線性代數(shù)習題解.pdf

線線性性代代數(shù)數(shù) Wind 2 2 22 ABA B 線性代數(shù)習題解1習題一 3 2 22 2 ABAABB 4 22 ABABAB 1 0101 100 ABBA 2 2 22 1010 0101 ABA B 3 2 22 0002 2 0020 ABAABB 4 22 2220 2202 ABABAB 1 4 討論下列命題是否正確 1 若 2 0 A 則0 A 2 若 2 AA 則0 A或 AE 3 若 ABAC且0 A 則 BC 1 不對 反例 0100 0000 A 但 2 00 00 A 2 不對 反例 設 10 00 A 則0 A且 AE 但 2 AA 3 不對 反例 設 10 00 A 00 02 B 00 03 C 則有 ABAC且0 A 但 BC 1 5 1 5 計算 1 11 01 n 2 10 01 00 n 3 1 2 3 4 n 1 2 3 11111112 01010101 11111213 01010101 1111111 01010101 n nn 2 線性代數(shù)習題解2習題一 2 2 2 2 3 232 232 23 4 10101021 01010102 00000000 10102133 01010203 00000000 10 01 00 3243 3242 34 12312 121 1 103346 010304 000000 121 1 1010 22 01010101 00000000 nnnnnn n nnnn n nnn n nn nn n 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 1111 2222 3333 4444 n nn nn nn nn 1 6 1 6 設方陣A滿足矩陣方程 2 20 AAE 證明A及2 AE都可逆 并求 1 A及 1 2 AE 由 2 20 AAE得 1 2 AE AE 故A可逆 且 1 1 2 AAE 由 2 20 AAE也可得 2 3 4 AEAEE或 1 2 3 4 AEAEE 故2 AE可逆 且 1 2 AE 1 3 4 AE 1 7 1 7 利用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣 1 122 212 221 2 102 213 418 3 122 236 117 4 124 115 273 5 2000 0140 0010 0009 6 3501 1200 1020 1202 線性代數(shù)習題解3習題一 1 3 3232 2123 2 13 12 1 2 9 1 2 2 32 122 12100 1020 999 122100122100 33 212 212010036210 21010 0120 999 33221001033011 221 009221001 999 r rrrr rrrr r rr rr 1 122 999 122 212 212 999 221 221 999 2 2321 31 2 12 2312 2 2 1 4 32 2 102100102100102100 213010011210001611 418001010401010401 10011221001122 001611010401 010401001611 rrrr rr r rr rrrr r 1 1021122 213401 418611 3 3212 2132 233 13 2 23 2 6 122100122100106320 236010012210012210 117001035101001531 1002716610027166 010852010852 001531001531 rrrr rrrr rrr rr 1 12227166 236852 117531 4 13 3 2112 313223 3 1 2 2 23 10016113 124100124100106120 751 115010011110011110010 222 273001035201002531 531 001 222 rr r rrrr rrrrrr 1 16113 124 751 115 222 273 531 222 線性代數(shù)習題解4習題一 5 1 23 3 4 1 4 2 1 9 1 1000000 2000100020001000 2 010001400140010001000140 001000100010001000100010 10009000100090001 0001000 9 r rr r r 1 1 000 2000 2 01400140 00100010 10009 000 9 6 1334 42 21 3 350110001020001010200010 120001001200010002200110 102000103501100001051003 120200011202000100020101 rrrr rr rr 3221 2 1020001010200010 0105100301051003 02200110002102116 0002010100020101 rrrr 342 243 13 4 5 51 22 1 2 10002401 10002401 51 010010 51 22 010010 2211 001012 00202411 22 0002010111 000100 