微積分及經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用.doc

第3章 微積分及其經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用3.1 一元函數(shù)和多元函數(shù)在數(shù)學(xué)上，函數(shù)的定義為：如果在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量和，對(duì)任意給定的值，僅存在一個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，則稱是的函數(shù)，表示為。其中為自變量，為因變量。由于函數(shù)關(guān)系中僅有一個(gè)自變量，因此該函數(shù)稱為一元函數(shù)。能夠取得的所有值的集合稱為函數(shù)定義域，能夠取得的所有值的集合稱為函數(shù)值域。在對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的分析過(guò)程中，我們通常用函數(shù)來(lái)描述經(jīng)濟(jì)變量之間的變化關(guān)系。例如，在商品的供求關(guān)系中，定義某種商品價(jià)格為，需求量為，供給量為。那么，需求與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系可以表示為：，。然而我們所處的經(jīng)濟(jì)環(huán)境是非常復(fù)雜的，每一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量都要受到多種因素的影響。因此，采用一元函數(shù)來(lái)分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題就會(huì)有很大的局限性。所以我們常常采用多元函數(shù)來(lái)研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。多元函數(shù)是在一個(gè)函數(shù)關(guān)系中函數(shù)值是由多個(gè)變量確定的，用的形式來(lái)表示，它表示因變量的值取決于個(gè)自變量的大小。例如在消費(fèi)理論的基本假設(shè)中，每個(gè)消費(fèi)者都同時(shí)對(duì)多種商品有需求，“效用”取決于所消費(fèi)的各種商品的數(shù)量，效用函數(shù)就可以表示為，其中表示消費(fèi)者的效用，是對(duì)種商品的消費(fèi)量。這個(gè)函數(shù)稱為效用函數(shù)。同樣，生產(chǎn)函數(shù)常表示為，為產(chǎn)出水平，表示資本，表示勞動(dòng)力。它說(shuō)明產(chǎn)出水平既取決于勞動(dòng)力又取決于資本。Q=A*L alpha *K beltaA=1;alpha=0.5;belta=0.5;3.2水平曲線二元函數(shù)的水平曲線定義為：，為常數(shù)，它表示曲面上值為常數(shù)的點(diǎn)連接而成的曲線。對(duì)于三元函數(shù)，稱為水平曲面，它表示值為常數(shù)的點(diǎn)連接而成的曲面。水平曲線在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有重要的應(yīng)用，如生產(chǎn)函數(shù)為，其中為產(chǎn)出，為勞動(dòng)力，為資金，如下圖所示第一象限中的點(diǎn)表示正的勞動(dòng)投入和資金投入的所有可能組合，且每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)值，所有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（L，K）連接起來(lái)就是一條曲線，這條曲線就是一條水平曲線，經(jīng)濟(jì)學(xué)家將這條水平曲線稱為等產(chǎn)量曲線，實(shí)際上這條曲線是用平面截曲面所得曲線在平面的投影。自然這條曲線上所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為5，如下圖中，點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的值皆為5，因此將這條水平線也稱為等值線、等高線，E點(diǎn)則代表產(chǎn)出為10的等產(chǎn)量曲線，F(xiàn)點(diǎn)則代表產(chǎn)出為15的等產(chǎn)量曲線，可見(jiàn)越向右上方向的等產(chǎn)量曲線的產(chǎn)出值越大。在消費(fèi)理論中，假設(shè)消費(fèi)者只消費(fèi)兩種商品，那么它的效用取決于這兩種商品消費(fèi)量的組合。如果用表示效用，分別表示這兩種商品的消費(fèi)量，那么它的效用函數(shù)就是二元函數(shù)，可以表示為。平面直角坐標(biāo)系第一象限中的點(diǎn)表示出兩種商品消費(fèi)量的所有可能組合，平面上的每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲面上的一個(gè)值。如果將對(duì)應(yīng)的點(diǎn)連起來(lái)就表示在效用水平為的情況下的一條水平曲線。經(jīng)濟(jì)學(xué)上將這條水平曲線稱為無(wú)差異曲線或等效用曲線。3.3 極限1.