談“十字相乘法”教學(xué).docx

談“十字相乘法”教學(xué)亳州市譙城區(qū)魏崗中心中學(xué) 唐仿明“十字相乘法”是初中代數(shù)第二冊(cè)第8.4節(jié)的內(nèi)容，是學(xué)生應(yīng)熟練掌握的因式分解的一種重要方法，具有分解因式簡(jiǎn)捷明快的特點(diǎn)。但是，因?yàn)榉纸鈺r(shí)要經(jīng)過多次嘗試，有的二次三項(xiàng)式在有理數(shù)范圍內(nèi)還找不到分解方法，也是課本介紹的四種因式分解方法中的難點(diǎn)，靈活性和技巧性都很強(qiáng)，學(xué)生好接受，難掌握，看著容易做著難?，F(xiàn)在我結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)這節(jié)教材的教學(xué)談幾點(diǎn)看法，請(qǐng)同行們指正。一、 重視分解原理的教學(xué)，開始就提出十字相乘思想對(duì)于x2+px+q型的二次三項(xiàng)式的“十字相乘法”，教材以具體的乘法x+2x+3=x2+5x+6為例，并倒置為x2+5x+6=x+2x+3經(jīng)分析系數(shù)關(guān)系，得公式x2+a+bx+ab=x+ax+b。課本中對(duì)這類二次三項(xiàng)式因式分解，不借助十字交叉線，而只按公式進(jìn)行。我在處理這部分教材時(shí)，在這里就提出十字相乘思想，引導(dǎo)學(xué)生觀察公式特點(diǎn)，得出：把二次項(xiàng)系數(shù)1分解成11，把常數(shù)項(xiàng)q分解成ab，并把1、1、a、b按11ab排列，按斜線交叉相乘再相加，如果有1b+1a=a+b=p，則x2+px+q=x+ax+b，并用這種方法講解例題。這樣做可以把q=ab，同時(shí)a+b=p的觀察、嘗試、選擇的思考過程直觀化、圖示化，借助十字交叉線進(jìn)行，減小了難度，也為后面的內(nèi)容打好了基礎(chǔ)。二、 處理好知識(shí)的連接。課本在講完x2+px+q型二次三項(xiàng)式的十字相乘法因式分解后，直接過渡到ax2+bx+c型的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，跳躍性大，學(xué)生不易接受，我在教學(xué)時(shí)，先通過輔助例題進(jìn)行。補(bǔ)例：用十字相乘法分解因式：4x2+4x-15 3x2+11x+10解：4x2+4x-15 =2x2+22x-15 22-35=2x-32x+53x2+11x+10 =133x2+113x+30 1325=133x+53x+6=x+23x+5把它們通過變形，歸結(jié)為x2+px+q的形式，再用十字相乘法分解。又從3x2+11x+10=x+23x+5可以看出，二次項(xiàng)系數(shù)3=13，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)10=25，當(dāng)把1、3、2、5也寫成1325后，發(fā)現(xiàn)有15+23正好等于一次項(xiàng)系數(shù)11，從而進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生如何把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c用十字相乘法分解因式。通過這些過渡，使學(xué)生感到從x2+px+q型二次三項(xiàng)式的分解到ax2+bx+c 型二次三項(xiàng)式的分解是一步接一步，沒有跳躍，再加上學(xué)生在前面已有了借助十字交叉線進(jìn)行因式分解的思想和方法，使用十字相乘法分解ax2+bx+c的教學(xué)更是順理成章，水到渠成，大大減小了難度。三、 緊扣大綱，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)根據(jù)大綱，對(duì)于x2+px+q型二次三項(xiàng)式適用十字相乘法分解因式的題目，其常數(shù)項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值不易太大，如果絕對(duì)值過大，計(jì)算起來較繁，沒有多大必要，對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)不是1的適用十字相乘法因式分解的題目，教學(xué)要求應(yīng)控制在二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)的積的絕對(duì)值不大于60的整系數(shù)多項(xiàng)式，否則，難度過大，學(xué)生不易掌握。教學(xué)時(shí)應(yīng)緊扣大綱，不宜超綱，加大難度，加重學(xué)生負(fù)擔(dān)。對(duì)于用十字相乘法分解因式的重點(diǎn)是：運(yùn)用公式x2+a+bx+ab=x+ax+b和11ab分解x2+px+q 二次三項(xiàng)式與運(yùn)用a1a2c1c2 來分解ax2+bx+c 型二次三項(xiàng)式，難點(diǎn)是如何經(jīng)過多次嘗試，借助十字交叉線確定分解方法進(jìn)行因式分解。教學(xué)中應(yīng)抓住重點(diǎn)，掌握基本方法，設(shè)計(jì)一些啟發(fā)性對(duì)比訓(xùn)練，以突破難點(diǎn)。四、 精心設(shè)計(jì)練習(xí)，及時(shí)鞏固及時(shí)進(jìn)行課堂練習(xí)是使學(xué)生所學(xué)知識(shí)得到鞏固的行之有效的方法。設(shè)計(jì)時(shí)不僅要注意形式，而且要注意練習(xí)的層次與反饋，我認(rèn)為在這節(jié)的教學(xué)中應(yīng)著重從以下幾點(diǎn)設(shè)計(jì)練習(xí)。1、基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)常練，可使學(xué)生熟練基礎(chǔ)，另外在知識(shí)上也起到承前啟后的作用。例如為熟練進(jìn)行十字相乘的嘗試，可設(shè)計(jì)這樣的練習(xí)：把下列各數(shù)分解成兩個(gè)有理因數(shù)的積，要求把所有可能情況都列舉出來： 2； -7； 18； -36。