22 rrr rrr rr r 1 2401 51 3501 10 22 1200 11 102012 22 1202 11 00 22 1 8 1 9 1 10 1 10 設 423 110 2 123 AABAB 求B 1 222 ABABAE BABAEA 12 32 3223 12 3 2 4 223100043120110010 2 110010110010011011 121001011011043120 110010100143 011011010153 001164001164 rr rr rrrr rr r AE E 線性代數(shù)習題解5習題一 求得 1 143 2153 164 AE 于是 1 143423386 2153110296 1641232129 BAEA 1 11 1 11 設 1 2 0 0 1 證明 1 2 0 0 k k k 2 設 1 AP P 證明 1kk AP P 1 2 112 1 2 22 2 23 132 11 23 2 22 1 11 11 1 2 22 000 000 000 000 000 000 kk kk kk 2 1 21111121 322112112131 1111111111kkkkkk AP P AP PP PP P P PP E PP P AA AP PP PP P P PP E PP P AAAP PP PP P P PP E PP P 1 12 1 12 計算下列行列式 1 1020 1436 0253 3110 2 xyxy yxyx xyxy 3 11 11 11 a a a 4 1111 1111 1111 1111 5 2132 3332 3112 3131 6 abacae bdcdde bfcfef 1 2332 23342142 4134 44 2 11 3 33 10201020102010201020 14360456060901030103 333 1 1 5 3 45 02530253010301500053 31100150015002030003 rrrr rrrrrrrr rrrr rr 2 123 21 31 2233 222111 2 111 2021212 0 rrr ryr rxy r xyxyxyxyxy yxyxyxyxxyyxyx xyxyxyxyxyxy xxy xyxxyxyxyxxyyxy yx yx 3 12321 31 2 11222111 11112 01021 1111001 rrrrr rr aaaa aaaaaa aaa 線性代數(shù)習題解6習題一 4 21 31 41 3 11111111 11110200 28 11110020 11110002 rr rr rr 5 1234 1 111 243 2 3 4 35 21322132132 12 33321200 0200 31121040 0040 31311003 1003 35 24370 12 i cccc rr i 6 123 21 31 111111 111111 111111 111 0201224 002 rrr rr rr abacaebce bdcddeadfbceadf bceabcdef bfcfefbce abcdefabcdefabcdef 1 13 1 13 證明下列等式 1 2 2 21 1 21 aa abab bb a b 3 2 11111 22222 33333 ab xa xbc ab xa xbc ab xa xbc 1 x2 111 222 333 abc abc abc 3 xaa axa aax x n 1 a x a n 1 1 123123 2222 22 3 222 21200 00 11 0 212121 rrrrrr aaababab ababababab babab bbbbbb 2 1111111111111 2222222222222 3333333333333 111111111111 222222222222 3333333333 ab xa xbcab xa xcab xbc ab xa xbcab xa xcab xbc ab xa xbcab xa xcab xbc aa xcb xa xcabcb xbc aa xcb xa xcabcb xbc aa xcb xa xcabcb 33 111111111111 2 222222222222 333333333333 111111111 22 222222222 33333333 001 xbc aacbacabcbbc x aacx bacabcx bbc aacbacabcbbc abcabcabc x abcabcxabc abcabcab 3 c 線性代數(shù)習題解7習題一 證法二證法二 1221 1212 11111111111111 2 22222222222222 33333333333333 111111 22 222222 333333 1 1 1 1 cccc cccc ab xa xbcaba xbcabac ab xa xbcx aba xbcxabac ab xa xbcaba xbcabac bacabc xbacxabc bacabc 3 12 1 1 2 111111 1 111 00 11 00 n i rrr rar n in xaaxnaxnaxna axaaxaaxa xna aaxaaxaax xa xnaxnaxa xa 1 14 