極限的定義數(shù)列極限的定義：在數(shù)列中，任取，如果存在，使得當(dāng)時(shí)，則稱當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，為的極限。表示為： 或者。在數(shù)列中，與一一對(duì)應(yīng)，因此可以將視為定義域?yàn)檎麛?shù)的函數(shù)。因此對(duì)數(shù)列極限的定義進(jìn)行推廣，就可以得到函數(shù)當(dāng)和極限的定義。函數(shù)極限的定義當(dāng)時(shí)函數(shù)極限的定義：任取，存在，使得當(dāng)時(shí)，那么常數(shù)為當(dāng)時(shí)的極限，記為或者。當(dāng)時(shí)函數(shù)極限的定義：任取，存在，使得當(dāng)時(shí)，那么常數(shù)為當(dāng)時(shí)的極限，記為或者。2. 左極限與右極限當(dāng)從的左側(cè)（即小于的方向）趨向于（記為），若此時(shí)有極限，則稱為當(dāng)時(shí)的左極限。記為或者。當(dāng)從的右側(cè)（即大于的方向）趨向于（記為），若此時(shí)有極限，則稱為當(dāng)時(shí)的右極限。記為或者。3. 極限的運(yùn)算法則定理：如果，且A，B有限則(1) (2) (3) (4) 4. 兩個(gè)重要的極限(1) ，(2) 3.4連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利的計(jì)算，是函數(shù)極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)的經(jīng)典應(yīng)用。假設(shè)一個(gè)人將元存入銀行，銀行年利率為，若利息按復(fù)利計(jì)息，每年計(jì)算一次，則年底時(shí)他的存款總額為。如果銀行改為半年計(jì)算一次利息，年利率不變，則半年的利率為，則年底時(shí)，他的存款總額應(yīng)為元。當(dāng)銀行每年計(jì)息次，可以推得，年底時(shí)存款總額應(yīng)為元。當(dāng)銀行在年內(nèi)連續(xù)計(jì)息時(shí)，即時(shí)，年底存款總額為元。對(duì)其求極限可以得到：因此，在連續(xù)計(jì)息的情況下，年底時(shí)這個(gè)人的存款的余額為元。我們可以將其推廣到存款多年的情況，在連續(xù)計(jì)息時(shí)，第二年年底的存款余額為元，則可以得出年末的存款余額為元。因此，連續(xù)復(fù)利時(shí)，本金為元，年利率為，則年末的資金余額為：元。同樣可以得到，年末的資金元，在連續(xù)復(fù)利的情況下，貼現(xiàn)值為：。3.5一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)為定義在集合上的一元函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義為：或2. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：設(shè)函數(shù)和都在點(diǎn)可導(dǎo)，則這兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商均在點(diǎn)可導(dǎo)。(1) (為常數(shù))；(2) ；(3) ；(4) ，3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)函數(shù)是和的復(fù)合函數(shù)，且函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有或（鏈?zhǔn)椒▌t）3.6二元函數(shù)求偏導(dǎo)3.6.1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的定義為：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域有定義，當(dāng)固定在而在處有增量時(shí)，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記作，或類(lèi)似地，函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作，或如果函數(shù)在定義域內(nèi)每一點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)是、的函數(shù)，它就稱為對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)。記作，類(lèi)似地，可以定義對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)，在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，實(shí)際上和一元函數(shù)求導(dǎo)方法相同，求時(shí)，只要把y看作常量而對(duì)求導(dǎo)數(shù)；求時(shí)，只要把看作常量而對(duì)求導(dǎo)數(shù)。