2010上海市高考數(shù)學(xué)理科試卷(全解全析).pdf

2010 年高考數(shù)學(xué) 理科 上海試題 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 一 填空題一 填空題 本大題滿分 56 分 每小題 4 分 1 不等式 2 0 4 x x 的解集是 2 若復(fù)數(shù)12zi i 為虛數(shù)單位 則z zz 3 若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn) 2 0 F的距離與它到直線20 x 的距離相等 則P的軌跡方程為 4 行列式 cossin 36 sincos 36 的值是 5 圓 22 2440C xyxy 的圓心到直線3440 xy 的距離d 6 隨機(jī)變量 的概率分布率由下圖給出 x 7 8 9 10 px 0 3 0 35 0 2 0 15 則隨機(jī)變量 的均值是 7 2010 年上海世博會(huì)園區(qū)每天 9 00 開園 20 00 停止入園 在右邊的框 圖中 S 表示上海世博會(huì)官方網(wǎng)站在每個(gè)整點(diǎn)報(bào)道的入園總?cè)藬?shù) a 表 示整點(diǎn)報(bào)道前 1 個(gè)小時(shí)內(nèi)入園人數(shù) 則空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入 8 對(duì)任意不等于1的正數(shù)a 函數(shù) log 3 a f xx 的反函數(shù)的圖像都 過點(diǎn)P 則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 9 從一副混合后的撲克牌 52 張 中隨機(jī)抽取 1 張 事件A為 抽得紅 桃K 事件B為 抽得黑桃 則概率 p AB 結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示 10 在 n 行 n 列矩陣 12321 23411 34512 12321 nnn nn n nnnn 中 記位于第i行第j列的數(shù)為 1 2 ij a i jn 當(dāng)9n 時(shí) 11223399 aaaa 11 將直線 2 0lnxyn 3 0lxnyn nN 2n x軸 y軸圍成的封閉圖形的面積 否 是 開始 T 9 S 0 輸出 T S T 19 T T 1 輸入 a 結(jié)束 第 7 題圖 記為 n S 則lim n n S 12 如圖所示 邊長為 的正方形紙片 ABCD 中 AC 與 BD 相交于 O 剪去AOB 將剩余部分沿 OC OD 折疊 使 OA OB 重合 則以 A B C D O 為頂點(diǎn)的 四面體的體積為 13 如圖所示 直線2x 與雙曲線 2 2 1 4 x y 的漸近線交于 12 E E 兩點(diǎn) 記 1122 OEe OEe 任取 雙曲線 上的點(diǎn) P 若 12 OPaebe a b R 則 a b 滿足的一個(gè)等式是 14 從集合 Ua b c d 的子集中選出 個(gè)不同的子集 需同時(shí)滿足 以下兩個(gè)條件 U 都要選出 對(duì)選出的任意兩個(gè)子集 A B 必有AB 或BA 則共有 種不同的選法 二 選擇題二 選擇題 本大題滿分 20 分 每小題 5 分 15 2 4 xkkZ 是 tan1x 成立的 答 A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分條件 D 既不充分也不必要條件 16 直線l的參數(shù)方程為 1 2 2 xt tR yt 則l的方向向量d 可以是 答 A B C 2 D 2 17 若 0 x是方程 1 3 1 2 x x 的解 則 0 x屬于區(qū)間 答 A 2 3 1 B 1 2 2 3 C 1 3 1 2 D 0 1 3 18 某人要制作一個(gè)三角形 要求它的三條高的長度分別為 11 1 13 11 5 則此人能 答 A 不能做出這樣的三角形 B 做出一個(gè)銳角三角形 C 做出一個(gè)直角三角形 D 做出一個(gè)鈍角三角形 第 12 題圖 第 13 題圖 x O y E1 E2 三 解答題三 解答題 本大題滿分 74 分 19 本題滿分 12 分 19 本題滿分 12 分 已知0 2 x 化簡 2 lg costan12sin lg 2cos lg 1 sin2 24 x xxxx 20 本題滿分 13 分 本題共有 2 個(gè)小題 第一個(gè)小題滿分 5 分 第 2 個(gè)小題滿分 8 分 20 本題滿分 13 分 本題共有 2 個(gè)小題 第一個(gè)小題滿分 5 分 第 2 個(gè)小題滿分 8 分 已知數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 且585 nn Sna nN 1 證明 1 n a 