2020高考數(shù)學（理）模擬卷含答案解析（1）

2020高考數(shù)學（理）模擬卷（1）（本試卷滿分150分，考試用時120分鐘）第I卷（選擇題)一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，集合，則（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】求出集合，根據(jù)交集定義計算【詳解】集合，故選：B【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題2設復數(shù)滿足，則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】對于復數(shù)除法計算，通過分母實數(shù)化計算的值，再求的值.【詳解】因為，所以.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的計算以及共軛復數(shù)的概念，難度較易.分式型復數(shù)計算，常用的方法是分母實數(shù)化.3命題“，”的否定是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】 根據(jù)全稱命題與特稱命題的關系，可知命題“”的否定為“”，故選D.4若，則（ ）ABCD【答案】A【解析】故選點睛：三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則（1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見的有“切化弦”；（3）三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等.5設向量，滿足，則( )A2BCD【答案】B【解析】【分析】由題意結合向量的運算法則求解其模即可.【詳解】由題意結合向量的運算法則可知：.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查向量的運算法則，向量的模的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.6已知數(shù)列為等比數(shù)列，為等差數(shù)列的前項和，且， ，則（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，求得，再利用等差數(shù)列的前n項和公式，即可求解的值，得到答案【詳解】由題意，等比數(shù)列為等比數(shù)列，滿足， 根據(jù)等比數(shù)列的性質，可得，可得，所以，則，故選A【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質，以及等差數(shù)列的前n項和公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質和等差數(shù)列的前n項和公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題7在的二項展開式中，的系數(shù)為（ ）ABCD【答案】C【解析】因為,所以容易得C正確.8某長方體被一個平面所截，得到幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為（ ）A16BCD【答案】D【解析】【分析】由題可得該幾何體為長方體被與底面成一定角度的平面截取后的幾何體.畫出圖像逐個面求解即可.【詳解】畫出該幾何體的主觀圖,由三視圖知,.故,.故表面積 故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求幾何體的表面積問題,需要根據(jù)三視圖畫出主觀圖進行分析,屬于中等題型.9將甲、乙等6位同學平均分成正方，反方兩組舉行辯論賽，則甲、乙被分在不同組中的概率為( )ABCD【答案】C【解析】【分析】由題意結合排列組合公式和古典概型計算公式確定滿足題意的概率值即可.【詳解】由題意可知，甲乙被分在不同組的分組組數(shù)為：，所有的分組組數(shù)為：，結合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值為：.本題選擇C選項.【點睛】有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.10已知函數(shù)是一個求余數(shù)函數(shù)，表示除以的余數(shù)，例如.如圖是某個算法的程序框圖，若輸入的值為，則輸出的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)題意，大于的約數(shù)有：共個，即可得解.【詳解】模擬執(zhí)行程序框圖，可得：，滿足條件，；滿足條件，；滿足條件，；滿足條件，；，可得程序框圖的功能是統(tǒng)計大于的約數(shù)的個數(shù)，由于約數(shù)有：共個，故故選：C【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖，依次正確寫出每次循環(huán)得到的的值是解題的關鍵，屬于基礎題11已知函數(shù)，.若，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】先計算的值域為，再計算在上的值域為，根據(jù)題意得到，計算得到答案.【詳解】，所以的值域為.因為，所以在上的值域為依題意得，則解得.故選：【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)值域求參數(shù)范圍，意在考查學生對于函數(shù)知識的綜合應用能力.12已知是拋物線的焦點，拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，若為等邊三角形，則的離心率（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標，準線方程，然后求出拋物線的準線與雙曲線的漸近線的交點坐標，利用三角形是等邊三角形求出，的關系式，結合離心率公式，計算可得所求值【詳解】解：拋物線的焦點坐標為，準線方程為：，聯(lián)立拋物線的準線方程與雙曲線的漸近線方程，解得，可得，為等邊三角形，可得，即有，則故選：D【點睛】本題考查拋物線的簡單性質，雙曲線方程和性質，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力，屬于中檔題第II卷（非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。13設曲線y=x4+ax+3在x=1處的切線方程是y=x+b，則a=_；【答案】-3 【解析】因為y=4x3+a，所以由導數(shù)的幾何意義及題設條件可得切線的斜率k=4+a=1，解之得a=-3，應填答案-3 。14中國光谷（武漢）某科技公司生產(chǎn)一批同型號的光纖通訊儀器，每臺儀器的某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則該部件正常工作.由大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示：三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常工作相互獨立.現(xiàn)從這批儀器中隨機抽取1000臺檢測該部件的工作情況（各部件能否正常工作相互獨立），那么這1000臺儀器中該部件的使用壽命超過10000小時的平均值為_臺.【答案】375【解析】【分析】先求得元件和并聯(lián)電路正常工作的概率，乘以元件正常工作的概率，由此求得部件正常工作超過小時的概率.利用二項分布均值計算計算公式，計算出臺儀器中該部件的使用壽命超過小時的平均值.【詳解】由正態(tài)分布可知，每個元件正常工作超過10000小時的概率為，則部件正常工作超過10000小時的概率為，又1000臺儀器的該部件工作服從二項分布，所以平均值為臺.故答案為：375【點睛】本小題主要考查相互獨立事件概率計算，考查二項分布的識別和二項分布期望的計算，屬于基礎題.15在三棱錐中，兩兩垂直，三棱錐的側面積為13，則該三棱錐外接球的表面積為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)側面積計算得到，再計算半徑為，代入表面積公式得到答案.