2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）.doc

2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，則U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D42（5分）命題“對(duì)任意xR，都有x20”的否定為（）A對(duì)任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x0203（5分）（6a3）的最大值為（）A9BC3D4（5分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為（）A2，5B5，5C5，8D8，85（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABC200D2406（5分）若abc，則函數(shù)f（x）=（xa）（xb）+（xb）（xc）+（xc）（xa）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（）A（a，b）和（b，c）內(nèi)B（，a）和（a，b）內(nèi)C（b，c）和（c，+）內(nèi)D（，a）和（c，+）內(nèi)7（5分）已知圓C1：（x2）2+（y3）2=1，圓C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）A1B54C62D8（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出S=3，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）Ak6Bk7Ck8Dk99（5分）4cos50tan40=（）ABCD2110（5分）在平面上，|=|=1，=+若|，則|的取值范圍是（）A（0，B（，C（，D（，二、填空題：本大題共3小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上11（5分）已知復(fù)數(shù)z=（i是虛數(shù)單位），則|z|= 12（5分）已知an是等差數(shù)列，a1=1，公差d0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8= 13（5分）從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）14，15，16三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分：14（5分）如圖，在ABC中，C=90，A=60，AB=20，過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為 15（5分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系若極坐標(biāo)方程為cos=4的直線與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|= 16若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|+|x+3|a無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（13分）設(shè)f（x）=a（x5）2+6lnx，其中aR，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）（1）確定a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值18（13分）某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)（1）求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；（2）求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額x的分布列與期望E（x）19（13分）如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AFPB（1）求PA的長(zhǎng)；（2）求二面角BAFD的正弦值20（12分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2+b2+ab=c2（1）求C；（2）設(shè)cosAcosB=，=，求tan的值21（12分）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A兩點(diǎn)，|AA|=4（）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P，過P、P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外若PQPQ，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程22（12分）對(duì)正整數(shù)n，記In=1，2，3，n，Pn=|mIn，kIn（1）求集合P7中元素的個(gè)數(shù)；（2）若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”求n的最大值，使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，則U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D4【分析】根據(jù)A與B求出兩集合的并集，由全集U，找出不屬于并集的元素，即可求出所求的集合【解答】解：A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，全集U=1，2，3，4，U（AB）=4故選：D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵2（5分）命題“對(duì)任意xR，都有x20”的否定為（）A對(duì)任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x020【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出命題的否定命題即可【解答】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“對(duì)任意xR，都有x20”的否定為存在x0R，使得x020故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，基本知識(shí)的考查3（5分）（6a3）的最大值為（）A9BC3D【分析】令f（a）=（3a）（a+6）=+，而且6a3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值【解答】解：令f（a）=（3a）（a+6）=+，而且6a3，由此可得當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)f（a）取得最大值為 ，故（6a3）的最大值為 =，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題4（5分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為（）A2，5B5，5C5，8D8，8【分析】求乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是把所有乙組數(shù)據(jù)加起來，再除以5找甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)要把甲組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)為中位數(shù)據(jù)此列式求解即可【解答】解：乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)=（9+15+18+24+10+y）5=16.8；y=8；甲組數(shù)據(jù)可排列成：9，12，10+x，24，27所以中位數(shù)為：10+x=15，x=5故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)5（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABC200D240【分析】如圖所示，該幾何體是棱長(zhǎng)分別為4，8，10的長(zhǎng)方體砍去兩個(gè)小三棱柱得到一個(gè)四棱柱，據(jù)此即可計(jì)算出體積【解答】解：如圖所示，該幾何體是棱長(zhǎng)分別為4，8，10的長(zhǎng)方體砍去兩個(gè)小三棱柱得到一個(gè)四棱柱，由圖知V=200故選：C【點(diǎn)評(píng)】由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵6（5分）若abc，則函數(shù)f（x）=（xa）（xb）+（xb）（xc）+（xc）（xa）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（）A（a，b）和（b，c）內(nèi)B（，a）和（a，b）內(nèi)C（b，c）和（c，+）內(nèi)D（，a）和（c，+）內(nèi)【分析】由函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理可知：在區(qū)間（a，b），（b，c）內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)；又函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，即可判斷出【解答】解：abc，f（a）=（ab）（ac）0，f（b）=（bc）（ba）0，f（c）=（ca）（cb）0，由函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理可知：在區(qū)間（a，b），（b，c）內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)；又函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（a，b），（b，c）內(nèi)故選：A【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理及二次函數(shù)最多有兩個(gè)零點