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現(xiàn)代電路理論設計論文混沌電路設計南京理工大學現(xiàn)代電路理論課程實驗混沌電路設計(題名和副題名)(作者姓名) (學號)指導教師姓名 孫建紅 老師 學院 電 子 工 程 與 光 電 技 術(shù) 學 院 年級 2016級 專業(yè)名稱 電磁場與微波技術(shù) 論文提交日期 2017.04摘 要蔡氏電路是可以表現(xiàn)出標準的混沌理論行為的典型非線性電路。文章利用 Multisim 軟件強大的電路仿真功能，在介紹蔡氏混沌電路基本原理和非線性電阻等效電路的基礎上，敘述了在 Multisim 界面下對混沌電路的構(gòu)建，通過設置不同的電路參數(shù)，運行仿真功能，出現(xiàn)了相應的薩如圖形和時域波形，從而得到了豐富的混沌行為。文章對仿真結(jié)果進行了分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，用Multisim軟件可以展示各種豐富分岔和混沌的現(xiàn)象，對混沌實驗研究具有良好的借鑒意義。關鍵詞：非線性特性、蔡氏電路、混沌現(xiàn)象目 錄摘 要21緒論41.1混沌現(xiàn)象的定義41.2課題意義41.3本文主要工作52混沌電路基本原理62.1蔡氏電路62.2倍周期72.3費根勒姆常數(shù)82.4有源非線性電阻83混沌電路的設計與仿真103.1實驗電路的構(gòu)建103.2實驗電路仿真104分析與總結(jié)15參考文獻17231 緒論1.1 混沌現(xiàn)象的定義混沌是非線性動力學系統(tǒng)中所特有的一種運動形式，它廣泛存在于自然界，諸如生物學、物理、化學、地質(zhì)學，以及技術(shù)科學、社會科學等各種科學領域。一般而言，混沌現(xiàn)象隸屬于確定性系統(tǒng)而難以預測（基于其動力學性態(tài)對于初始條件的高度敏感性），有稠密軌道的拓撲特征，以及呈現(xiàn)多種混亂無序卻又頗有規(guī)則的圖像（如具有稠密的周期點）?；煦缰饕譃樗拇箢悾簳r間混沌、空間混沌、時空混沌和功能混沌?；煦绮粌H是混沌研究者、數(shù)學家和物理學家等作為理論研究的對象，而且在自然科學、電子通信以及其他工程應用領域中有著廣泛的應用前景。公認的最早發(fā)現(xiàn)混沌的是偉大的法國數(shù)學家，物理學家龐加萊，他是在研究天體力學，特別是在研究三體問題時發(fā)現(xiàn)混沌的。他發(fā)現(xiàn)三體引力相互作用能產(chǎn)生驚人的復雜行為，確定性動力學方程的某些解有不可預見性。他在科學的價值一書中寫道：“初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生了極大的差別；前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差，于是預言變的不可能了”。這些描述實際上已經(jīng)蘊涵了“確定性系統(tǒng)具有內(nèi)在的隨機性”這一混沌現(xiàn)象的重要特征。1963年，美國氣象學家洛倫茨在確定論非周期流一文中，給出了描述大氣湍流的洛倫茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效應”，從而揭開了對非線性科學深入研究的序幕。非線性科學被譽為繼相對論和量子力學之后，20世界物理學的“第三次重大革命”。由非線性科學所引起的對確定論和隨機論、有序和無序、偶然性與必然性等范疇和概念的重新認識，形成了一種新的自然觀，將深刻的影響人類的思維方法，并涉及現(xiàn)代科學的邏輯體系的根本性問題。