大一高數(shù)基礎(chǔ)練習(xí)題.doc

高等數(shù)學(xué)（理工類）1.設(shè)的定義域?yàn)?，則復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)；2.已知時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則_；3函數(shù)，則_；4函數(shù)的拐點(diǎn)為_(kāi)；，5設(shè)函數(shù) ，當(dāng)=_時(shí)， 在處連續(xù)；6. 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則_；7函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)是_；8定積分_；9已知點(diǎn)空間三個(gè)點(diǎn)則AMB= _；10已知，則_。二、計(jì)算題（每小題6分，共42 分）1求極限。2求極限=3設(shè)求。4、設(shè) 求以及。解 ，5計(jì)算不定積分。解 6、計(jì)算不定積分7計(jì)算定積分三、證明題（每小題8分，共16 分）1、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，試證必存在使。證明 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上連續(xù)，且在上有最大值和最小值。于是 所以 由介值定理知至少存在，使。 因?yàn)?，且在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理存在，使 。2、證明不等式：當(dāng)時(shí)， 。證明 ，則當(dāng)時(shí)，四、應(yīng)用題（第1小題10分，第2小題12分）1要建造一個(gè)體積為的圓柱形封閉的容器，問(wèn)怎樣選擇它的底半徑和高，使所用的材料最??？解 設(shè)圓柱體的半徑為，高，表面積為,，表面積最小。2求曲線，直線，及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體體積。解 高等數(shù)學(xué)（理工）一、 選擇題（每空 3 分，共 15 分）1、下列變量在給定的變化過(guò)程中為無(wú)窮小量的是（ ）；、； 、； 、。2、設(shè)函數(shù)在處連續(xù),則（ ）；、； 、； 、； 、3、設(shè)在上可導(dǎo)，且若，則下列說(shuō)法正確的是（ ）；、在上單調(diào)減少； 、在上單調(diào)增加； 、在上為凹函數(shù)； 、在上為凸函數(shù)。4、下列不定積分計(jì)算正確的是（ ）；、； 、；、； 、。5、設(shè)在上連續(xù)，則下列論斷不正確的是（ ）。；、是的一個(gè)原函數(shù)；. 、在內(nèi)是的一個(gè)原函數(shù).；、在內(nèi)是的一個(gè)原函數(shù)； 、在上可積。二、填空題（每空 3 分，共 15 分）6、若則；7、曲線在點(diǎn)的切線方程為：_ _；8、曲線在內(nèi)的拐點(diǎn)為 ； 9、當(dāng)滿足條件_時(shí),反常積分 收斂； ；10、微分方程的階數(shù)是_.；三、計(jì)算題（共 45 分） 11、求下列函數(shù)極限(每題6分，共12分)：(1) (2) 12、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)（每題6分，共12分）：(1) 設(shè)函數(shù),求 ； 解 (2)設(shè)函數(shù) 由方程 所確定，求 ；解 ， 將代入得13、求下列函數(shù)積分（每題7分，共21分）：(1) (2) (3) 四、證明題(每小題 8分，共 16 分）14、證明：設(shè)證明 設(shè)，則，15、設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得成立.證明 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，y由羅爾中值定理得 ，即有 五、應(yīng)用題（共9分）16、求曲線與過(guò)該曲線上的點(diǎn)的切線及軸所圍成的圖形的面積解 ， ，切線方程 ，高等數(shù)學(xué)（上）一、單項(xiàng)選擇題（本題共20分，每小題2分）1、函數(shù)的定義域?yàn)椋?）；、且； B、； 、； 、且。2、（ ）；、； B、不存在； 、1； 、0。3、按給定的的變化趨勢(shì)，下列函數(shù)為無(wú)窮小量的是（ ）；、() ； 、 ()；、 () ； 、 ()；4、設(shè)要使在處連續(xù)，則（ ）；、2； 、1； 、0 ； 、-1 5、設(shè)函數(shù)在內(nèi)恒有，則曲線在內(nèi)（ ）；、單調(diào)上升，向上凸； 、單調(diào)下降，向上凸；、單調(diào)上升，向上凹； 、單調(diào)下降，向上凹。6、設(shè)，則方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)根的個(gè)數(shù)是（ ）；、4 ； 、3 ； 、2 ； 、1 。7、設(shè)，則（ ）；、； 、 ； 、 ； 、 。8、設(shè)函數(shù)在上是連續(xù)的，下列等式中正確的是（ ）；、； 、；、； ；。9、當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小，則= （ ）；、； 、1； 、2 ； ；-2。10、已知，則（ ）；、1； 、2； 、3 ； 、4。二、填空題（本題共10分，每空2分）1、設(shè)則 。；2、極限 ；3、設(shè)，則 。；4、函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)為 。5、設(shè)，則。三、計(jì)算題1.（8分）求2、（7分）3、（7分）設(shè) 求。，4、（8分）設(shè)。解 設(shè)，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得5、（7分） 6、（7分）7、（8分） 令，四、綜合題1、（9分）求由曲線所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。2、（9分）證明方程只有一個(gè)正根.