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵7（5分）已知圓C1：（x2）2+（y3）2=1，圓C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）A1B54C62D【分析】求出圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A，以及半徑，然后求解圓A與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出|PM|+|PN|的最小值【解答】解：如圖圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A（2，3），半徑為1，圓C2的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為3，由圖象可知當(dāng)P，M，N，三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值為圓C3與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：|AC2|31=4=4=54故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的對(duì)稱圓的方程的求法，兩個(gè)圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力8（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出S=3，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）Ak6Bk7Ck8Dk9【分析】根據(jù)程序框圖，寫出運(yùn)行結(jié)果，根據(jù)程序輸出的結(jié)果是S=3，可得判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件【解答】解：根據(jù)程序框圖，運(yùn)行結(jié)果如下： S k 第一次循環(huán) log23 3第二次循環(huán) log23log34 4第三次循環(huán) log23log34log45 5第四次循環(huán) log23log34log45log56 6第五次循環(huán) log23log34log45log56log67 7第六次循環(huán) log23log34log45log56log67log78=log28=3 8故如果輸出S=3，那么只能進(jìn)行六次循環(huán)，故判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是k7故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查程序框圖，尤其考查循環(huán)結(jié)構(gòu)對(duì)循環(huán)體每次循環(huán)需要進(jìn)行分析并找出內(nèi)在規(guī)律本題屬于基礎(chǔ)題9（5分）4cos50tan40=（）ABCD21【分析】原式第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，通分后利用同分母分式的減法法則計(jì)算，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，約分即可得到結(jié)果【解答】解：4cos50tan40=4sin40tan40=故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵10（5分）在平面上，|=|=1，=+若|，則|的取值范圍是（）A（0，B（，C（，D（，【分析】建立坐標(biāo)系，將向量條件用等式與不等式表示，利用向量模的計(jì)算公式，即可得到結(jié)論【解答】解：根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個(gè)矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），由=1，得，則|，（xa）2+y2=1，y2=1（xa）21，y21同理x21x2+y22由知，|=，|故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題二、填空題：本大題共3小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上11（5分）已知復(fù)數(shù)z=（i是虛數(shù)單位），則|z|=【分析】通過復(fù)數(shù)的分子與分母同時(shí)求模即可得到結(jié)果【解答】解：|z|=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力12（5分）已知an是等差數(shù)列，a1=1，公差d0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8=64【分析】依題意，a1=1，=a1（a1+4d），可解得d，從而利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得答案【解答】解：an是等差數(shù)列，a1，a2，a5成等比數(shù)列，=a1（a1+4d），又a1=1，d22d=0，公差d0，d=2其前8項(xiàng)和S8=8a1+d=8+56=64故答案為：64【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題13（5分）從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是590（用數(shù)字作答）【分析】不同的組隊(duì)方案：選5名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，要求其中骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人，方法共有6類，他們分別是：3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生；1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，在每一類中都用分步計(jì)數(shù)原理解答【解答】解：直接法：3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C33C41C51=20種，1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C31C43C51=60種，1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生，有C31C41C53=120種，2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C32C42C51=90種，1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有C31C42C52=180種，2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有C32C41C52=120種，共計(jì)20+60+120+90+180+120=590種間接法：+1=590故答案為：590【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，解答關(guān)鍵是利用直接法：先分類后分步14，15，16三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分：14（5分）如圖，在ABC中，C=90，A=60，AB=20，過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為5【分析】利用直角ABC的邊角關(guān)系即可得出BC，利用弦切角定理可得BCD=A=60利用直角BCD的邊角關(guān)系即可得出CD，BD再利用切割線定理可得CD2=DEDB，即可得出DE【解答】解：在ABC中，C=90，A=60，AB=20，BC=ABsin60=CD是此圓的切線，BCD=A=60在RtBCD中，CD=BCcos60=，BD=BCsin60=15由切割線定理可得CD2=DEDB，解得DE=5故答案為5【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系、弦切角定理、切割線定理是解題的關(guān)鍵15（5分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系若極坐標(biāo)方程為cos=4的直線與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=16【分析】先將直線極坐標(biāo)方程cos=4化成直角坐標(biāo)方程，再代入曲線（t為參數(shù)）中得A，B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出|AB|【解答】解：將直線極坐標(biāo)方程cos=4化成直角坐標(biāo)方程為x=4，代入曲線（t為參數(shù)）中得A，B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（4，8），（4，8），則|AB|=16故答案為：16【點(diǎn)評(píng)】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程間的轉(zhuǎn)化，兩點(diǎn)間的距離公式，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力16若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|+|x+3|a無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，8【分析】利用絕對(duì)值的意義求得|x5|+|x+3|最小值為8，由此可得實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：由于|x5|+|x+3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到5和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，其最小值為8，再由關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|+|x+3|a無解，可得a8，故答案為：（，8【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