迄今為止，最豐富的混沌現(xiàn)象是非線性振蕩電路中觀察到的，這是因為電路可以精密元件控制，因此可以通過精確地改變實驗條件得到豐富的實驗結(jié)果，串聯(lián)諧振電路是華裔科學家蔡少棠設計的能產(chǎn)生混沌的最簡單的電路，它是熟悉和理解非線性現(xiàn)象的經(jīng)典電路。1.2 課題意義本課題的目的是了解混沌現(xiàn)象和混沌電路，學習使用Multisim軟件仿真電路，使用示波器觀察混沌電路的行為，通過實驗感性認識混沌現(xiàn)象，研究混沌電路敏感參數(shù)對混沌現(xiàn)象的影響。學習有源非線性負阻元件的工作原理，借助串聯(lián)諧振電路掌握非線性動力學系統(tǒng)運動的一般規(guī)律性。通過本實驗的學習擴展視野、活躍思維，以一種嶄新的科學世界觀來認識事物發(fā)展的一般規(guī)律。1.3 本文主要工作本文主要使用Multisim軟件完成了混沌電路的仿真設計，對混沌電路進行了分析，并且觀察了混沌的典型波形。論文一共分為四章，其結(jié)構(gòu)如下：第1章 緒論，主要介紹混沌現(xiàn)象的發(fā)展現(xiàn)狀，簡要分析了本課題的研究意義，最后給出了本文的主要工作內(nèi)容。第2章 介紹了混沌現(xiàn)象的基本原理，簡單敘述了蔡氏電路、倍周期、費根勒姆常數(shù)及有源非線性電阻的相關概念。第3章 構(gòu)建了相關實驗電路，在此基礎上進行了仿真，觀察分析了倍周期分岔和混沌現(xiàn)象。第4章 論文總結(jié)，對本實驗過程中出現(xiàn)的問題進行反思總結(jié)，并且對未來可以展開的工作進行了展望。2 混沌的相關原理2.1 混沌現(xiàn)象的基本原理粗略地講，非線性電路的混沌或混沌振蕩是指確定性電路中產(chǎn)生的不確定、類似隨機的輸出。所謂確定性電路是指電路的參數(shù)和輸人都為確定值，沒有隨機因素。所謂不確定、類似隨機的輸出是指電路的輸出既不是周期的，又不是擬周期的；既不趨于無窮、又不趨于靜止，而是在一定區(qū)域內(nèi)永不重復的輸出。這種性質(zhì)的輸出與平衡點，周期解和擬周期解相比有如下幾個特征:（1）不確定性。即在給定的初始狀態(tài)下，不能精確預測它在其后任一時刻的行為。（2）對初始值的極端敏感性。任意靠近兩個初始值出發(fā)的軌道在一定的時間間隔內(nèi)將會以指數(shù)方式分離。初始值的極其微小的改變，可以使振蕩的輸出產(chǎn)生本質(zhì)的差異。這種差異絕不是計算誤差形成的，而是非線性電路的固有特性。（3）周期或擬周期振蕩信號的頻譜是離散譜?；煦缯袷庉敵鲂盘杽t是一定頻率范圍內(nèi)的連續(xù)譜。（4）周期或擬周期振蕩的龐加萊映射是點或無限填充的封閉的橢圓線。但混沌振蕩對應的龐加萊映射在龐加萊截面上的表現(xiàn)，則是雜亂無章的點集合。隨著時間的增加，相空間中的軌道都向某一定的區(qū)域逼近，它就是吸引子。在相空間中，吸引子共有4種類型，平衡點(不動點)、周期吸引子、擬周期吸引子和混沌吸引子(也稱奇怪吸引子)。吸引子可以在任意階的電路中出現(xiàn)，但混沌吸引子只可能在三階或高于三階的動態(tài)電路中出現(xiàn)，而且它是整體穩(wěn)定(耗散能量消耗、最終無源)和局部不穩(wěn)定(雙曲、局部有源)相結(jié)合的產(chǎn)物。在相空間的表現(xiàn)是“伸長”和“折疊”。