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 n S的通項(xiàng)公式 并求出n為何值時(shí) n S取得最小值 并說明理由 21 本大題滿分 13 分 本題共有 2 個(gè)小題 第 1 小題滿分 5 分 第 2 小題滿分 8 分 21 本大題滿分 13 分 本題共有 2 個(gè)小題 第 1 小題滿分 5 分 第 2 小題滿分 8 分 如圖所示 為了制作一個(gè)圓柱形燈籠 先要制作 4 個(gè)全等的矩形骨架 總計(jì)耗用 9 6 米鐵絲 再用S平 方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面 不安裝上底面 1 當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí) S取得最大值 并求出該 最大值 結(jié)果精確到 0 01 平方米 2 在燈籠內(nèi) 以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn) 安裝一些霓虹燈 當(dāng)燈籠 的底面半徑為 0 3 米時(shí) 求圖中兩根直線 1335 A BA B所在異面 直線所成角的大小 結(jié)果用反三角函數(shù)表示 22 本題滿分 18 分 本題共有 3 個(gè)小題 第 1 小題滿分 3 分 第 2 小題滿分 5 分 第 3 小題滿分 10 分 22 本題滿分 18 分 本題共有 3 個(gè)小題 第 1 小題滿分 3 分 第 2 小題滿分 5 分 第 3 小題滿分 10 分 若實(shí)數(shù)x y m滿足xmym 則稱x比y遠(yuǎn)離m 1 若 2 1x 比 1 遠(yuǎn)離 0 求x的取值范圍 2 對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a b 證明 33 ab 比 22 a bab 遠(yuǎn)離2ab ab 3 已知函數(shù) f x的定義域 24 k Dx xkZ xR 任取xD f x等于sin x和cosx中 遠(yuǎn)離 0 的那個(gè)值 寫出函數(shù) f x的解析式 并指出它的基本性質(zhì) 結(jié)論不要求證明 23 本題滿分 18 分 本題共有 3 個(gè)小題 第 1 小題滿分 3 分 第 2 小題滿分 6 分 第 3 小題滿分 9 分 23 本題滿分 18 分 本題共有 3 個(gè)小題 第 1 小題滿分 3 分 第 2 小題滿分 6 分 第 3 小題滿分 9 分 已知橢圓 的方程為 22 22 1 0 xy ab ab 點(diǎn)P坐標(biāo)為 a b 1 若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M 0 Ab 0 B a滿足 1 2 PMPAPB 求點(diǎn)M的坐標(biāo) 2 設(shè)直線 11 lyk xp 交橢圓 于C D兩點(diǎn) 交直線 22 lyk x 于點(diǎn)E 若 2 12 2 b k k a 證明 E為CD的中點(diǎn) 3 對(duì)于橢圓 的點(diǎn) cos sin 0 Q ab 如果橢圓 上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn) 1 P 2 P 滿足 12 PPPPPQ 寫出求作點(diǎn) 1 P 2 P的步驟 并求出使 1 P 2 P存在的 的取值范圍 上海 2010 年高考數(shù)學(xué) 理科 試題詳解詳析 上海市高境第一中學(xué) 王大平 wdpfox 一 填空題一 填空題 本大題滿分 56 分 每小題 4 分 1 不等式 2 0 4 x x 的解集是 析 解集為 2 4 2 4 2 0 4 2 00 4 x xxxx x 2 若復(fù)數(shù)12zi i 為虛數(shù)單位 則z zz 析 2 51262z zzzzii 3 若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn) 2 0 F的距離與它到直線20 x 的距離相等 則P的軌跡方程為 析 由拋物線定義得 焦點(diǎn)為 2 2 0 48Fpyx 4 行列式 cossin 36 sincos 36 的值是 析 cossin 36 cos 0 36 sincos 36 或直接代值計(jì)算 5 圓 22 244 0C xyxy 的圓心到直線3440 xy 的距離d 析 圓心為 22 314 24 3 3 2 5 1 d 6 隨機(jī)變量 的概率分布率由下圖給出 x 7 8 9 10 px 0 3 0 35 0 2 0 15 則隨機(jī)變量 的均值是 析 隨機(jī)變量 的均值為70 380 3590 2100 158 2 7 2010 年上海世博會(huì)園區(qū)每天 9 00 開園 20 00 停止入園 在右邊的框 圖中 S 