，求得|x5|+|x+3|最小值為8，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（13分）設(shè)f（x）=a（x5）2+6lnx，其中aR，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）（1）確定a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值【分析】（1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)f（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，把函數(shù)的定義域分段，判斷導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求出極值點(diǎn)，把極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得函數(shù)的極值【解答】解：（1）因f（x）=a（x5）2+6lnx，故f（x）=2a（x5）+，（x0），令x=1，得f（1）=16a，f（1）=68a，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為y16a=（68a）（x1），由切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）616a=8a6，a=（2）由（I）得f（x）=（x5）2+6lnx，（x0），f（x）=（x5）+=，令f（x）=0，得x=2或x=3，當(dāng)0x2或x3時(shí)，f（x）0，故f（x）在（0，2），（3，+）上為增函數(shù)，當(dāng)2x3時(shí)，f（x）0，故f（x）在（2，3）上為減函數(shù)，故f（x）在x=2時(shí)取得極大值f（2）=+6ln2，在x=3時(shí)取得極小值f（3）=2+6ln3【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值及其幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于中檔題18（13分）某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)（1）求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；（2）求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額x的分布列與期望E（x）【分析】（1）從7個(gè)小球中取3的取法為，若取一個(gè)紅球，則說明第一次取到一紅2白，根據(jù)組合知識(shí)可求取球的種數(shù)，然后代入古典概率計(jì)算公式可求（2）先判斷隨機(jī)變量X的所有可能取值為200，50，10，0根據(jù)題意求出隨機(jī)變量的各個(gè)取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）設(shè)Ai表示摸到i個(gè)紅球，Bi表示摸到i個(gè)藍(lán)球，則Ai與Bi相互獨(dú)立（i=0，1，2，3）P（A1）=（2）X的所有可能取值為0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）=P（X=10）=P（A2）P（B1）=P（X=0）=1=X的分布列為x01050200P EX=4元【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型及計(jì)算公式，互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列及期望值的求解，考查了運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力19（13分）如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AFPB（1）求PA的長(zhǎng)；（2）求二面角BAFD的正弦值【分析】（I）連接BD交AC于點(diǎn)O，等腰三角形BCD中利用“三線合一”證出ACBD，因此分別以O(shè)B、OC分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示結(jié)合題意算出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（0，3，z），根據(jù)F為PC邊的中點(diǎn)且AFPB，算出z=2，從而得到=（0，0，2），可得PA的長(zhǎng)為2；（II）由（I）的計(jì)算，得=（，3，0），=（，3，0），=（0，2，）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出=（3，2）和=（3，2）分別為平面FAD、平面FAB的法向量，利用空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可算出二面角BAFD的正弦值【解答】解：（I）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)OBC=CD，AC平分角BCD，ACBD以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線分別為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=ACOC=3又OD=CDsin=，可得A（0，3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0）由于PA底面ABCD，可設(shè)P（0，3，z）F為PC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)（0，1，），由此可得=（0，2，），=（，3，z），且AFPB，=6=0，解之得z=2（舍負(fù)）因此，=（0，0，2），可得PA的長(zhǎng)為2；（II）由（I）知=（，3，0），=（，3，0），=（0，2，），設(shè)平面FAD的法向量為=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量為=（x2，y2，z2），=0且=0，取y1=得=（3，2），同理，由=0且=0，解出=（3，2），向量、的夾角余弦值為cos，=因此，二面角BAFD的正弦值等于=【點(diǎn)評(píng)】本題在三棱錐中求線段PA的長(zhǎng)度，并求平面與平面所成角的正弦值著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題20（12分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2+b2+ab=c2（1）求C；（2）設(shè)cosAcosB=，=，求tan的值【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；（2）已知第二個(gè)等式分子兩項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，由A+B的度數(shù)求出sin（A+B）的值，進(jìn)而求出cos（A+B）的值，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos（A+B），將cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，將各自的值代入得到tan的方程，求出方程的解即可得到tan的值【解答】解：（1）a2+b2+ab=c2，即a2+b2c2=ab，由余弦定理得：cosC=，又C為三角形的內(nèi)角，則C=；（2）由題意=，（cosAtansinA）（cosBtansinB）=，即tan2sinAsinBtan（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2sinAsinBtansin（A+B）+cosAcosB=，C=，A+B=，cosAcosB=，sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosBsinAsinB=sinAsinB=，即sinAsinB=，tan2tan+=，即tan25tan+4=0，解得：tan=1或tan=4【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵21（12分）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A兩點(diǎn)，|AA|=4（）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P，過P、P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外若PQPQ，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（）利用點(diǎn)A（c，2）在橢圓上，結(jié)合橢圓的離心率，求出幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)出圓Q的圓心坐標(biāo)及半徑，由PQPQ得到P的坐標(biāo)，寫出圓的方程后和橢圓聯(lián)立，化為關(guān)于x的二次方程后由判別式等于0得到關(guān)于t與r的方程，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得到關(guān)于t與r的另一方程，聯(lián)立可求出t與r的值，經(jīng)驗(yàn)證滿足橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外，結(jié)合對(duì)稱性即可求得圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程【解答】解：（）由題意知點(diǎn)A（c，2）在橢圓上，則，即離心率，聯(lián)立得：，所以b2=8把b2=8代入得，a2=16橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（）設(shè)Q（t，0），圓Q的半徑為r，則圓Q的方程為（xt）2+y2=r2，不妨取P為第一象限的點(diǎn)，因?yàn)镻QPQ，則P（）（t0）聯(lián)立，得x24tx+2t2+162r2=0由=（4t）24（2t2+162r2）=0，得t2+r2=8又P（）在橢圓上，所以整理得，代入t2+r2=8，得解得：所以，此時(shí)滿足橢圓上的其余點(diǎn)