3.6.2二元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，那么在內(nèi)，都是、的函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：， ，類(lèi)似地，可以定義三階、四階以及階偏導(dǎo)數(shù)，二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，在二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算中引出一個(gè)重要定理：楊格定理 如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)，在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么自該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。楊格定理說(shuō)明在求導(dǎo)時(shí)不必關(guān)心求導(dǎo)的順序。3.7多元函數(shù)的求導(dǎo)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到多元的情況，定義為：多元偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算并不需要引入新的方法。因?yàn)樵诤瘮?shù)中僅有一個(gè)自變量在變化，其他各個(gè)自變量都是固定的，所以，在計(jì)算時(shí)只需要將其他自變量看作常量，對(duì)變動(dòng)的自變量運(yùn)用一元函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可。二元函數(shù)的楊格定理也可以直接推廣到多元函數(shù)如果元函數(shù)對(duì)于的一階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)是連續(xù)的，則有對(duì)于多元函數(shù)的求導(dǎo)有一個(gè)重要的向量和矩陣，稱為梯度向量和海賽（Hessian）矩陣定義元函數(shù)對(duì)于的一階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的維列向量稱為梯度向量，記為，即，其中元函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣稱為的海賽（Hessian）矩陣，記為：即其中，根據(jù)楊格定理，故為對(duì)稱矩陣。3.8隱函數(shù)3.8.1 定義我們將方程確定的函數(shù)關(guān)系，稱為隱函數(shù)，既對(duì)于任意一組變量，相應(yīng)地總有滿足方程的唯一的值存在，那么就稱方程確定了一個(gè)隱函數(shù)隱函數(shù)不一定能寫(xiě)為y=f(x)的形式，因此按照函數(shù)“設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是實(shí)數(shù)集的某個(gè)子集，若對(duì)于D中的每個(gè)值x，變量y按照一定的法則有一個(gè)確定的值y與之對(duì)應(yīng)，稱變量y為變量x的函數(shù)，記作 y=f(x).”的定義，隱函數(shù)不一定是“函數(shù)”，而是“方程”。 總的說(shuō)來(lái)，函數(shù)都是方程，但方程卻不一定是函數(shù)。 把隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化。例如將方程解出，就把隱函數(shù)化成顯函數(shù)。要注意的是方程能確定隱函數(shù)，一般并不都能從方程中解出，并用自變量的算式來(lái)表示。對(duì)于方程可以證明確實(shí)存在一個(gè)定義在上的函數(shù)，使得但這函數(shù)卻無(wú)法用的算式來(lái)表達(dá)。3.8.2隱函數(shù)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題分析中，需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。例如，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)內(nèi)生變量y和一組外生變量常滿足一個(gè)方程在一定條件（或一定經(jīng)濟(jì)背景）下，對(duì)某給定區(qū)域給定上述變量，由方程可確定唯一的內(nèi)生變量y的值。我們需要研究外生變量的變化如何影響內(nèi)生變量y的變化，即需要求內(nèi)生變量關(guān)于外生變量的偏導(dǎo)數(shù)，用作經(jīng)濟(jì)理論的分析。3.8.3 隱函數(shù)定理3.8.3.1一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在惟一性定理 若函數(shù)滿足下列條件：（1）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；（2）（通常稱為初始條件）；（iii）在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（3）0，則在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，方程=0惟一地確定一個(gè)定義則在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得 ,當(dāng)時(shí)，且； 在內(nèi)連續(xù).