數(shù)值分析 李慶楊 Cht6-8習題課.pdf

一 解線性方程組的迭代法一 解線性方程組的迭代法 第第6 6 8 8章章 習題課習題課 線性方程組迭代解法線性方程組迭代解法 解非線性方程解非線性方程 矩陣特征值矩陣特征值 基本內(nèi)容及基本要求基本內(nèi)容及基本要求 1 了解迭代法及其收斂性的概念 2 掌握雅可比 Jacobi 迭代法 高斯 賽德爾 Gauss Seidel 迭代法和超松弛 SOR 迭代法 3 了解一階定常迭代法的基本定理 掌握特殊方程組 迭代法的收斂條件 4 知道分塊迭代法 雅可比迭代法雅可比迭代法計算公式 對k 0 1 1 1 1 0 0 1 0 niax ij abx xxx ii n ij j k ji k i T n fxBbDxULDx bULxD 1 1 1 1 k J kk kkk xx 得到矩陣表示 借助矩陣分裂 高斯高斯 塞德爾迭代法塞德爾迭代法計算公式 對k 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 niax ij ax ij abx xxx ii n ij k j i j k ji k i T n kkk bUxLxDx 1 1 A迭代法等價于的分裂記號采用矩陣 示形式為塞德爾迭代法的矩陣表于是 高斯 fxBbLDUxLDx 1 1 1 k G kk SORSOR迭代法的計算公式 對k 0 1 0 2 1 1 1 1 1 0 0 1 0 松弛因子 ni ax ij ax ij abxx xxx ii n ij k j i j k ji k i k i T n kkkkk 化為的分裂記號采用矩陣 1 1 DxUxLxbDxDx A 1 1 1 1 SOR kk bLDxUDLDx 為迭代法的矩陣表示形式 1 5 3 0 1 Bx fBxx 收斂迭代法則對任意初始向量 一階定常迭代法 kk 定理4定理4 定理定理7 7 若矩陣A A按行 或列 嚴格對角占優(yōu) 或按行 或列 弱 對角占優(yōu)不可約 則Jacobi迭代 Gauss Seidel迭代都收 斂 20 SOR 則松弛因子迭代收斂若定理8定理8 定理定理9 9 對于線性方程組AxAx b b 若A A為對稱正定矩陣 則 當0 2時 SOR迭代收斂 定理定理10 10 對于線性代數(shù)方程組Ax b 若A按行 或列 嚴 格對角占優(yōu) 或按行 或列 弱對角占優(yōu)不可約 則當 0 w 1時 SOR迭代收斂 7 8 7 5 2 259 講p回顧作業(yè)回顧作業(yè) 1 AIB bxAIx證證明明 迭代矩陣為 kk 11 1 11 0 2 0 AB A知由時當 迭代收斂于是 1 B 1 1 1 211 111 112 3 2 1 并考察求解的收斂性 迭代法的計算公式 迭代法和分別寫出 對于方程組 SeidelGaussJacobi x x x 練習1練習1 2 1 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 2 3 2 1 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 式為解 雅可比迭代計算公 0 101 0 011 101 110 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ULD 雅可比迭代矩陣為 1 0 11 2 5 2 5 4 53 2 1 2 1 2 1 2 1 Bi BI 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 2 3 2 1 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 賽德爾迭代計算公式為 高斯 賽德爾迭代矩陣為高斯 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 00 0 0 0 10 110 0 01 00 0 10 110 211 11 2 ULD 1 0 2 1 2 1 Bi 式的關系注意迭代矩陣與計算公 或定理 或對角占優(yōu) 問 能否用 11 1 BB 二 非線性方程求根二 非線性方程求根 基本內(nèi)容及基本要求基本內(nèi)容及基本要求 1 了解求根問題和二分法 2 了解不動點迭代法 及不動點存在性和迭代收 斂性 了解收斂階的概念和有關結論 3 