1 14 用克拉默法則解下列方程組 1 1234 1234 1234 1234 5 242 2352 32110 xxxx xxxx xxxx xxxx 2 12 123 234 345 45 56 1 56 0 56 0 56 0 51 xx xxx xxx xxx xx 1 計算得 1111 1214 1420 2315 31211 D 1234 5111151111511115 2214121412241212 142 284 426 142 2315221523252312 0121130211310113120 DDDD 因為系數(shù)行列式0D 所以方程組有唯一解 3124 1234 1 2 3 1 DDDD xxxx DDDD 2 計算得 12 560001600051000 156000560010600 6650 1507 1145 015600156000560 001560015600156 000151001501015 DDD 345 561005601056001 150001560015600 703 395 212010600150001560 000560010600150 001150001500011 DDD 因為系數(shù)行列式0D 所以方程組有唯一解 35124 12345 15071145703395212 665665665665665 DDDDD xxxxx DDDDD 1 15 1 15 求下列方陣的逆陣 線性代數(shù)習題解8習題一 1 12 25 2 cossin sincos 3 121 342 541 4 1000 1200 2130 1214 1 套用公式 1 0 abdb adbc cdcaadbc 得 1252521 2521211 52 2 2 套用上述公式 得 22 cossincossincossin1 sincossincossincoscossin 3 2112 3132 3 57 121100121100100210 342010021310021310 54100101465010011671 rrrr rrrr 2 23 3 1 2 100210 100210 131 02013610103 22 0011671 0011671 r rr r 得 1210 121 131 3423 22 541 1671 4 42 21 31 2 1000100010001000 1200010002001100 2130001001302010 1214000100140101 rr rr rr 32 43 1 2 1 3 10001000 10001000 11 02001100010000 22 31 111003010 00100 22 263 151 151100041 0001 263 824124 rr rr 得 1 1000 11 100024000 00 22 12001212001 111 213012480240 263 12143526 1511 824124 1 16 1 16 解下列矩陣方程 1 2546 1321 X 2 211 113 210 432 111 X 3 142031 121101 X 1 1 25463546223 1321122108 X 2 1 11 0 33211 221 113113 22 2101 8233 5432432 33 111 111 X 線性代數(shù)習題解9習題一 3 11 11 14312024311011 1 012011111011262 4 X 1 17 1 17 設A是n階矩陣 A為其伴隨矩陣 證明 1 若 0A 則 0A 2 1 AA n 1 設 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa A 則 11211 12222 12 A n n nnnn AAA AAA AAA 如果A的第一行元素全為零 則 02 1 ij Ain jn 于是 0A 假設A的第一行元素不全為零 例如 11 0a 作如下行初等變換 得 11 112 21 11211 12222 12222 11 1212 00 1 n n n a ra ra r nn nnnnnnnn AAAA AAAAAA a AAAAAA A 現(xiàn)0A 因此 0 A 2 一般地 nn A AA EAEA 但 A AAA 于是 n AAA 從而 若0A 立刻得到 1 n AA 而若 0A 由 1 知 1 n AA仍成立 1 18 1 18 設 10100 02100 31000 00020 00002 A 10000 02000 00300 00013 00042 B 利用分塊矩陣的乘法 計算AB 1111 22 1010010000 0210002000 3100000300 22 0002000013 0000200042 1030010300 0430004300 3200032000 0002600026 0008400 BOA BOAO AB OBOBOE 084 1 19 1 19 若 ABBA ACCA 證明 A BCBC A A BCABACBACABC A 1 20 1 20 設 A B為n階方陣 證明 ABBA ABA BB ABA 線性代數(shù)習題解10習題一 1 21 1 21 設3階方陣A的伴隨矩陣為 A且 1 2 A 求 1 32AA 1 11 1 111 33 111111 32323232 