由于非線性電路中混沌解的特殊性，目前分析研究混沌的方法主要有如下幾種：（1）應用非線性動力學理論對其定性性質(zhì)進行研究，以確定混沌產(chǎn)生的機制并在一定條件和特定電路中得到出現(xiàn)混沌的可能參數(shù)范圍；（2）使用計算機對非線性電路的解進行數(shù)值計算，以獲得特定參數(shù)、初始值下的電路的數(shù)值解，進而可以得到相圖、頻譜、李雅普諾夫指數(shù)等用來判別混沌特征的信息；（3）直接進行實驗，在實驗中對混沌的各種現(xiàn)象進行觀察、分析。顯然，用實驗方法研究非線性電路中的混沌具有其他學科不可替代的優(yōu)勢，因為需要研究分析的對象已經(jīng)是電信號，而不再需要各種轉(zhuǎn)換用的傳感器。因此，非線性電路的混沌研究，具有廣泛的意義。2.2 費根勒姆常數(shù)盡管混沌行為是一種類隨機運動，但其步入混沌的過程在非線性系統(tǒng)中具有普適性。一個完全確定的系統(tǒng)，即使非常簡單，由于系統(tǒng)內(nèi)部的非線性作用，同樣具有內(nèi)在的隨機性，可以產(chǎn)生隨機性的非周期運動。在許多非線性系統(tǒng)中，既有周期運動，又有混沌運動。費根鮑姆發(fā)現(xiàn)，一個動力學系統(tǒng)中分岔點處參量收斂服從普適規(guī)律。他指出，出現(xiàn)倍周期分岔預示著混沌的存在。=4.699 201 609 102 9。非線性參數(shù)可以表征一個非線性系統(tǒng)趨于混沌的速度，=u2-u1u3-u2，越接近，系統(tǒng)進入混沌就越快。2.3 有源非線性電阻一般的電阻器件是有限正阻，即當電阻兩端的電壓升高時，電阻內(nèi)的電流也會隨之增加，并且i-v呈線性變化，所謂正阻，即I-U是正相關，i-v曲線的斜率ui為正。相對的有非線性的器件和負阻，有源非線性負阻表現(xiàn)在當電阻兩端的電壓增大時，電流減小，并且不是線性變化。負阻只有在電路中有電流時才會產(chǎn)生，而正阻則不論有沒有電流流過總是存在的，從功率意義上說，正阻在電路中消耗功率，是耗能元件；而負阻不但不消耗功率，反而向外界輸出功率，是產(chǎn)能元件。有源非線性負阻元件實現(xiàn)的方法有很多種，由于本實驗研究的是該非線性元件對整個電路的影響，只要知道它主要是一個負阻電路(元件)，能輸出電流維持振蕩器不斷振蕩，而非線性負阻元件的作用是使振動周期產(chǎn)生分岔和混沌等一系列現(xiàn)象。2.4 蔡氏電路本實驗采用蔡氏電路，蔡氏電路是美國貝克萊大學的蔡少棠教授設計的能產(chǎn)生混沌行為的最簡單的自制電路，為混沌電路的典型例子，其結(jié)構(gòu)簡單，現(xiàn)象明晰，被廣泛用于高校的實驗教學中。蔡氏電路原理圖如圖2.41所示，電路由1個線性電感L，2個線性電容C1，C2，1個線性電阻NR，一個非線性電阻R構(gòu)成，為三階自制動態(tài)電路，即分為LC振蕩電路，RC分相電路和分線性元件三部分。電阻NR起調(diào)節(jié)C1，C2的相位差。非線性電阻R為分段線性電阻。由于加在此元件上的電壓增加時，其上面的電流減小，故稱為非線性負阻元件。負阻曲線的擬合見圖2.42。其中非線性電阻是核心元件，是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件。圖2.4.1 蔡氏電路原理圖圖2.4.2 負阻曲線的擬合由基爾霍夫結(jié)點電流定律可以得到串聯(lián)諧振電路的非線性動力學方程：式中，導納G=1/（Rv1+Rv2）,Vc1和,Vc2分別表示加在C1和C2上的電壓，iL表示流過電感器L的電流，g表示非線性電阻的導納。2.5 倍周期將蔡氏電路中的電導值G取最小，同時用示波器觀察Vc1Vc2的李薩如圖形。