例如方程為由于，與均連續(xù)，故滿足定理?xiàng)l件(1) (2) (3)但因，致使在原點(diǎn)的無(wú)論怎樣小的鄰域內(nèi)都不可能存在唯一的隱函數(shù)隱函數(shù)可微性定理 （1）設(shè)滿足隱函數(shù)存在唯一性定理中的條件，又設(shè)在D內(nèi)還存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則由方程所確定的隱函數(shù)在在其定義域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且 （2）設(shè)三元函數(shù)滿足隱函數(shù)存在唯一性定理中的條件，又設(shè)在內(nèi)還存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則由方程所確定的隱函數(shù)在在其定義域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)，且3.8.3.2方程組的情況我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個(gè)數(shù)，而且增加方程的個(gè)數(shù)。例如，考慮方程組這時(shí)，在四個(gè)變量中，一般只能有兩個(gè)變量獨(dú)立變化，因此該方程組就有可能確定兩個(gè)二元函數(shù)。在這種情況下，我們可以由函數(shù)F、G的性質(zhì)來(lái)斷定由該方程組所確定的兩個(gè)二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì)，我們有下面的定理。方程組的隱函數(shù)定理 設(shè)函數(shù)，滿足下列條件（1）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（2），；（3）函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或雅可比行列式) ，在點(diǎn)則方程組，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足條件， 并有偏導(dǎo)數(shù)公式 ， ， 3.8.4 隱函數(shù)求導(dǎo)例子根據(jù)以上三個(gè)定理，可對(duì)隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。例1 設(shè)，求.解 設(shè) ，因?yàn)樗岳?2設(shè)方程，求偏導(dǎo)數(shù) 解 將所給方程的兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)并移項(xiàng)，得 在條件下，；同理，方程的兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組得 ， 例3 假設(shè)方程隱含地定義了一個(gè)生產(chǎn)函數(shù)，讓我們求出表示與函數(shù)F相關(guān)的邊際物質(zhì)產(chǎn)品和的方法。因?yàn)檫呺H產(chǎn)品僅為偏導(dǎo)數(shù)和,我們可應(yīng)用隱函數(shù)法則并寫(xiě)出： 和 .此外，我們還可由方程得到另一個(gè)偏導(dǎo)數(shù).它的經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)勞動(dòng)力L發(fā)生變化時(shí)，為了保持產(chǎn)量不變，資本K的變化。因此，此偏導(dǎo)數(shù)所描述的K和L的變化實(shí)質(zhì)上是一種“補(bǔ)償”變化，從而使產(chǎn)出Q維持在某一特定水平不變，因而這種變化屬于沿著等產(chǎn)量曲線上的移動(dòng)，該等產(chǎn)量曲線以K為縱軸，L為橫軸繪制。實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)表示等產(chǎn)量線斜率，它在正常情況下為負(fù)。而則是兩種投入的邊際技術(shù)替代率。例4 設(shè)，求和，和.解 令則而從而，事實(shí)上，對(duì)具體題目可以不用該公式計(jì)算，而直接用隱函數(shù)方程兩邊同時(shí)求偏導(dǎo)解方程組的方法來(lái)做。3.9邊際、彈性和增長(zhǎng)率3.6.1 邊際（Marginality）在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中許多重要的概念是用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述的，數(shù)學(xué)上的導(dǎo)數(shù)概念對(duì)應(yīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)上的邊際概念，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析，簡(jiǎn)稱邊際分析。經(jīng)常用到的邊際量有邊際收入、邊際成本、邊際產(chǎn)量、邊際利潤(rùn)等。在經(jīng)濟(jì)學(xué)上對(duì)于函數(shù)在點(diǎn)的邊際定義為：，記為 邊際的數(shù)值可以用近似的代替，雖然一階導(dǎo)數(shù)的概念和邊際的概念不同，但是為了邊際計(jì)算的簡(jiǎn)單性，經(jīng)濟(jì)學(xué)家在計(jì)算邊際數(shù)值時(shí)仍然采用一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值代替。