1222116 3232 1 233327 2 A E AAAAEA AEA E A AAAAA 或 332 21 1244116 3222 3333227 AAAAAA A 1 22 1 22 設A為n階方陣 0 k k A 求證 EA可逆 并寫出逆矩陣的表達式 21 2123 0 k kk k EAEAAA EAAAAAAA EAEE EA可逆 且 1 21k EAEAAA 1 23 1 23 設分塊陣 OA X BO 其中 A B可逆 求 1 X 1 1 1 OA X BO 驗算 0 0 A B 1 1 0 0 B A 1 1 EOAAO E OEOBB OK 1 24 1 24 設 1 2 3 1 0000 0000 0000 0 1 2 0000 0000 i n n a a a ain a a A 求 1 A 1 2 3 1 000010000 000001000 000000100 000000010 000000001 n n a a a a a AE 1 2 3 1 000000001 000010000 000001000 000000100 000000010 n n a a a a a 1 2 3 1 1 100000000 1 010000000 1 001000000 1 000100000 1 000010000 n n a a a a a 1 1 2 3 1 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 n n a a a a a A 1 25 1 25 設 A B均為n階方陣且2 3 AB 求 1 2 A B 21 11 11 1 12 2222 2 33 n n nnnn ABAB A B 注 1 nn AAA EA AAEAA 線性代數(shù)習題解11習題一 1 26 1 26 設A為n階非奇異 可逆 矩陣 其伴隨陣為 A 求 A 1 12 11 nn AAA AAAAAA AA 或 1 111 11 n A AAAA AAAAAA 1 27 1 27 1 28 1 28 線性代數(shù)習題解12習題一 習習題題二二 2 1 2 1 討論下列向量組的線性相關(guān)性 1 123 2 1 0 1 1 3 1 0 3 2 12 1 3 4 2 0 1 3 1234 1 2 1 2 3 1 0 1 2 1 3 2 1 0 3 1 4 1234 2 1 0 1 3 2 0 3 4 1 5 6 1 1212 3131 2 123 33 211011110 110110011 033000000 rrrr TTT rrrr 可見 123 23Rm 故向量組線性相關(guān) 2 2 13 12 32 1 3 12 4 12020010 30101001 41010100 r rr TT rr rr 可見 12 22Rm 故向量組線性無關(guān) 3 13 42 23 32 42 1234 2 3 2 132103521033 211001560156 103310330352 212102310231 10331033 01560101 0020200 001313 rr TTTT rr rr rr rr 011 0000 可見 1234 34Rm 故向量組線性相關(guān) 4 2221 32 23 12 271 7162 1234 6 2 7 1 200 21012101 2 2101 711611122772 0246 024651620 00100 477 rrrr TTTT rr rr rr 可見 1234 34Rm 所以給出的向量組線性相關(guān) P45 推論推論 2 任意 m mn 個n維向量線性相關(guān) 2 2 2 2 求下列矩陣的秩 1 1210 3212 1133 2 2130 1211 2113 2140 3 2103 1212 3115 線性代數(shù)習題解13習題二 1 32 21 3132 22 12 21 3 54 1 3 2 2 10011001 12101210 111 3212042201010 225 11330343 533 00001 225 rr rr rrrr rr rr 可見秩3R 2 21 32 31 41 43 1 5 2 2 4 7 2130 2130 21302130 0210 51 1211021001 7 22 002 21130511 2 0023 2921400023 0210000 7 rr rr rr rr rr 可見秩4R 或 31 1113 41 12 57 24 2 713 21300512002000 24 12111211 12111211 21130023 00230023 21400210 02100210 1211 0210 0023 13 000 4 rr rrrr rr rr 4R 3 322 32 21 32 1 2 2103 21032103 51 1212010521 2 22 31150000 0521 rrr rr rr R 2 3 2 3 求解下列齊次線性方程組 1 1234 1234 1234 220 20 20 xxxx xxxx xxxx 2 123 123 123 20 330 230 xxx xxx xxx 3 1234 1234 1234 2340 369120 24680 xxxx xxxx xxxx 1 對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換 