表示上海世博會(huì)官方網(wǎng)站在每個(gè)整點(diǎn)報(bào)道的入園總?cè)藬?shù) a 表 示整點(diǎn)報(bào)道前 1 個(gè)小時(shí)內(nèi)入園人數(shù) 則空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入 析 SSa 否 是 開始 T 9 S 0 輸出 T S T 19 T T 1 輸入 a 結(jié)束 第 7 題圖 8 對(duì)任意不等于1的正數(shù)a 函數(shù) log 3 a f xx 的反函數(shù)的圖像都 過點(diǎn)P 則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 析 函數(shù) log 3 a f xx 的圖像恒過點(diǎn) 2 0 由互為反函數(shù)的 圖像的關(guān)系知 點(diǎn)P的坐標(biāo)是 0 2 9 從一副混合后的撲克牌 52 張 中隨機(jī)抽取 1 張 事件A為 抽得紅桃K 事件B為 抽得黑桃 則概率 p AB 結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示 析 事件A 事件B為兩個(gè)獨(dú)立事件 所以有 1137 525226 p ABp Ap B 10 在 n 行 n 列矩陣 12321 23411 34512 12321 nnn nn n nnnn 中 記位于第i行第j列的數(shù)為 1 2 ij a i jn 當(dāng)9n 時(shí) 11223399 aaaa 析 矩陣中的元素經(jīng)過9次元素的輪換 主對(duì)角線上的元素 輪遍 了9個(gè)數(shù)字 故 11223399 12945aaaa 也可將矩陣完整列出 再計(jì)算 11 將直線 2 0lnxyn 3 0lxnyn nN 2n x軸 y軸圍成的封閉圖形的面積記為 n S 則lim n n S 析 依題意 封閉圖形如圖所示 直線 2 0lnxyn 3 0lxnyn nN 2n 恒過定點(diǎn) 1 0 0 1 且其交點(diǎn)為 11 nn P nn nN 2n 當(dāng)n 三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)無限接近 1 1 即limlim 1 nAOBABPAOBP nn SSSS 12 如圖所示 邊長為 的正方形紙片 ABCD 中 AC 與 BD 相 交于 O 剪去AOB 將剩余部分沿 OC OD 折疊 使 OA OB 重合 則以 A B C D O 為頂點(diǎn)的四面體的體積為 第 12 題圖 析 依題意 因 AOODAOOD AOCDO BOOCAOOC 折疊后 面 故四面體 ACDO 的高為 2 42 2 2 AO 所以 28 211 1 2 2 2 2 33 23 A CDORt CDO VSAO 13 如圖所示 直線2x 與雙曲線 2 2 1 4 x y 的漸近線交于 12 E E兩點(diǎn) 記 1122 OEe OEe 任取 雙曲線 上的點(diǎn) P 若 12 OPaebe a b R 則 a b 滿足的一個(gè)等式是 析 依題意 點(diǎn) P 為雙曲線 2 2 1 4 x y 上的點(diǎn) 設(shè) P x y 則 1122 2 1 2 1 OEeOEe 由 12 2 OPaebeab ab 得 2 abPbx ya 代入雙曲線方程得 1 4 ab 14 從集合 Ua b c d 的子集中選出 個(gè)不同的子集 需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件 U 都要選出 對(duì)選出的任意兩個(gè)子集 A B 必有AB 或BA 則共有 種不同的選法 析 依題意 當(dāng)A為單元素集時(shí) 則B含有A中的元素外 還要含有另外三個(gè)中的一個(gè)或兩個(gè) 因此有 112 433 24CCC 種選法 當(dāng)A為雙元素集時(shí) 則B含有A中的元素外 還要含有另 外二個(gè)中的一個(gè) 因此有 21 42 12C C 種選法 所以共有 36 種不同的選法 二 選擇題二 選擇題 本大題滿分 20 分 每小題 5 分 15 2 4 xkkZ 是 tan1x 成立的 答 A A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分條件 D 既不充分也不必要條件 析 2tantan 2 tan1 444 xkkZxk 充分性成立 5 4 x 滿足tan1x 但不滿足 2 4 xkkZ 必要性不成立 16 直線l的參數(shù)方程為 1 2 2 xt tR yt 則l的方向向量d 可以是 答 C A B C 2 D 2 第 13 題圖 x O y E1 E2 析 直線l的方程為 12 21 xy 所以l的方向向量d 是 2 1 也可以是 2 1 17 若 0 x是方程 1 3 1 2 x x 的解 則 0 x屬于區(qū)間 答 