填括號(hào)：（每題填三組）x2+_x+8=_； x2+_x-8=_2、難點(diǎn)知識(shí)對(duì)比練。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)a和常數(shù)項(xiàng)c 有時(shí)有多種調(diào)試方法，學(xué)生不易掌握，在教學(xué)時(shí)宜借助十字交叉線進(jìn)行對(duì)比練習(xí)。讓學(xué)生在對(duì)比中學(xué)會(huì)分析，在對(duì)比中學(xué)會(huì)判斷，在對(duì)比中掌握方法，達(dá)到熟能生巧的目的。如可設(shè)計(jì)如下類練習(xí)：用十字相乘法分解3x2+11x+6 調(diào)試時(shí)有多種可能： 1316； 1361； 1323； 1332； 13-1-6；但經(jīng)過分析、判斷、比較、選擇，只有符合要求。3、重點(diǎn)知識(shí)反復(fù)練。借助十字交叉線對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，是學(xué)生必須掌握的重點(diǎn)，要反復(fù)練習(xí)。設(shè)計(jì)練習(xí)要有一定的針對(duì)性，要從不同角度、不通過層次強(qiáng)化此重點(diǎn)，使學(xué)生逐步掌握。如可設(shè)計(jì)下面的練習(xí)：填空：左邊填常數(shù)項(xiàng)，右邊填一次因式x2-5x+_-_-_-_=_把下列各項(xiàng)事式用十字相乘法分解因式：（2分鐘完成為熟練，3.5分鐘完成為較熟練，5分鐘以上完成為不熟練） x2+37x+36=_； x2-20x+36=_； x2+35x-36=_； x2-16x-36=_； x2+9x-36=_； x2-36=_；五、 以根的判別式判斷分解的可能性，幫助教學(xué)。通常對(duì)于整系數(shù)二次三項(xiàng)式用十字相乘法在有理數(shù)范圍（特別是整數(shù)范圍）內(nèi)分解時(shí)才顯得簡(jiǎn)捷明快，若是必須分解成無理系數(shù)，則麻煩而不實(shí)用。根據(jù)一元二次方程中用求根公式進(jìn)行因式分解的公式ax2+bx+c=ax-x1x-x2，（其中x1、2=-bb2-4ac2a）可知，方程ax2+bx+c=0的根的判別式=b2-4ac 的值如果能是一個(gè)有理數(shù)的平方（最好是一個(gè)整數(shù)的平方），則x1、x2 就都是有理數(shù)，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c就可以在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式。這些知識(shí)如果這時(shí)提出來，是屬超綱、脫節(jié)，是不符合教學(xué)規(guī)律的，但教師在教學(xué)這節(jié)內(nèi)容時(shí)，可以在頭腦中運(yùn)用這些知識(shí)來確定分解的可能性，做到心中有數(shù)，這樣可起到調(diào)控教學(xué)的作用。如分解因式：6x2+13x+6 ； 4x2+7x+2 。在解 時(shí)，由=132-466=169-144=25=53 可知，它可以用十字相乘法在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，經(jīng)調(diào)試得2332，所以6x2+13x+6=2x+33x+2 ；在解時(shí)，由=72-442=49-32=17 可知，它不宜用十字相乘法在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式。六、 推廣引伸，提出雙十字相乘思想。因?yàn)槌踔写鷶?shù)第三冊(cè)的二元二次方程組的解法中，常需要將二元二次方程通過降次轉(zhuǎn)化為二個(gè)二元一次方程，這就需要對(duì)ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 型多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。這類因式分解有時(shí)不宜進(jìn)行，而借助十字相乘法，則變得比較簡(jiǎn)便。教師在講解時(shí)可作為選學(xué)內(nèi)容只介紹方法，而不必說明原理。對(duì)于關(guān)于x 的多項(xiàng)式Hx=Fx,y=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=ax2+by+dx+cy2+ey+f ，關(guān)于x 的一元二次方程Hx=0 的有實(shí)根的必要條件是=by+d2-4acy2+ey+f=b2-4acy2+2bd-2aey+d2-4af 是關(guān)于y 的完全平方式，則有=2bd-2ae2-4b2-4acd2-4af=0 ，即-164acf+bde-ae2-cd2-fb2=0 ，因?yàn)閍0 ，所以24acf+bde-ae2-cd2-fb2=2abdbd2cee2f=0 ，特別地當(dāng)2abdbd2cee2f=0，且b2-4ac 是一個(gè)非零有理數(shù)的平方時(shí)，可以用“十字星乘法”把Fx,y 在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式。分解時(shí)，先把a(bǔ)x2+bxy+cy2 分解為a1a2c1c2 ，使a=a1a2 ，c=c1c2 且a1c2+a2c1=b ；再把cy2+ey+f 分解為c1c2f1f2 ，使c=c1c2 ，f=f1f2 且c1f2+c2f1=e ，最后看ax2+dx+f 是否符合a1a2f1f2 使a1f2+a2f1=d ，來確定分解方法，如果符合，則Fx,y=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2 。也可以把這個(gè)調(diào)試過程寫在一起，用表示，稱為“雙十字相乘法”，來分解Fx,y 這樣的二次六項(xiàng)式。如：例：把多項(xiàng)式x2+3xy+2y2+4x+5y+3 分解因式。