3221 31 3 12 1 2 32 121212121010 112103330111 211103330000 rrrr rr r rr 得簡化行階梯形 Reduced row echelon form RREF 對應的同解方程組為 13 234 0 0 xx xxx 方程組的解為 1 12 1212 1 2 10 11 10 01 k kk kkk k k k x 2 對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換 線性代數(shù)習題解14習題二 3221 2 3 31 13 2 32 1 2 2 211 211211211 91 3310091091 22 12303722 3700 0 3 22 rrrr r r rr 3Rn 方程組有唯一零解 0 0 0 0 x 3 對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換 21 31 3 2 12341234 369120000 24682000 rr rr A 得 123 1 123123 2 3 234234 100 010 001 kkk k kkkk k k k k x 2 4 2 4 求一個齊次線性方程組使他的基礎解系為 12 1 1 2 0 0 2 2 3 TT 由題意 齊次線性方程組的通解為 1 2 1212 3 4 10 12 22 03 x x kkk k x x 或 11 212 312 42 2 22 3 xk xkk xkk xk 從中消去 12 k k 得 124 134 2 0 3 2 20 3 xxx xxx 即為所求 解法二 設所求的齊次線性方程組為 1223344 23344 0 0 xa xa xa x xb xb x 將 12 1 1 2 0 0 2 2 3 TT 分別代入方程組 得 23 234 120 1 2230 aa aaa 3 34 120 2 2230 b bb 解方程組 1 得其中一個解 234 1 1 0aaa 解方程組 2 得其中一個解 34 1 2 1 3bb 從而得一個滿足要求的方 程組 123 234 0 11 0 23 xxx xxx 2 5 2 5 求下列非齊次線性方程組的通解 1 1234 1234 1234 221 222 3 xxxx xxxx xxxx 2 123 123 123 231 231 322 xxx xxx xxx 3 1234 1234 1234 232 22331 4222 xxxx xxxx xxxx 1 對方程組的增廣矩陣作行初等變換 將之化為簡化行階梯形 2 2331 133212 1 3 2 4 1010 212110303511113 3 1212203035030355 0101 3111131111300000 00000 r rrrr rrrrrr 線性代數(shù)習題解15習題二 立刻得到方程組的解 1212 4 10 3 015 310 0 01 0 kkk k x 2 對方程組的增廣矩陣作行初等變換 將之化為簡化行階梯形 2 3 2112 313223 13 1 22 18 355 7 4 100 9 123112311075 8 231101530153010 9 31220571001814 7 001 9 r r rrrr rrrrrr rr 4 9 8 9 7 9 x 立刻得到方程組的解 1212 4 10 3 015 310 0 01 0 kkk k x 3 對方程組的增廣矩陣作行初等變換 3221 31 2 231122311223112 223310544305443 412220544200001 rrrr rr 因為 RR AA 所以方程組無解 2 6 2 6 若向量組 123 線性無關(guān) 124 線性相關(guān) 試證 4 可由 123 線性表示 123 線性無關(guān) 12 線性無關(guān) 124 線性相關(guān) 4 可由 12 線性表示 從而 4 可由 123 線性表示 證法二 124 線性相關(guān) 1234 線性相關(guān) 123 線性無關(guān) 4 可由 123 線性表示 注意 123 線性無關(guān) 存在全為 0 的 123 k kk 使得 12233 0kkk 這個說法是有問題的 因為不管是否相關(guān) 這些 123 k kk總是存在的 2 7 2 7 設線性方程組 123 123 2 123 10 1 1 xxx xxx xxx 當 等于何值時 1 方程組有唯一解 2 無解 3 有無窮多解 并求此時方程組的通解 111311311 11131100 11131100 A 2 3 1 0 3 時方程組有唯一解 2 3 時 3112 32 2 211003360336 121312131213 1129033600012 rrrr rr A 無解 線性代數(shù)習題解16習題二 2 0 時 1 1 101110 1 1 100000 13 1 1 100000 AR AR A 有無窮多解 112 211212 32 1 1 101110 1 1 100000 13 1 1 100000 11 10 01 AR AR A xkk xxkkkk k xk 2 8 2 8 設 123 1 1 0 3 3 1 2 0 x 1 當x為何值時 向量組 123 線性相關(guān) 