它相當于由方程x= Vc1(t)和y= Vc2(t)消去時間變量得到的空間曲線，在非線性理論中這種曲線稱為相圖。“相”的意思是運動狀態(tài)，相圖反應了運動狀態(tài)的聯(lián)系。一開始系統(tǒng)存在短暫的穩(wěn)定狀態(tài)，示波器上的李薩如圖形表現(xiàn)為一個光點。隨著G值的增加（電阻減小），李薩如圖形表現(xiàn)為接近斜橢圓的圖形（見圖2.5.1）。它表明系統(tǒng)開始自激振蕩，其頻率取決于電感與非線性電阻組成的回路特性。圖2.5.1 倍周期相圖無論是代表穩(wěn)態(tài)的光點還是開始自己振蕩的橢圓，都是系統(tǒng)經(jīng)過一段暫態(tài)的終態(tài)。示波器顯示的是系統(tǒng)進入穩(wěn)定后的相圖。實驗和理論證明:只要在各自的對應系統(tǒng)參數(shù)下，無論給什么樣的激勵條件，最終都將落到各自終態(tài)極上，故稱他們?yōu)槲?。繼續(xù)增加電導，此時示波器屏幕上出現(xiàn)兩個相交的橢圓，運動軌跡線從其中一個橢圓跑到另一個橢圓上。他說明原先的一倍周期變成了2倍周期。這在非線性理論中稱為倍周期分岔。它揭開了動力學進入混沌的序幕。繼續(xù)減小電導，依次出現(xiàn)4倍周期、8倍周期、16倍周期與陣法混沌。再減小電導值，出現(xiàn)3倍周期，隨著1/G的值進一步減小，系統(tǒng)完全進入混沌區(qū)。相點貌似無規(guī)則游蕩不會重復已走過的路。線圈的軌道本身是有界的，其極限集合呈現(xiàn)出奇特的形狀，具有某種規(guī)律。仍把這種解集稱為吸引子，通常叫做奇異吸引子或混沌吸引子。如圖2.5.2。圖2.5.2 混沌吸引子混沌作為一個科學術(shù)語，它應該被這樣描述：混沌是一種運動狀態(tài)，是確定性中出現(xiàn)的無規(guī)律性，其主要特征是動力學特性對初始條件的依賴性非常敏感。一個混沌系統(tǒng)既是確定的又是不可預測的，也不能分解為兩個子系統(tǒng)。通向混沌有三條主要途徑：倍周期分岔道路：改變一些系統(tǒng)的參數(shù)，使系統(tǒng)周期加倍直到喪失周期性，進入混沌；陣發(fā)性道路：在非平衡的系統(tǒng)中，某些參數(shù)的變化達到某一臨界值時，系統(tǒng)會表現(xiàn)出在時間行為上時而周期時而混沌的狀況，最終進入混沌；準周期道路：有茹厄勒-塔根斯提出，由于某些參數(shù)的變化使得系統(tǒng)有不同頻率的震蕩相互耦合時，會產(chǎn)生一些新的頻率，進而導致混沌。另外還有湍流道路，剪切流轉(zhuǎn)等途徑產(chǎn)生混沌。3 混沌電路的設計與仿真本課題采用Multisim軟件進行混沌電路的設計與仿真。相比傳統(tǒng)的混沌電路實驗板，采用Multisim 學生可以自由地修改電路參數(shù)并實時觀測實驗現(xiàn)象; 相比MATLAB、C等編程語言，采用Multisim完成混沌電路實驗教學，學生不需要建立數(shù)學模型和編寫程序，只需要在界面中利用軟件圖形化的功能搭接電路。這將方便學生操作，使學生更易于自主修改實驗模型，有助于學生開展探究性學習，發(fā)揮學生學習的自主作用。本章節(jié)由兩部分構(gòu)成，第一部分為蔡氏電路的構(gòu)建與仿真，第二部分為改進型蔡氏電路的構(gòu)建與仿真，改進的蔡氏電路由2個運算放大器（UA741）及電阻組合替代原電感。最后對兩種電路的混沌行為進行分析。3.1 蔡氏電路的構(gòu)建本實驗采用蔡氏電路，蔡氏電路是美國貝克萊大學的蔡少棠教授設計的能產(chǎn)生混沌行為的最簡單的自制電路，為混沌電路的典型例子，其結(jié)構(gòu)簡單，現(xiàn)象明晰，被廣泛用于高校的實驗教學中。