變分學(xué)習(xí)題 (一).pdf

變分學(xué)習(xí)題 一 1 求函數(shù) u u t 通過兩點 0 0 與 1 1 使下列泛函達(dá)到極小 1 I u 1 0 22 2 dtuuu 2 I u 1 0 2 1 dtuu 3 I u 1 0 22 11 dtuu 2 用最小作用原理 求下列問題的運動規(guī)律 1 平面單擺運動 單擺質(zhì)量為 m 繩索長度為 l 其重量不計 2 彈簧的水平運動 由虎克定律 彈簧貯存的拉力正比于其由休止到拉伸 的位移 3 彈簧組 如下圖 的運動 3 求極小 1 I u l dxxuxu 0 2 1 M u 0 0 0 1 luulC 2 I u M u 3 2 22 1 dtuu 3 3 1 2 3 2 1 uuC 3 I u R u tdt 0 2 1 4 I u T dtCBu u u Au 0 0 ln A B C 0 是常數(shù) 4 求平面上連接兩定點 0 0 與 a b 的弧長最短的曲線 變分學(xué)習(xí)題 二 一 求弱極小 1 1 0 2 dtuu tuI 1 0 1 0 Cu 2 b a dtuuuI 2 1 1 chbbvchaavbaCvM 其中ba zrr繞 軸旋轉(zhuǎn)得到的一個旋轉(zhuǎn)曲面 z 22 yxrS 1 求上的導(dǎo)出度量 S 2 寫出測地線的方程 3 分別就constr 圓柱 zr 圓錐 寫出測地線 判斷它們 是否弱極小 變分學(xué)習(xí)題 三 1 驗證 2 0 2 1 dtuuuI 5 2 2 0 2 0 1 uuCuM 有一個雙參數(shù)族的方程解 LE 2 2 1 t tu 當(dāng) 2 1 時 Mtu 2 1 2 利用 tu確定兩個獨立的場 Jacobi 3 設(shè) b uuI 0 2 1 在上定義 寫出包含 0 1 0 bC0 0 u的臨界場 ut 并驗證它是一個強極小 4 設(shè) 2 1 22 dtutuuI 2 2 1 1 2 1 1 vvCvM 驗證 3 2 0 t tu 是一個強極小 變分學(xué)習(xí)題 四 1 給定下列 求 并求解系統(tǒng) LagrangiannHamiltoniaHamilton 1 2 kupL 0 k 2 pupL 2 2 1 3 2 1ueL u 2 對上題 1 3 寫出 方程 并試求其完全解 HamiltonJacobi 3 設(shè) 對是凸的 求證 ut putLp sup putLputH N Rp 0 其中 u x Z Rn u y j x y dy 是 u 的光滑化 1 變分學(xué)習(xí)題 八 1 設(shè) 1 p uW 0 C 求證 uuu 并且 1 1 pp uC u 0C 2 當(dāng)1n a b 時 試證 a 1 WLip a b b 1 1 1 pp WCa b 當(dāng)1p 且 1 1 1 sup p p p x y u xu yxyudx 3 設(shè)X是一個可分的Banach空間 Y是X的一個閉線性子空間 試證 Y也是 可分的 3 設(shè) 1 2 0 1 1 uW 求證 a 1 0u b u是絕對連續(xù)的 c 2 1 1 uL a e 導(dǎo)數(shù) 變分學(xué)習(xí)題 九 1 下列泛函在指定空間上是否 s wl sc 1 2 1I uu dx 1 1 uW 2 p I uua x u dx 1 p uW 1p 其中 a x u是 1 上的連續(xù)函數(shù) 2 下列方程是否可解 1 sin0 xx 2 0 0 0 1 xMxCxx 2 設(shè) N VC 并且是非正的 0 xV x 2 0 1 N xC 0 x 0 1 N xx 3 設(shè) n 是有界區(qū)域