2 當x為何值時 向量組 123 線性無關(guān) 3 當 123 線性相關(guān)時 將 1 表示為 23 的線性組合 123 0101 1321 2306 1 130130 xx xx 1 當1x 時 123 線性相關(guān) 2 當1x 時 123 線性無關(guān) 3 現(xiàn)1x 設 1 可表示為 23 的線性組合 11223 xx 即 12 101 132 130 xx 則有線性方程組 1 12 2 1 1 1 TT x x 或 1 2 011 321 301 x x 011301 321011 301000 A 得 12 1 1 3 xx 于是 1223 1 3 x 2 9 2 9 2 10 2 10 設線性方程組 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 的解都是 1 122 0 nn b xb xb x 的解 試證 12 n b bb 是 111121 221222 12 n n mmmmn aaa aaa aaa 的線性組合 線性代數(shù)習題解17習題二 方程組 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 與 1 12 11 11221 21 12222 2 2 1 12 0 0 0 0 nn nn mnn nn mm a xa xa x a xa xa x a b x xax xb x x b a 是同解方程組 它們的基礎解系相同 從而它們的系數(shù) 矩陣的秩相同 即向量組 12 m 和向量組 12 m 有相同的秩 1 1 2 2 m m RRr 設 12 r 是 12 m 的一個極大無關(guān)組 則 12 r 是向量組 12 m 中的1r 個向量 因而是線性相關(guān)的 所以 可由 12 r 線性表示 從而 可由 12 m 線性表示 定理定理 2 1 若向量組 12 m 線性無關(guān) 而向量組 12 m 線性相關(guān) 則向量 可以由向量組 12 m 線性表示 2 11 2 11 證明方程組 121 232 343 454 515 xxa xxa xxa xxa xxa 有解的充要條件是 5 1 0 i i a 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 11000 11000 01100 01100 00110 00110 00011 00011 1000100000 i i a a a a a a a a aa A 方程組有解 4RR AA 5 1 0 i i a 2 12 2 12 填空題 1 設 123 1 1 2 1 2 0 1 2 x 當x 1 2 時 123 線性相關(guān) 2 當x 1 時 向量 1 0 x能由下列向量組線性表示 12 1 1 0 2 0 1 3 已知向量組 123 2 1 3 0 3 1 0 1 0 3 1 x 的秩等于 2 則x 1 4 設矩陣 1211 2121 1202 213x A 當x 2時 3R A 5 設 12 r 是 非 齊 次 線 性 方 程 組 AXb的 解 若 1122rr kkk 也 是 AXb的 一 個 解 則 12r kkk 1 6 設 12 2 0 1 1 2 0 TT 是齊次線性方程組0 AX的一個基礎解系 則 A 21 4 線性代數(shù)習題解18習題二 1 3 21 3123 1 2 123 120120120 1101210120 122002001 r rxr TTT rrrr xxx 當 1 2 x 時 123 23Rn 123 線性相關(guān) 2 設有 12 x x使得 1122 1 0 xxx 即 11 12 22 12 101 010 TT x xx xx 則該方程組的增廣矩陣 12101 101010 010001 x A x 的秩 2RR AA 于是1x 3 32 21 3 123 1 2 23 2323 1 1100010 22 303011 033 011000 011 rr TTT rr x xx x x 當 123 2R 時 1x 4 42 21 31 2 121112111211 212105410541 120200110011 21300110002 rr rr rr xxx A 當2x 時 3R A 5 112211221 1212 bA A A A bbbb rrrrrr kkkkkkkkkkkk 給出的是非齊次方程組 0 b 所以 12 1 r kkk 6 m n 線性方程租的基礎解系含nr 個解向量 r是系數(shù)矩陣A的秩 現(xiàn)3 2nnr 于是1r 這說明方程組有一個有效 方程 A可以是一個行矩陣 設為 a b c A 因為 12 21 0 2 10 是方程組的解 所以 20 20 ac ab 解出 a b c即知 21 4 A 注意 本小題答案不是唯一的 2 13 2 13 選擇題 1 設向量組 123 線性無關(guān) 則下列向量組線性相關(guān)的是 都不可選 A 11213 B 112123 C 12123 D 121331 2 在齊次線性方程組0 AX中 若 Rn A 則下列結(jié)論正確的是 A A 當mn 時 A的m個行向量線性相關(guān) B 當mn時 A的m個行向量線性無關(guān) D 當1nm 時 A的m個行向量線性相關(guān) 3 設向量組 123 