證明 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，令，為單調(diào)遞增函數(shù)，又，由零點(diǎn)定理可知在只存在一點(diǎn)在，使在，則方程只有一個(gè)正根。理工高等數(shù)學(xué)一、填空題（本題共15分，每小題3分）1.函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 2.若，均為常數(shù)，則 ， ，；3.設(shè)函數(shù)由方程所確定，則曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程是 ，4.設(shè)，則 . 5.設(shè)在可導(dǎo)，則二.求下列各題極限（共28分）1. 2. 3. 4. 三計(jì)算題（共32分）5.設(shè)，求.，6.設(shè)，求.7.求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),.；8. .解 方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得 ，四綜合題（共27分）9 .求常數(shù)的值，使函數(shù)在處一階可導(dǎo).，；，。10.求函數(shù)的所有間斷點(diǎn)，并指出其類型.，11.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求一、填空題（每空3分，共15分）1、已知的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)；2、_；3、積分與的大小關(guān)系是_；4、 .；解 又 時(shí)為曲線 的拐點(diǎn)。5、設(shè)，則 . 。二、選擇題（每空3分，共15分）1、曲線在(0,0)點(diǎn)的切線斜率是（ ）；、 1 ； 、 ； 、0 ； 、 -1。2、設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有（ ）；、與是等價(jià)無(wú)窮小； 、與是同階但非等價(jià)無(wú)窮??；、是比高階的無(wú)窮?。?、是比低階無(wú)窮小。 3、設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（ ）；、； 、； 、 ； 、。4、下列積分發(fā)散的有（ ）； 、； 、； 、.； 、。5、設(shè)能使極限式成立，則（ ）。A. ； 、； 、 ； 、；三、計(jì)算下列各題（共52分）1、（7分）已知，求的導(dǎo)數(shù)。2、（7分）解 3、（7分）已知參數(shù)方程：，（），求所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。解：（）4、(7分）已知,求. 解: 令 ,則 ,.5、（8分）計(jì)算不定積分. 解：= .6、（8分）計(jì)算定積分.解：令 則 且 當(dāng) 時(shí), 當(dāng) 時(shí)于是 7、求由曲線與直線圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積（8分）四、證明題（每小題9分，共18分）1、（9分）當(dāng)時(shí)，.證：令, ,當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)增加.而即當(dāng)時(shí)，2、（9分）設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù)，且，證明 (1)在(a,b)內(nèi)；（2）在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證：（1）反證法.設(shè)內(nèi)存在一點(diǎn)使，則在上有,由羅爾定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，同理在內(nèi)也至少存在一點(diǎn)使，則，由羅爾定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使，這與矛盾，故在內(nèi)。（2）令由題設(shè)條件可知，在上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且,由羅爾定理可知，存在使得，即，由于，故。一、 填空題（每空3分，共24分）1、要使在處連續(xù)，則_；5；2、設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，則 ；3、設(shè)，則_；4、函數(shù)是當(dāng)時(shí)的_同階_無(wú)窮小量。（填等價(jià)，同階或高階）。5、_；0；6、若，則_，_；7、函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為_(kāi)。二、求極限（每小題5分，共10分）。1、（5分）2、（5分）三、求導(dǎo)數(shù)（每小題6分，共18分）。1、（6分）求由方程所確定的隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和。解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得，整理得，2、（6分）設(shè)函數(shù)的參數(shù)方程為，求，。解：，3、（6分）已知，求。解：方程兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得 四、求積分（每小題5分，共20分）。1、（5分）計(jì)算2、（5分）計(jì)算；解：令，則，原式=3、（5分）計(jì)算。解：令，則，當(dāng)，原式=原式4、（5分）計(jì)算解：五、證明題（每小題8分，共16分）1、（8分）證明不等式：當(dāng)時(shí)，。證明：設(shè) ，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，即，得證。2、（8分）若在0，1上有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。證明：在0，1上有二階導(dǎo)數(shù)，則在0，1上有二階導(dǎo)數(shù)，由羅爾定理，在（0，1）至少存在一點(diǎn)，使得，由羅爾定理，在內(nèi)