三角恒等變換中的幾種常用思想方法探究 三角函數(shù)是每年高考必考的內(nèi)容之一,相關(guān)試題靈活多樣,但往往都離不開一個(gè)共同的解題途徑就是利用公式對三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形.因此,在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí),一定要掌握三角函數(shù)式變形、化簡的方法和技巧.三角函數(shù)的核心問題是三角恒等變換，證明或求解三角恒等問題是三角函數(shù)中的重要題型，也是熱門問題。三角恒等變換問題涉及公式多，變化多，除了要熟悉公式外，還需要掌握一些恒等變換的基本思想方法，要善于辨別式中的差異：如角度差異、函數(shù)名稱差異、形式的差異等。把握解題目標(biāo)，靈活應(yīng)用公式，配以基本解題技法，則可以為應(yīng)用公式創(chuàng)造條件，開辟解題途徑，提高解題效率。一、 “1”的妙用。我們知道，同角三角函數(shù)關(guān)系中，1=sin2+cos2，故等式中的“1”有時(shí)可以代換為正、余弦的平方和，這樣可給證明恒等式帶來方便。例1：求證： =tan-cot.證明：左邊= = =tan-cot=右邊. =tan-cot成立.例2：求證：=.證明：注意左邊分子，1= sin2+ cos2，而sin2=2 sincos 左邊= = =（分子分母同除以cos） =右邊. =成立.注：在三角恒等變換中，也常把sin2+cos2代換為“1”。二、湊配法在三角函數(shù)中,角的“和”、“差”、“倍”、“半”都是相對而言的.二倍角公式不僅可以運(yùn)用于將2作為的2倍的情況,還可以運(yùn)用于諸如將4作為2的2倍,將作為/2的2倍,將/2作為/4的2倍,將3作為3/2的2倍等的情況.另外,也常用如下的配湊角的方法:=(+)-=(-)+=+2+-2,2=(+)+(-),2+=(+)+,2-=(-)+,10=30-20,50=30+20,15=45-30,75=45+30等.解題過程中應(yīng)充分利用這些變形.在條件等式的求證過程中，往往存在待證式中的角與條件式中的角度的不同。這時(shí)，我們可以考慮用待證式中的角，表示已知式中的角度，達(dá)到消除角度差異的目的，然后再進(jìn)行恒等變形，可達(dá)事半功倍的效果。例3：已知：2tan=3tan，求證：tan(-)=.證明：2tan=3tan 2tan()+ 2=3tan 整理得：tan(-)= =.例4：已知：，cos(-)=，sin(+)=，求sin2的值。 解： 0- + sin(-)= cos（+）= sin2=sin(-)+(+) =sin(-)cos(+)+cos(-)sin（+) =（）+（）=.三、切割化弦法。若三角等式中，含有切、割函數(shù)時(shí)，可利用同角三角函數(shù)關(guān)系中商的關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系化切、割函數(shù)為正、余弦函數(shù)。例5：求證：+=1sincos.證明：左邊=+=+ =1sincos=右邊 +=1sincos.例6：求證：=sin+cos.證明：左邊=sin+cos=右邊. =sin+cos成立.以上例5、例6證明中采用的是“切、割化弦”法，化弦是三角恒等式證明中常用的基本思想方法。四、添項(xiàng)配方法。例7：求證：sin8+cos8=14sin2cos2+2sin4cos4證明：左邊=sin8+cos82sin4cos4+2sin4cos4 =( sin4cos4)2+2 sin4cos4 =( sin2+cos2)2( sin2cos2)22sin4cos4 =( sin2cos2)22sin4cos4 =( sin2+cos2)24 sin2cos2+2sin4cos4 =14sin2cos2+2sin4cos4=右邊.sin8+cos8=14sin2cos2