線性無關(guān) 向量組 124 線性相關(guān) 則下列結(jié)論錯誤的是 D A 12 線性無關(guān) B 4 可以表示為 12 線性組合 C 1234 線性相關(guān) D 1234 線性無關(guān) 線性代數(shù)習題解19習題二 4 若非齊次線性方程組 m n AXb有解 12 n 是 m n A的n個列向量 下列結(jié)論正確的是 A 12 n b 線性相關(guān) 12 n 線性無關(guān) 12 n 線性相關(guān) 12 n b 線性無關(guān) 已知 12 是非齊次線性方程組 AXb的兩個不同的解 12 是對應的齊次線性方程組0 AX的基礎解系 12 k k為 任意常數(shù) 則方程組 AXb的通解是 B A 12 11212 2 kk B 12 11212 2 kk C 12 11212 2 kk D 12 11212 2 kk 6 設A為n階方陣 且 12 1 Rn A 是0 AX的兩個不同的解向量 則0 AX的通解為 C A 1 k 2 k C 12 k 12 k 1 沒有一個可選 A 不是線性相關(guān)的 因為 1121231312312233 0kkkkkkkk 1231 22 33 00 00 00 kkkk kk kk B 不是線性相關(guān)的 因為 112123123123123233 0kkkkkkkkk 1231 232 33 00 00 00 kkkk kkk kk C 不是線性相關(guān)的 因為 1122312313123233 0kkkkkkkk 131 232 33 00 00 00 kkk kkk kk D 不是線性相關(guān)的 因為 112213331123112233 0kkkkkkkkk 1231 12 233 00 00 00 kkkk kk kkk 2 設 11 0 m nnm Ax 有 m n Rn mn A 于是 m n Rm 故二次型是負定的 2 二次型的矩陣 1121 1303 2096 13619 A的各階主子式依次為 1234 112 11 10 20 13060 240 13 209 A 故二次型是正定的 4 24 4 24 取何值時 下列二次型是正定的 1 222 123121323 5224fxxxx xx xx x 2 222 123121323 42106fxxxx xx xx x 1 二次型是正定的 當且僅當它的矩陣 11 12 125 A的各階主子式都是正的 線性代數(shù)習題解40習題四 22 123 11 1 10 10 12540 1 125 即 2 2 10 540 解得 4 0 5 即 2 2 40 301050 或 2 22 301050 當2 時 2 301050 故二次型是正定的 A的特征值 123 3 4 6 可通過解特征方程 410 1510 014 EA得到 相應的特征向量通過求解齊次 方程組 0 EA x分別可取為 123 1 1 1 6 3 2 12 0 3 3 1 11 2 63 123 構(gòu)成標準正交向量組 由它們構(gòu)成正交矩陣 123 111 326 231 121 0202 336 231 111 326 P 作正交變換 xPy 則有 222 123 346fyyy 于是在新的坐標系 123 Oy y y下橢球面 123 24f x xx 的方程為 222 123 34624fyyy 或標準化為 222 312 222 1 2 2 26 yyy 橢球面的三個半軸的長度依次為2 2 6 2abc 4 26 4 26 已知二次型 222 12312323 23320f x xxxxxax xa 通過正交變換化成標準形 222 123 25fyyy 求 參數(shù)a及所用正交變換矩陣 給出的二次型的矩陣是 200 03 03 a a A 線性代數(shù)習題解41習題四 因為二次型經(jīng)正交變換后所得標準形的系數(shù)是二次型的矩陣的特征值 所以A的特征值 123 1 2 5 由 123 A 或 2 2 91 2 5a 可確定2a 下面先對2a 進行討論 對于 1 1 100100 022011 022000 EA 得特征向量 11 0 10 1 kk 對于 2 2 000010 012001 021000 EA 得特征向量 22 1 00 0 kk 對于 3 5 300100 022011 022000 EA 得特征向量 33 0 10 1 kk 這三組相互正交的特征向量的單位向量分別是 1 0 1 2 1 2 2 1 0 0 3 0 1 2 1 2 以之構(gòu)成矩陣 123 P 則 P是所求的正交變換矩陣 P不是唯一的 可取 010 11 0 22 11 0 22 P 對2a 類似可算得三個兩兩正交的單位特征向量 1 0 1 2 1 2 2 1 0 0 3 0 1 2 1 2 可取 010 11 0 22 11 0 22 P 4 27 4 27 證明 二次型 T fx Ax在1 x時的最大值為實對稱矩陣A的最大特征值 有正交變換 xPy 使二次型化成標準形 222 1122nn fyyy 其中 12 n 是A的特征值 按由小到大的次序 排列 正交變換不改變向量的模 故1 yx 于是在1 x時 2 222222 112212 y nnnnnn fyyyyyy 取 0 0 1 n y 當 n xP 時 n f x 這是f的最大值 4 28 4 28 設A為正定矩陣 試證 2 A