第11章二項式定理.doc

學(xué)案62二項式定理導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題自主梳理1二項式定理的有關(guān)概念(1)二項式定理：(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn (nN*)，這個公式叫做_二項展開式：右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式項數(shù)：二項展開式中共有_項二項式系數(shù)：在二項展開式中各項的系數(shù)_(r_)叫做二項式系數(shù)通項：在二項展開式中的_叫做二項展開式的通項，用Tr1表示，即通項為展開式的第r1項：Tr1_.2二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)CC；(2)CCC；(3)當(dāng)r時，CC；(4)當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項二項式系數(shù)_取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項二項式系數(shù)_、_相等，且同時取得最大值；(5)各二項式系數(shù)和：CCCC_，CCCCCC_.自我檢測1(2011福建改編)(12x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于_2(2011陜西改編)(4x2x)6(xR)展開式中的常數(shù)項是_3(2010四川)6的展開式中的第四項是_4(2011山東)若(x)6展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為_5已知n為正偶數(shù)，且n的展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，則第4項的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)探究點一二項展開式及通項公式的應(yīng)用例1已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項(1)求n；(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項變式遷移1(2010湖北)在(xy)20的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_項探究點二二項式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用例2(1)求證：C2C3CnCn2n1；(2)求SCCC除以9的余數(shù)變式遷移2(2010上海盧灣區(qū)質(zhì)量調(diào)研)求CCCC的值探究點三求系數(shù)最大項例3已知f(x)(3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項變式遷移3(1)在(xy)n的展開式中，若第七項系數(shù)最大，則n的值可能等于_(2)已知n，()若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)的最大項的系數(shù)；()若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項1二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的，如(abx)n (a，bR)的展開式中，第r1項的二項式系數(shù)是C，而第r1項的系數(shù)為Canrbr.2通項公式主要用于求二項式的指數(shù)，求滿足條件的項或系數(shù)，求展開式的某一項或系數(shù)在運用公式時要注意：Canrbr是第r1項，而不是第r項3在(ab)n的展開式中，令ab1，得CCC2n；令a1，b1，得CCCC0，CCCCCC2n1，這種由一般到特殊的方法是“賦值法”4二項式系數(shù)的性質(zhì)有：(1)在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即CC，CC，CC，CC.(2)如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大5二項式定理的一個重要作用是近似計算，當(dāng)n不是很大，|x|比較小時，(1x)n1nx.利用二項式定理還可以證明整除性問題或求余數(shù)問題，證題時要注意變形的技巧(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010山東實驗中學(xué)模擬)在24的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有_項2設(shè)(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為_3在n的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是_4(2010煙臺高三一模)如果n的展開式中二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是_5在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開式中，含x3的項的系數(shù)是_6(2011湖北)(x)18的展開式中含x15的項的系數(shù)為_(結(jié)果用數(shù)值表示)7(2010濟(jì)南高三一模)(x)6的展開式中的常數(shù)項為_8.10的展開式中的常數(shù)項是_二、解答題(共42分)9(14分)(1)設(shè)(3x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4.求a0a1a2a3a4；求a0a2a4；求a1a2a3a4；(2)求證：32n28n9能被64整除(nN*)10(14分)利用二項式定理證明對一切nN*，都有2n3.11(14分)已知n (nN*)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是101.(1)求展開式中各項系數(shù)的和；(2)求展開式中含x的項；(3)求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項學(xué)案62二項式定理答案自主梳理1(1)二項式定理n1C0,1,2，nCanrbrCanrbr2.(3)CC(4)CnCnCn(5)2n2n1自我檢測140解析(12x)5的第r1項為Tr1C(2x)r2rCxr，令r2，得x2的系數(shù)為22C40.215解析設(shè)展開式的常數(shù)項是第r1項，則Tr1C(4x)r(2x)6r，即Tr1C(1)6r22rx2rx6xC(1)6r23rx6x，3rx6x0恒成立r2，T3C(1)415.344解析(x)6展開式的通項為Tr1Cx6r(1)r()rx2rCx63r(1)r()r.