【詳解】三棱錐的側面積為，所以故該三棱錐外接球的半徑為：，球的表面積為.故答案為：【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.16已知實數(shù)x、y滿足條件（i為虛數(shù)單位），則的最小值是_【答案】4【解析】【分析】本題本質是線性規(guī)劃問題，先作出不等式組對應的區(qū)域，再利用復數(shù)的幾何意義將的最大值和最小值轉化成定點與區(qū)域中的點的距離最大與最小的問題，利用圖形求解【詳解】如圖，作出對應的區(qū)域，由于zx+yi（i為虛數(shù)單位），所以表示點（x，y）與D（7，3）兩點之間的距離，由圖象可知的最小值為D到A（3，3）的距離，即，故答案為：4【點睛】本題考查了復數(shù)的模的幾何意義，考查了一定點與區(qū)域中的一動點距離最值的問題，利用線性規(guī)劃的知識進行求解是解決本題的關鍵三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必做題,每個考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17在中，角，、的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，且，求的面積.【答案】(1) . (2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，計算得到答案.（2）化簡得到，即，再計算得到，代入面積公式得到答案.【詳解】（1），.，.（2），即，即.，.，.【點睛】本題考查了正弦定理，面積公式，意在考查學生的計算能力.18如圖，在直四棱柱中，底面為梯形，點在線段上，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析 (2) 【解析】【分析】（1）連接，證明得到四邊形為平行四邊形，故得到證明.（2）作于，以點為坐標原點，分別以，所在直線為軸，軸，軸，計算平面的法向量為，平面的法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）證明：連接，因為底面為梯形，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面，平面，所以平面.（2）作于，以點為坐標原點，分別以，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，.設平面的法向量為，則令，得.設平面的法向量為，則令，得.所以因為二面角為銳角，所以其余弦值為.【點睛】本題考查了線面平行，二面角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.192019年6月，國內的運營牌照開始發(fā)放.從到，我們國家的移動通信業(yè)務用了不到20年的時間，完成了技術上的飛躍，躋身世界先進水平.為了解高校學生對的消費意愿，2019年8月，從某地在校大學生中隨機抽取了1000人進行調查，樣本中各類用戶分布情況如下：用戶分類預計升級到的時段人數(shù)早期體驗用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至202l年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學生升級時間的早晚與大學生愿意為套餐支付更多的費用作比較，可得出下圖的關系（例如早期體驗用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗用戶的）.（1）從該地高校大學生中隨機抽取1人，估計該學生愿意在2021年或2021年之前升級到的概率；（2）從樣本的早期體驗用戶和中期跟隨用戶中各隨機抽取1人，以表示這2人中愿意為升級多支付10元或10元以上的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐，能否認為樣本中早期體驗用戶的人數(shù)有變化？說明理由.【答案】（1）（2）詳見解析（3）事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認為早期體驗用戶沒有發(fā)生變化，詳見解析【解析】【分析】（1）由從高校大學生中隨機抽取1人，該學生在2021年或2021年之前升級到，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解；（2）由題意的所有可能值為，利用相互獨立事件的概率計算公式，分別求得相應的概率，得到隨機變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）設事件為“從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐”，得到七概率為，即可得到結論.【詳解】（1）由題意可知，從高校大學生中隨機抽取1人，該學生在2021年或2021年之前升級到的概率估計為樣本中早期體驗用戶和中期跟隨用戶的頻率，即.（2）由題意的所有可能值為，記事件為“從早期體驗用戶中隨機抽取1人，該學生愿意為升級多支付10元或10元以上”，事件為“從中期跟隨用戶中隨機抽取1人，該學生愿意為升級多支付10元或10元以上”，由題意可知，事件，相互獨立，且，所以，所以的分布列為0120.180.490.33故的數(shù)學期望.（3）設事件為“從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐”，那么.回答一：事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認為早期體驗用戶沒有發(fā)生變化.回答二：事件發(fā)生概率小，所以可以認為早期體驗用戶人數(shù)增加.【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列，數(shù)學期望的求解及應用，對于求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可能取值，計算得出概率，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數(shù)學期望公式計算出數(shù)學期望，其中列出離散型隨機變量概率分布列及計算數(shù)學期望是理科高考數(shù)學必考問題.20已知直線與拋物線：交于，兩點，為弦的中點，過作的垂線交軸于點.（1）求點的坐標；（2）當弦最長時，求直線的方程.【答案】(1) . (2) 或.【解析】【分析】（1）設，代入拋物線相減得到，再根據(jù)計算得到答案.（2）直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到，代入計算得到得到答案.【詳解】（1）設，則兩式相減得.因為，所以直線的斜率一定存在，設直線的斜率為，所以.因為，所以，解得，所以點的坐標為.（2）由（1）知，直線的斜率一定存在，且不為0，設直線的斜率為，則，即，所以直線的方程為.聯(lián)立得，則，.由，可得，所以.設，令，可知，此時，即，所以當弦最長時，直線的方程為或.【點睛】本題考查了直線和拋物線的位置關系，弦長，意在考查學生的計算能力和轉化能力.21已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值和的單調區(qū)間；（2）若對任意的，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1），的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）3.【解析】【分析】（1）求導得到，根據(jù)切線方程計算得到，代入導函數(shù)得到函數(shù)的單調區(qū)間.（2）討論，兩種情況，變換得到，設，求函數(shù)的最小值得到答案.【詳解】（1），由切線方程，知，解得，.故，由，得；由，得.所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）當時，恒成立，則.當時，恒成立等價于對恒成立.令，.令，則對恒成立，所以在上單調遞增.又，所以，.當時，；當時，.所以，又，則，故，整數(shù)的最