A也均為正定矩陣 當A是對稱矩陣時 2 A A也都是對稱矩陣 2 22 1 11 T T TT T AAA AA AA AA AA A的所有特征值 1 2 i in 都大于零 從而0 A 2 A的所有特征值 2 1 2 i in 也都大于零 所以 2 A是正定的 線性代數(shù)習題解42習題四 1 A A A的所有特征值 1 1 2 i in A 也都大于零 所以 A是正定的 4 29 4 29 設A B都是n階正定矩陣 證明 AB也是正定矩陣 A B都是正定矩陣 所以二次型 TT x Ax x Bx都是正定的 即 00 00 T T x Axx x Bxx 于是 00 TTT xAB xx Axx Bxx 這說明 AB也是正定矩陣 4 30 4 30 設A是n階實對稱矩陣 證明存在實數(shù)c 對一切 n x 有 TT c x Axx x 存在正交變換 xPy 使二次型 222 1122 T nn yyy x Ax 設 是A的絕對值最大的特征值 則 n x 222 1122 222 1122 222 12 T nn nn n T yyy yyy yyy x Ax y y 由于 xPy是正交變換 所以 TT y yx x 于是 n x TT x Axx x 取c 即得證 4 31 4 31 設A是n階正定矩陣 I是n階單位矩陣 證明 det1 IA 由A的正定性知A的特征值0 1 2 i in 于是 IA的特征值11 1 2 i in 從而 IA 12 1111 n 4 32 4 32 設A為n階實對稱矩陣 且 32 3530 AAAI 證明 A正定 A的特征值 滿足 322 3531230 或1 12i 但實對稱矩陣的特征值都是實數(shù) 故A的 特征值 123 1 從而A是正定的 4 33 4 33 填空題 1 設向量 1 2 T x 與 3 5 T x x 正交 則x 2 5 2 向量 1 4 0 2 T 與 2 2 1 3 T 的距離和內(nèi)積分別為4 和5 2 3 向量 1 2 2 3 T 與 3 1 5 1 T 的夾角為 4 4 向量組 123 0 0 1 0 1 1 1 1 1 TTT 經(jīng)施密特方法正交規(guī)范化為 123 001 0 1 0 100 5 若矩陣 00 0 11 0 22 x yz A是正交矩陣 則 x y z的值分別為 1 1 2 xyz 1 2 3100 2 5xxx 2 向量 1 4 0 2 T 與 2 2 1 3 T 內(nèi)積為 線性代數(shù)習題解43習題四 12 42 12420 12 34 01 23 距離為 222 2 123 426 3621505 2 012 231 3 向量 1 2 2 3 T 與 3 1 5 1 T 的夾角為 181 arccosarccosarccos 436 182 4 向量組 123 0 0 1 0 1 1 1 1 1 TTT 經(jīng)施密特方法正交規(guī)范化為 11 21 221 11 3132 3312 1122 0 0 1 000 1 101 1 110 1001 11 1010 11 1100 得到的 123 001 0 1 0 100 已經(jīng)是單位向量 為所求的正交規(guī)范組 5 1 2 3 00 0 11 0 22 A x yz 的行向量組是標準正交向量組 滿足 2 11 22 22 23 1 1 11 0 22 x yz yz 解得 1 1 2 xyz 6 設三階實對稱方陣A的特征值為 123 1 2 則 2R AE2 R AE1 定理定理 3 10 若 i 是實對稱矩陣A的k重特征值 則存在k個屬于 i 的線性無關(guān)的特征向量 3 2 是 1 重特征值 A有 1 個屬于 3 2 的線性無關(guān)的特征向量 即齊次方程組 20 AE x的基礎解系含 1 個解向 量 于是 2 1nR AE 現(xiàn)3n 故 2 2R AE 類似地 12 1 是 2 重特征值 方程組 20 AE x的基礎解系 含 2 個解向量 于是 2nR AE 而 1R AE 線性代數(shù)習題解44習題四 7 二次型 222 12341231223 2342f x xx xxxxx xx x 的矩陣是 120 221 013 該二次型的秩為3 8 矩陣 124 221 413 A對應的二次型是 222 123121323 23482 fxxxx xx xx x 9 已知二次型 222 123123121323 55266f x xxxxcxx xx xx x 的秩為2 則參數(shù)c 3 513201 153021 33003cc A 10 設A是實對稱可逆矩陣 則將 T fx Ax化為 1T fy A y的線性變換為 1 xA y 解法一解法一 111 T TTTT fx Axx AA Axx A A AxAxAAx 令 yAx 即作線性變換 1 xA y 則 T fx Ax化為 1T fy A y 解 法 二解 法 二 1 11111111 TT TTTTT fy A yy A AA yyAAA yyAAA yA yA A y 作 線 性 變 換 1 xA y 則 11TT fy A yx A x 11 設n階實對稱矩陣A的特征值分別為1 2 n 則當t n時 t IA為正定矩陣 當0t 時 t IA的特征值1 2 tttn 都大于零 4 34 4 34 選擇題 1 設 1 1 5 3 9 2 3 5 TT 則 與 的距離為 B A 81 B 9