運行Multisim軟件，建立仿真文件，構(gòu)建如圖3.1.1所示的電路圖，為了觀察混沌電路的波形，在仿真平臺上添加虛擬示波器，將示波器A,B兩個輸入通道與需要觀測的電路節(jié)點相連，通道A觀測電容C1兩端的電壓信號；通道B觀測電容C3兩端的電壓信號。圖3.1.1 Multisim仿真電路3.2 蔡氏電路仿真運行軟件，觀察示波器，在示波器窗口上選擇“Y/T”模式，進行波形的時域分析；選擇“A/B”模式，則顯示李薩如圖形，進行波形的相位測試。R0的作用是移相，使電容C1，C3兩端的電壓信號產(chǎn)生相位差，運放的前級和后級的正、負反饋同時存在，正反饋的大小程度與R0,R7,R12有關，負反饋大小與R8,R9,R10,R11有關，若調(diào)節(jié)R0的阻值大小，正反饋大小程度就會發(fā)生變化，當正反饋程度大于負反饋程度時，電路才能處于震蕩狀態(tài)。蔡氏電路的運動形態(tài)因元件的參數(shù)值的不同而具有不同的拓撲性質(zhì)，可以把電路元件參數(shù)值看作控制參數(shù)而使蔡氏電路工作在不同的拓撲結(jié)構(gòu)狀態(tài)。現(xiàn)在以電阻R0為例，將R0以從小到大的順序進行討論。R0=0 時，觀察到的李薩如圖形為一條直線，如圖3.2.1所示：圖3.2.1 R0=0時的仿真結(jié)果當R0增大到1.35k時，開始出現(xiàn)雙引子混沌圖形，R0在增大到1.35k之前混沌電路的相圖呈單葉周期，這里以R0=1k為例，如圖3.2.2所示：圖3.2.2 R0=1k時的仿真結(jié)果R0繼續(xù)增大，當R=1.35K時，開始出現(xiàn)雙引子混沌圖形，也就是蝴蝶圖像，由時域波形可看出了混沌振蕩的非周期性，如圖3.2.3所示：圖3.2.3 雙渦旋混沌吸引子當R0增大到1.61k時，混沌電路第一次進入四周期運動狀態(tài)，如圖3.2.4所示：3.2.4 四周期運動狀態(tài)R=1.64k時，混沌電路第一次進入二周期運動狀態(tài)，如圖3.2.5所示：3.2.5 二周期運動狀態(tài)R0逐漸增大到1.67k時，增幅振蕩開始，進入一周期運動狀態(tài)，如圖3.2.6所示：3.2.6 一周期運動狀態(tài)R0增大到1.71k時, 相圖為穩(wěn)定焦點，呈蝌蚪形，為衰減振蕩，最終成為不動點，如圖3.2.7所示：3.2.7 R0=1.71k時的仿真結(jié)果通過以上數(shù)據(jù)和圖案我們可以發(fā)現(xiàn)，當我們改變初始電路參數(shù)時，混沌現(xiàn)象中的電路是非周期性的，時而穩(wěn)定，時而混亂，雖然出現(xiàn)平衡點，但并不穩(wěn)定。在理想實驗條件下觀察到了不同參數(shù)條件下出現(xiàn)的極限環(huán)，單吸引子，雙吸引子，奇異吸引子等一系列不同混沌現(xiàn)象。隨著混沌電路電感值的減小，混沌現(xiàn)象提前，邊界化也越明顯。3.3 改進型蔡氏電路的構(gòu)建改進型蔡氏電路如圖3.3.1所示，改進的蔡氏電路使用2個UA741和1個50 nF的電容，3個1 k電阻和1個200電阻替代原電感，經(jīng)過調(diào)節(jié)可呈現(xiàn)混沌現(xiàn)象。運行Multisim軟件，再次建立仿真文件，構(gòu)建如圖3.3.1所示的電路圖，為了觀察混沌電路的波形，在仿真平臺上添加虛擬示波器，將示波器A,B兩個輸入通道與需要觀測的電路節(jié)點相連，通道A觀測電容C2兩端的電壓信號；通道B觀測電容C3兩端的電壓信號。