了解加速迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法 4 掌握牛頓法及其收斂性 了解簡化牛頓法和牛頓法 下山法 了解重根情形 5 掌握弦截法 了解拋物線法 6 了解非線性方程組的迭代解法 2 4 10 2 1 xbaxg yxLygxg bayxL baxgbax baCxg 上存在唯一的不動點在那么 都有使得常數(shù) 都有 并且如果迭代函數(shù) 定理1定理1 2 2 2 0 xxg bax 的不動點均收斂于 迭代序列對任意初值的條件下在定理 定理2定理2 并有誤差估計 2 5 1 01 xx L L xx k k 1 1 1kkk xx L xx 還有 1 1 4 1 3 2 1 0 2 0 1 1 10 2 1 1 01 10 1 kkk k k kk xx L xx xx L L xx xkxgxbax xbaxf LxgbaxL baxgbax baCxg 收斂于迭代 上有唯一的根在方程 那么 都有使得 都有 并且如果迭代函數(shù) 推論推論 2 2 1 是局部收斂的則迭代法且內(nèi)有連續(xù)導數(shù) 的某鄰域在的不動點為迭代函數(shù)若 x g xxgxgx定理3定理3 1 k k kk xf xf xx 牛頓迭代法牛頓迭代法 1 1 1 kk kk k kk xx xfxf xf xx 兩點弦截法兩點弦截法 161512 7 4 2 029 p回顧作業(yè)回顧作業(yè) 15 124 講 1 形式化為適當?shù)氖諗康牡?試將 時內(nèi)只有一根 而當在已知 xxkx bxabaxx 練習2練習2 24 直接迭代或適當變形的迭代法考察求解 x x 練習3練習3 0 1 c x c 應用牛頓法解方程對于給定正數(shù)練習4練習4 2 0 00 時收斂滿足并證明 當初值 c xx 2 2 1 1 1kk x x kk cxx c xx k k 解 牛頓迭代公式 1 2 11 2 0 4 2 2 1 2 1 2 111 k crcrcrcr crx c ccxx c x c r kkk kkkkkk 因為 0 1 11 111 2 0 2 0 000 k cr c r cr c x ccc x k 得出收斂性 時 所以當 三 矩陣特征值問題計算三 矩陣特征值問題計算 1 了解特征值和特征向量的概念和性質 了解圓盤定理 Schur定理和Rayleigh商 2 掌握乘冪法 了解其加速收斂技術 會反冪法 3 了解豪斯霍爾德方法 4 了解QR方法 基本內(nèi)容及基本要求基本內(nèi)容及基本要求 1 1 n ij niaa anGerschgori ijii nnij 某個圓盤之中一個特征值必屬于下列 的每則設圓盤定理AA定理8定理8 S S 個特征值的中恰有則個圓盤分離與其余且 個圓盤構成一個連通域個圓盤中有如果上述的 mmn Smn A 2 2 2 9 1 2 max 0 13 1 00 10 21 k a nR kkk kk kk n nn vu v Auv vu v A 計算 對任何非零初始向量 其特征值個線性無關的特征向量有設定理定理 lim max lim 1 1 1 k k k kx x u則 1 2 max 0 0 15 1 1 00 121 k a nR k k k kk n nn nn v v u uAv vu A 計算 對任何非零初始向量 其特征值滿足向量 個線性無關的特征為非奇異矩陣且有設 定理定理 1 max lim max lim n k k n n k k v x x u 則 0 2 1 16 ijpp pni nR ij jii nn 且的近似是而和值和特征向量記為 的特征個線性無關的特征向量有設 x AA定理定理 2 12 1 2 max 0 1 1 0 k p a k k k kk j v v u uIAv u計算對任何非零初始向量 max 1 1 max max j kj k j j k p p v v x x u則 反冪法計算公式 3 2 max 2 max 1 1 1 1 2 1 1 1111111 k p kkkkk kk kk T vuv yUv PuLy vuvvUv ULPLUIAPLU 得 解 反冪法迭代 保存分解 201 0135 0144 5 步即可 特征向量 要求迭代三 的按模最大特征值及其用冪法求 A練習練習 1 08 01 0 10 max 1810 1 1 1 111 11 01 00 T T T 則解 設 vu v Auv vu