令63r0，得r2.故C()260，解得a4.5解析n為正偶數(shù)，且第4項二項式系數(shù)最大，故展開式共7項，n6，第4項系數(shù)為C3.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)通項Tr1Canrbr是(ab)n的展開式的第r1項，而不是第r項；二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念，二項式系數(shù)是指C，r0,1,2，n，與a，b的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分(2)求二項展開式中的有理項，一般是根據(jù)通項公式所得到的項，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項解這種類型的問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解若求二項展開式中的整式項，則其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項的方式一致解(1)通項公式為Tr1CxrxCrx，因為第6項為常數(shù)項，所以r5時，有0，即n10.(2)令2，得r(n6)(106)2，所求的系數(shù)為C2.(3)根據(jù)通項公式，由題意得令k (kZ)，則102r3k，即r5k，rN，k應(yīng)為偶數(shù)k可取2,0，2，即r可取2,5,8.所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為C2x2，C5，C8x2.變式遷移16解析展開式的通項Tr1Cx20r(y)rCx20ryr3.由0r20，Z得r0,4,8,12,16,20.所以系數(shù)為有理數(shù)的項共有6項例2解題導(dǎo)引(1)在有關(guān)組合數(shù)的求和問題中，經(jīng)常用到形如CCC，CC，kCnC等式子的變形技巧；(2)利用二項式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項式求余數(shù)問題時，應(yīng)明確被除式f(x)、除式g(x)g(x)0、商式q(x)與余式的關(guān)系及余式的范圍(1)證明方法一設(shè)SC2C3C(n1)CnC，SnC(n1)C(n2)C2CCnC(n1)C(n2)C2CC，得2Sn(CCCCC)n2n.Sn2n1.原式得證方法二CC，kCnC.左邊nCnCnCn(CCC)n2n1右邊(2)解SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)29(C98C97C1)7，顯然上式括號內(nèi)的數(shù)是正整數(shù)故S被9除的余數(shù)為7.變式遷移2解(1x)2nCCxCx2Cx3Cx2n.令x1得CCCC22n；再令x1得CCC(1)rCCC0.兩式相加，再用C1，得CCC122n11.例3解題導(dǎo)引(1)求二項式系數(shù)最大的項：如果n是偶數(shù)，則中間一項第項的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，則中間兩項第項與第項的二項式系數(shù)相等且最大；(2)求展開式系數(shù)最大的項：如求(abx)n(a，bR)的展開式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，An1，且第r1項系數(shù)最大，應(yīng)用解出r來，即得系數(shù)最大的項解(1)令x1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍)，或2n32，n5.由于n5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是T3C3(3x2)290x6，T4C2(3x2)3270x.(2)展開式的通項公式為Tr1C3rx(52r)假設(shè)Tr1項系數(shù)最大，則有r，rN，r4.故展開式中系數(shù)最大的項為T5405x.變式遷移311,12,13(1)解析分三種情況：若僅T7系數(shù)最大，則共有13項，n12；若T7與T6系數(shù)相等且最大，則共有12項，n11；若T7與T8系數(shù)相等且最大，則共有14項，n13，所以n的值可能等于11,12,13.(2)解()CC2C，n221n980.n7或n14，當(dāng)n7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5.T4的系數(shù)為C423，T5的系數(shù)為C32470，當(dāng)n14時，展開式中二項式系數(shù)的最大的項是T8.T8的系數(shù)為C7273 432.()CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)設(shè)Tk1項的系數(shù)最大，1212(14x)12，9.4k10.4.k10.展開式中系數(shù)最大的項為T11，T1112C410x1016 896x10.課后練習(xí)區(qū)152.23.74.215121解析(1x)5中x3的系數(shù)為C10，(1x)6中x3的系數(shù)為C20，(1x)7中x3的系數(shù)為C35，(1x)8中x3的系數(shù)為C56.所以原式中x3的系數(shù)為10203556121.617解析二項展開式的通項為Tr1Cx18r()r(1)r()rCx18.令1815，解得r2.含x15的項的系數(shù)為(1)2()2C17.7解析Tr1Cx6rrxrrCx62r，令62r0，得r3.常數(shù)項為T313C.84 351解析1010C(1x)10C(1x)9C(1x)8C(1x)7C(1x)6，從第五項C(1x)6起，后面各項不再出現(xiàn)常數(shù)項，前四項的常數(shù)項分別是CC，CC，CC，CC.故原三項展開式中常數(shù)項為CCCCCCCC4 351.9解(1)令x1，得a0a1a2a3a4(31)416.(3分)令x1得，a0a1a2a3a4(31)4256，而由(1)知a0a1a2a3a4(31)416，兩式相加，得a0a2a4136.(6分)令x0得a0(01)41，得a1a2a3a4a0a1a2a3a4a016115.(9分)(2)證明32n28n93232n8n999n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C8C1)8n9(12分)9(8nC8n1C82)98n98n9982(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n，顯然括號內(nèi)是正整數(shù)，原式能被64整除(14分)10證明因為nCCC2C3Cn11.(4分)所以2n2(7分)2233，(10分)僅當(dāng)n1時，n2；(12分)當(dāng)n2時，2n3.故對一切nN*，都有2n3.(14分)11解由題意知，第五項系數(shù)為C(2)4，第三項的系數(shù)為C(2)2，