例 設(shè)某商品的總成本函數(shù)為，求時(shí)的邊際成本解按照邊際的概念求時(shí)的邊際成本為：時(shí)的一階導(dǎo)數(shù)值為：可見(jiàn)用導(dǎo)數(shù)計(jì)算出的數(shù)值和邊際定義計(jì)算出的數(shù)值不同，但比較接近邊際數(shù)值。對(duì)于多元函數(shù)關(guān)于的邊際的定義為：，邊際表示在其他變量均不發(fā)生改變的情況下，第個(gè)變量增加一個(gè)單位因起函數(shù)值的變化。對(duì)于多元函邊際數(shù)值的計(jì)算可以用偏導(dǎo)近似代替。如當(dāng)消費(fèi)者消費(fèi)種商品時(shí)，其效用函數(shù)為，如果其中第種商品的消費(fèi)量發(fā)生改變，其邊際效用為：例3.1 給定生產(chǎn)函數(shù)，求邊際產(chǎn)出和。解：對(duì)生產(chǎn)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)可得：由此可以得到：定理 兩個(gè)函數(shù)乘積的彈性等于兩個(gè)函數(shù)彈性的和； 兩個(gè)函數(shù)商的彈性等于兩個(gè)函數(shù)彈性的差； 兩個(gè)符合函數(shù)的彈性等于兩個(gè)函數(shù)彈性的乘積，即設(shè)，則。3.6.2彈性(Elasticity)函數(shù)關(guān)于的彈性定義為，表示當(dāng)由增加一個(gè)百分比時(shí)，的增加或減少的百分比。當(dāng)時(shí)，稱關(guān)于彈性不足或缺乏彈性，此時(shí)變動(dòng)的百分率小于變動(dòng)的百分率。當(dāng)時(shí)，稱關(guān)于彈性充足或富有彈性，此時(shí)變動(dòng)的百分率大于變動(dòng)的百分率。當(dāng)時(shí)，稱關(guān)于為單位彈性，此時(shí)變動(dòng)的百分率等于變動(dòng)的百分率。元函數(shù)對(duì)的彈性定義為：，由于采用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)定義故對(duì)于多元函數(shù)稱為偏彈性。由彈性的定義可以看到，彈性表示自變量的變化的百分率引起因變量變化的百分率的比值，是無(wú)量綱的。例3.2 某種商品的需求函數(shù)為，為該商品的需求量，為商品價(jià)格，則收益。討論其需求價(jià)格彈性。求其邊際收益可以得到：因?yàn)樗男枨髢r(jià)格彈性為，且通常情況下，因此，代入可得：。當(dāng)時(shí)，此時(shí)收益是價(jià)格的減函數(shù)，如果降低商品價(jià)格，能夠提高收益。當(dāng)時(shí)，此時(shí)收益是價(jià)格的減函數(shù)，如果提高商品價(jià)格，能夠提高收益。進(jìn)一步，根據(jù)需求函數(shù)，取其反函數(shù)可以求得價(jià)格函數(shù)為，則，其邊際收益為：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，廠商生產(chǎn)的均衡條件為：，從而，將其變形可得：這個(gè)公式可以作為廠商定價(jià)的依據(jù)。根據(jù)這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)，在邊際成本一定的情況下，需求價(jià)格彈性越大價(jià)格就越低，需求價(jià)格彈性越小價(jià)格就越高，因此，壟斷企業(yè)在具有不同價(jià)格彈性的市場(chǎng)，產(chǎn)品的定價(jià)不同。例3.3 設(shè)某個(gè)消費(fèi)者關(guān)于種商品的需求函數(shù)為 ，其中分別為種商品的價(jià)格，為該消費(fèi)者的收入。求： (1)第種商品的需求價(jià)格彈性；(2) 第種商品需求關(guān)于第種商品的價(jià)格的交叉價(jià)格彈性；(3) 第種商品的需求收入彈性。解：(1) 第種商品的需求價(jià)格彈性可表示為。(2) 需求的交叉價(jià)格彈性，用來(lái)描述一種商品的需求量對(duì)另外一種商品價(jià)格變化的靈敏度，可表示為,()。則第種商品需求關(guān)于第種商品的價(jià)格的交叉價(jià)格彈性為, ()。(3) 商品的需求收入彈性表示一種商品的需求量對(duì)收入變化的敏感程度。第種商品的需求收入彈性為： 3.6.3 增長(zhǎng)率(Growth rate)設(shè)是的函數(shù)且，則在時(shí)刻的增長(zhǎng)率定義為： 定理 給定兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，用，分別表示兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的增長(zhǎng)率，則（1）（2）（3）（4）例3.4 若貨幣需求是國(guó)民收入及利息率的函數(shù)，求證：增長(zhǎng)率可以表成與的加權(quán)之和，其中權(quán)數(shù)分別為對(duì)與的彈性。證明：由于，由增長(zhǎng)率的定義，應(yīng)用全導(dǎo)數(shù)公式可以得到：即的增長(zhǎng)率可以表示成與的加權(quán)之和，其權(quán)重分別為對(duì)與的彈性。