C A 2 3 1 B 1 2 2 3 C 1 3 1 2 D 0 1 3 析 將方程變形為 1 3 1 0 2 x f xx 利用二分法原理 用計(jì)算器分別計(jì)算函數(shù) f x在所給 區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)值 選兩者異號(hào)的區(qū)間即可 18 某人要制作一個(gè)三角形 要求它的三條高的長度分別為 11 1 13 11 5 則此人能 答 D A 不能做出這樣的三角形 B 做出一個(gè)銳角三角形 C 做出一個(gè)直角三角形 D 做出一個(gè)鈍角三角形 析 由三角形面積公式知 111111 13 11 5 21321125 abca b c 令13 11 5 0ak bk ck k 由 222 bca 知 角C為鈍角 所以此人能做出一定是鈍角三角形 三 解答題三 解答題 本大題滿分 74 分 19 本題滿分 12 分 19 本題滿分 12 分 已知0 2 x 化簡 2 lg costan12sin lg 2cos lg 1 sin2 24 x xxxx 析 原式 2 22 lg sincos lg 2 cossin lg sincos 22 xxxxxx 2 lg sincos lg sincos lg sincos 0 xxxxxx 20 本題滿分 13 分 本題共有 2 個(gè)小題 第一個(gè)小題滿分 5 分 第 2 個(gè)小題滿分 8 分 20 本題滿分 13 分 本題共有 2 個(gè)小題 第一個(gè)小題滿分 5 分 第 2 個(gè)小題滿分 8 分 已知數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 且585 nn Sna nN 1 證明 1 n a 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 n S的通項(xiàng)公式 并求出n為何值時(shí) n S取得最小值 并說明理由 析 1 證明 當(dāng)2n 時(shí) 111 585 1 585 651 nnnnnnn aSSnanaaa 所以有 1 1 15 6 1 5 1 16 n nn n a aa a 由 11111 1 85 5141150aSaaa 即數(shù)列 1 n a 是首項(xiàng) 1 115a 公比為 5 6 的等比數(shù)列 2 令等比數(shù)列 1 n a 的前 n 項(xiàng)和為 n T 則有 1 5 15 1 65 90 90 56 1 6 5 75 1 15 6 n n nnnn n TSnSTnnnn Nn 因 1 5 75 1 0 6 n nN 故當(dāng) 15 0 Nnn 時(shí) 由計(jì)算器計(jì)算14 15 16n 得 15 n 取得最小值 解法 由 1 知 1 5 115 6 n n a 得 1 5 1 15 6 n n a 從而 1 5 7590 6 n n Sn n N 解不等式 Sn0 即 2222 1 0a kbp 設(shè) C x1 y1 D x2 y2 CD 中點(diǎn)坐標(biāo)為 x0 y0 則 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程組 1 2 yk xp yk x 消 y 得方程 k2 k1 x p 又因?yàn)?2 2 2 1 b k a k 所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 故 E 為 CD 的中點(diǎn) 證法 直線 11 lyk xp 交直線 22 lyk x 于點(diǎn)E 則點(diǎn)E的橫坐標(biāo) 21 E p x kk 由 22222222 11 1 2 2 22 1 2 0ba kxk p yk xp y x a a x a b pb 得 直線 11 lyk xp 交橢圓 于C D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 2 1 222 1 2 CD k pa xx ba k 又 2 12 2 b k k a 所以有 2 111 22222 2 21 1121 1 2 2 CD E xxk pak pk pp x kkba kbk kk k a 因點(diǎn) C D E 在直線 1 l上 所以E為CD的中點(diǎn) 證法 3 設(shè) 1122 C x yD xy 則由 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 可得 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 又 12 1 12 yy k xx 故可得 2 12 2 1 12 1yyb xxa k 而由題意知 2 2 2 1 1b k a k 所以 12 2 12 yy k xx 即 12 2 12 2 2 yy k xx 即線段CD