數(shù)列不等式(放縮法).doc

.用放縮法證明不等式的方法與技巧一常用公式1 23( 4()5 6 二放縮技巧所謂放縮的技巧：即欲證，欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量，使，由到叫做“放”，由到叫做“縮”.常用的放縮技巧（1）若（2） ，（3）（4）（5）若，則（6）（7）（因?yàn)椋?） 或（8）等等。三常見(jiàn)題型（一）先求和再放縮: 1設(shè)，求證：2 設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：例1求的值 例2.求證:例3求證: 例4求證：例5已知,求證:.直接放縮1、放大或縮小“因式”： 例1. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；例2.已知數(shù)列滿(mǎn)足（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：例3.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 證明對(duì)一切正整數(shù)成立例4.已知數(shù)列滿(mǎn)足，（）。 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：對(duì)。例5.數(shù)列由下列條件確定：，（I）證明：對(duì)總有； (II)證明：對(duì)總有1（2014浙江）已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足a1a2a3an=（nN*）若an為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）設(shè)cn=（nN*）記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn （i）求Sn； （ii）求正整數(shù)k，使得對(duì)任意nN*均有SkSn2（2015廣東）數(shù)列an滿(mǎn)足：a1+2a2+nan=4，nN+（1）求a3的值；（2）求數(shù)列an的前 n項(xiàng)和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+）an（n2），證明：數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn2+2lnn3（2013廣東）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有4（2014廣東）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn滿(mǎn)足Sn2（n2+n3）Sn3（n2+n）=0，nN*（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有+5（2013廣東）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足4Sn=an+124n1，nN*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列（1）證明：a2=；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有6（2012廣東）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足2Sn=an+12n+1+1，nN*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有7（2015重慶）在數(shù)列an中，a1=3，an+1an+an+1+an2=0（nN+）（）若=0，=2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）若=（k0N+，k02），=1，證明：2+2+8（2014天津）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）當(dāng)q=2，n=3時(shí)，用列舉法表示集合A；（）設(shè)s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n證明：若anbn，則st9（2012重慶）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn+1=a2Sn+a1，其中a20（）求證：an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（）若a21，求證，并給出等號(hào)成立的充要條件10（2013秋梁子湖區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)（I）若x0時(shí)，f（x）0，求的最小值；（II）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=1+11（2011廣東）設(shè)b0，數(shù)列an滿(mǎn)足a1=b，an=（n2）（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an+112（2011天津）已知數(shù)列an與bn滿(mǎn)足bn+1an+bnan+1=（2）n+1，bn=，nN*，且a1=2（）求a2，a3的值（）設(shè)cn=a2n+1a2n1，nN*，證明cn是等比數(shù)列（）設(shè)Sn為an的前n項(xiàng)和，證明+n（nN*）13（2011重慶）設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn+1=an+1Sn（nN*）（）若a1，S2，2a2成等比數(shù)列，求S2和a3（）求證：對(duì)k3有0ak14（2011湖南）已知函數(shù)f（x）=x3，g （x）=x+（）求函數(shù)h （x）=f（x）g （x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由；（）設(shè)數(shù)列 an（nN*）滿(mǎn)足a1=a（a0），f（an+1）=g（an），證明：存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的nN*，都有anM15（2011浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1（a1R），且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）對(duì)nN*，試比較與的大小16（2011浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1為a（aR）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及Sn；（）記An=+，Bn=+，當(dāng)n2時(shí)，試比較An與Bn的大小17（2009江西）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an，a1=a，a2=b，且對(duì)滿(mǎn)足m+n=p+q的正整數(shù)m，n，p，q都有（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)an；（2）證明：對(duì)任意a，存在與a有關(guān)的常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，都有18 （2008安徽）設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a1=0，an+1=can3+1c，nN*，其中c為實(shí)數(shù)（1） 證明：an0，1對(duì)任意nN*成立的充分必要條件是c0，1；（2） 設(shè)，證明：an1（3c）n1，nN*；（3）設(shè)，證明：19（2008江西）數(shù)列an為等差數(shù)列，an為正