3.10水平曲線的分析（1）邊際遞減規(guī)律經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為生產(chǎn)函數(shù)是增函數(shù)，因此、，又認(rèn)為投入要素的邊際生產(chǎn)率是遞減的，就是隨著要素投入量的增加，總產(chǎn)量增加，但是邊際產(chǎn)量是不斷減少的，即，這條規(guī)律稱邊際遞減規(guī)律。如果生產(chǎn)函數(shù)是一元函數(shù)，則該函數(shù)是凹函數(shù)。（2）邊際替代率分析 對(duì)于生產(chǎn)函數(shù)來(lái)講，水平曲線上點(diǎn)的位置雖不同但是卻有相同的產(chǎn)量，如何來(lái)解釋這一現(xiàn)象呢？如下圖所示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的移動(dòng)分為兩步，由A點(diǎn)減少資金量，保持勞動(dòng)力不變垂直移動(dòng)到C點(diǎn)，再由C點(diǎn)增加勞動(dòng)力，保持資金量不變移動(dòng)到B點(diǎn)，從A點(diǎn)到C點(diǎn)產(chǎn)出量的改變量為A點(diǎn)的資金邊際產(chǎn)量乘以資金減少量，記作，從C點(diǎn)到B點(diǎn)產(chǎn)出量的改變量為B點(diǎn)的勞動(dòng)力邊際產(chǎn)量乘以勞動(dòng)力增加量，記作，由于A點(diǎn)和B點(diǎn)的量并沒(méi)有改變，因此有+當(dāng)時(shí)，上式就成為全微分形式，即 21從幾何上來(lái)看是水平曲線的斜率，因此可以看出水平曲線的斜率為生產(chǎn)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)之比的負(fù)值，因此方程與是等價(jià)的，當(dāng)時(shí)，水平曲線變成一條垂線，它的導(dǎo)數(shù)不存在。從經(jīng)觀濟(jì)學(xué)看水平曲線表示如果產(chǎn)量一定，在減少資金的同時(shí)要增加勞動(dòng)力。勞動(dòng)與資本之間存在著替代關(guān)系，經(jīng)濟(jì)學(xué)上把稱為勞動(dòng)力對(duì)資本的邊際替代率，因此邊際替代率就是等產(chǎn)量曲線斜率的負(fù)值，即。實(shí)際上對(duì)于任意二元函數(shù)的水平曲線 (為常數(shù))，由于方程中僅含有兩個(gè)未知變量。這樣，如果可以將其中一個(gè)未知變量能表示為另一個(gè)未知變量的函數(shù)。例如， ，將其帶入水平曲線，得，式中隨變化而變化。任何一個(gè)水平曲線的斜率都可以表示為導(dǎo)數(shù)，在等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得到或。注意這里我們把看作的函數(shù)。我們假設(shè)，則有。得到和式21相同的結(jié)果。在消費(fèi)者理論中用同樣的方法可以分析效用函數(shù)的水平曲線，在效用不變的條件下，減少對(duì)產(chǎn)品的消費(fèi)量就要同時(shí)增加對(duì)產(chǎn)品的消費(fèi)量，稱為商品與之間的邊際替代率，因此有同樣的結(jié)論為（3）水平曲線的凸性分析曲線的的凸性是說(shuō)明曲線的形狀，從原點(diǎn)觀察水平曲線的形狀是凸的，如果換個(gè)視角觀察水平曲線的形狀可能是凹的，從數(shù)學(xué)上來(lái)看水平曲線是凸的就是曲線的二階導(dǎo)數(shù)非負(fù)，即當(dāng)用要素代替要素時(shí)，不斷減少，不斷增加，從而不斷增加，不斷減少。因此，不斷減少，既，這就是邊際替代率遞減規(guī)律。由于因此，水平曲線的斜率為負(fù)且水平曲線的形狀是凸的；下面用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)表示 而，且?guī)肷鲜降茫焊鶕?jù)上面的計(jì)算我們得到邊際替代率遞減法則成立的條件定理 設(shè)，邊際產(chǎn)出，則邊際替代率如果，則邊際替代率是遞減的。3.11齊次函數(shù)和歐拉定理為了有效的研究許多重要經(jīng)濟(jì)模型的結(jié)構(gòu)，我們學(xué)習(xí)一類(lèi)重要的函數(shù)，這類(lèi)函數(shù)稱為齊次函數(shù)，研究這類(lèi)函數(shù)的興趣主要來(lái)自于對(duì)分配理論問(wèn)題的探討。邊際生產(chǎn)理論的發(fā)展得出了這樣的結(jié)論：生產(chǎn)要素的投入應(yīng)該依據(jù)生產(chǎn)要素的邊際產(chǎn)出，即1單位生產(chǎn)要素的邊際成本應(yīng)該等于1單位生產(chǎn)要素對(duì)邊際產(chǎn)出的貢獻(xiàn)。如果用表示生產(chǎn)函數(shù)，表示第種要素的價(jià)格，表示產(chǎn)品價(jià)格，表示第種要素的邊際產(chǎn)出，那么要素的投入應(yīng)滿足如下法則：。但是，這種分析方法僅僅針對(duì)每一種要素的投入。那么對(duì)于多種要素的總投入和總產(chǎn)出應(yīng)當(dāng)如何分析呢？數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）的一個(gè)定理，可以用來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)定理告訴我們：如果生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬不變的，那么所有要素的支出之和應(yīng)該等于總產(chǎn)出。