圖3.3.1 Multisim仿真電路3.4 改進型蔡氏電路仿真這里我們重復3.2節(jié)的仿真步驟，這里我們以從小到大的順序調(diào)節(jié)R6的值來觀察混沌電路的行為。R6=0 時，觀察到的李薩如圖形為一條直線，如圖3.4.1所示：圖3.4.1 R6=0時的仿真結(jié)果當R6增大到1.4k時，開始出現(xiàn)雙引子混沌圖形，R6在增大到1.4k之前混沌電路的相圖呈單葉周期，這里以R6=1.2k為例，如圖3.4.2所示：圖3.4.2 R6=1.2k時的仿真結(jié)果R6繼續(xù)增大，當R=1.4K時，開始出現(xiàn)雙引子混沌圖形，也就是蝴蝶圖像，由時域波形可看出了混沌振蕩的非周期性，如圖3.4.3所示：圖3.4.3 雙渦旋混沌吸引子當R6增大到1.65k時，混沌電路第一次進入四周期運動狀態(tài)，如圖3.4.4所示：3.4.4 四周期運動狀態(tài)R=1.68k時，混沌電路第一次進入二周期運動狀態(tài)，如圖3.4.5所示：3.4.5 二周期運動狀態(tài)R6逐漸增大到1.7k時，增幅振蕩開始，進入一周期運動狀態(tài)，如圖3.4.6所示：3.4.6 一周期運動狀態(tài)R6增大到1.75k時, 相圖為穩(wěn)定焦點，呈蝌蚪形，為衰減振蕩，最終成為不動點，如圖3.4.7所示：3.4.7 R6=1.71k時的仿真結(jié)果由以上仿真分析和實驗可見，當選擇適當?shù)碾娐穮?shù)時，改進的蔡氏電路的動態(tài)特性出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，吸引子具有雙渦旋結(jié)構(gòu)，本實驗通過改進簡單的電路產(chǎn)生混沌，討論了產(chǎn)生混沌的過程與途徑，同時了解非線性電阻對產(chǎn)生混沌的作用，了解混沌現(xiàn)象的一些基本特性。4 分析與總結(jié)混沌大體包含以下一些主要內(nèi)容：系統(tǒng)進行著貌似無歸律的運動，但決定其運動規(guī)律的基礎動力學卻是決定論的；具體結(jié)果敏感地依賴初始條件，從而其長期行為具有不可預測性；這種不可預測性并非由外界噪聲引起的；系統(tǒng)的長期行為具有某些全局和普適性的特征，這些特征與初始條件無關?；煦缭谙鄨D上的表現(xiàn)為軌道在某側(cè)繞幾圈似乎是隨機的，但這種隨機性和真正隨機系統(tǒng)中不可預測的無規(guī)律又不相同。因為相點貌似無規(guī)律地游蕩，不會重復已走過的路，但并不是以連續(xù)概率分布在相平面上隨機行走，類似“線圈”的軌道本身是有界的，顯然其中有某些規(guī)律。在本次實驗中，我初步了解了混沌的一些知識，并對混沌的理論和實際應用產(chǎn)生了興趣。在實驗后，通過查閱相關資料了解到，20多年來，混沌一直是舉世矚目的前沿課題和研究熱點，它揭示了自然界及人類社會中普遍存在的復雜性、有序與無序的統(tǒng)一、穩(wěn)定性與隨機性的統(tǒng)一，拓寬了人們的視野，加深了人類對客觀世界的認識?；煦绗F(xiàn)象在非線性科學中指的是一種確定的但不可預測的運動狀態(tài)。它的外在表現(xiàn)和純粹的隨機運動很相似，即都不可預測。但和隨機運動不同的是，混沌運動在動力學上是確定的，它的不可預測性是來源于運動的不穩(wěn)定性?；蛘哒f混沌系統(tǒng)對無限小的初值變動和微繞也具于敏感性，無論多小的擾動在長時間以后，也會使系統(tǒng)徹底偏離原來的演化方向?；煦绗F(xiàn)象是自然界中的普遍現(xiàn)象，天氣變化就是一個典型的混沌運動。而在人類的