即投入1單位的第種要素的成本為，則投入單位的第種要素的成本為。所以，所有要素的總支出額為：?？紤]兩種生產(chǎn)要素時(shí)，規(guī)模報(bào)酬不變的情況下有：，因此，有：而規(guī)模報(bào)酬不變的生產(chǎn)函數(shù)意味著，投入的各種要素變化相同的比例，那么產(chǎn)出也會(huì)變化相同的比例，即：，這是齊次函數(shù)的一個(gè)特例。3.7.1齊次函數(shù)齊次函數(shù)的定義為：將函數(shù)中的每一個(gè)自變量均變?yōu)樵瓉?lái)的倍， 為常數(shù)，若函數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則函數(shù)為次齊次函數(shù)。用代數(shù)形式表達(dá)為： 一般來(lái)說(shuō)，可以取任何值，只要在的定義域內(nèi)，但因?yàn)樵诮?jīng)濟(jì)應(yīng)用中變量通常取正值，所以，一般取正值。例3.5 判斷函數(shù)的齊次性。解：以乘以每個(gè)變量可以得到，所以，函數(shù)為零次齊次函數(shù)。這個(gè)例中，當(dāng)所有自變量等比例變化時(shí)，函數(shù)值不變。例3.6 判斷函數(shù)的齊次性。解：以乘以每個(gè)變量可以得到：，所以，函數(shù)為一次齊次函數(shù)。一次齊次函數(shù)常稱為線性齊次函數(shù)，這種函數(shù)的性質(zhì)在后面還將詳細(xì)討論。例3.7 判斷函數(shù)的齊次性。解：以乘以每個(gè)變量可以得到：所以，函數(shù)為二次齊次函數(shù)。例 柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是一次齊次函數(shù)，表示產(chǎn)出與各要素投入的擴(kuò)大比例相同。定理1：如果是次齊次函數(shù)，那么它的偏導(dǎo)數(shù)是次齊次函數(shù)。證明：由假設(shè)，公式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得：，則有，所以，是次齊次函數(shù)。特別的如果是任意報(bào)酬不變的生產(chǎn)函數(shù)，那么他的邊際產(chǎn)出就是0次齊次函數(shù)。定理2：如果是次齊次函數(shù)，那么在任意平面上，該函數(shù)沿著從原點(diǎn)出發(fā)的任意射線上的每一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的水平曲線的斜率是相等的。證明：齊次函數(shù)在平面上任何一條水平曲線的斜率為，又所以沿著從原點(diǎn)出發(fā)的任一條射線上面的任何水平曲線的斜率都相等。具有這樣性質(zhì)的一類(lèi)函數(shù)，在數(shù)學(xué)上也被稱為同勢(shì)函數(shù)。在消費(fèi)理論中，水平曲線即無(wú)差異曲線，定理的意義為：延原點(diǎn)出發(fā)任意一條射線上任意一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的邊際替代率均相等。在生產(chǎn)理論中，水平曲線即等產(chǎn)量線，定理的意義為：延原點(diǎn)出發(fā)任意一條射線上任意一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的邊際產(chǎn)出比率均相等。定理3 歐拉定理假定為次齊次函數(shù)且可導(dǎo)，則。定理4 歐拉定理的逆定理如果對(duì)所有的都成立，則為次齊次函數(shù)?？梢杂糜谂袛帻R次函數(shù)。例如，證明柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是證明勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量為： ，資本的邊際產(chǎn)量為：。 由歐拉定理的逆定理可知柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為1次齊次函數(shù)。邊際產(chǎn)出反映出一個(gè)特征，就是邊際產(chǎn)出是兩種投入要素比例的函數(shù)，而與兩種投入要素絕對(duì)值的大小無(wú)關(guān)。從幾何上來(lái)講，如果每一種要素按照相同的比例發(fā)生變化，這意味投入將沿從原點(diǎn)出發(fā)的射線移動(dòng)，在這條射線上的任意一點(diǎn)，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的的任何水平曲線的斜率都相等。 在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，上述等式的含義為：在規(guī)模效益不變的情況下，如果每種投入要素按其邊際產(chǎn)量獲得報(bào)酬，那么，所有要素所獲得的報(bào)酬的和等于總產(chǎn)出。例3.8 令，則，。所以，例3.9 考慮兩種產(chǎn)品，其價(jià)格分別為，其數(shù)量分別用來(lái)表示。假設(shè)消費(fèi)者的貨幣收入為，并且第一種產(chǎn)品的需求函數(shù)為：，求證：該產(chǎn)品的需求不受中性通貨膨脹的影響（即價(jià)格和收入按同樣的增長(zhǎng)速度增長(zhǎng)），并證明歐拉定理對(duì)該函數(shù)成立。證明：假定消費(fèi)者貨幣收入及按相同的比率增長(zhǎng)。則有：因此，消費(fèi)者需求量并不受價(jià)格變化