數(shù)值分析上機實驗報告.doc

結(jié)果分析和討論：1. 用二分法計算方程在1，2內(nèi)的根。(,下同)計算結(jié)果為x= 1.40441513061523；f(x)= -3.797205105904311e-007；k=18；由f(x)知結(jié)果滿足要求，但迭代次數(shù)比較多，方法收斂速度比較慢。2. 用二分法計算方程在1，1.5內(nèi)的根。計算結(jié)果為x= 1.32471847534180；f(x)= 2.209494846194815e-006；k=17；由f(x)知結(jié)果滿足要求，但迭代次數(shù)還是比較多。3. 用Newton法求解下列方程a) x0=0.5；計算結(jié)果為x= 0.56714329040978；f(x)= 2.220446049250313e-016；k=4；由f(x)知結(jié)果滿足要求，而且又迭代次數(shù)只有4次看出收斂速度很快。b) x0=1；c) x0=0.45, x0=0.65； 當x0=0.45時，計算結(jié)果為x= 0.49999999999983；f(x)= -8.362754932994584e-014；k=4；由f(x)知結(jié)果滿足要求，而且又迭代次數(shù)只有4次看出收斂速度很快，實際上該方程確實有真解x=0.5。當x0=0.65時，計算結(jié)果為x= 0.50000000000000；f(x)=0；k=9；由f(x)知結(jié)果滿足要求，實際上該方程確實有真解x=0.5，但迭代次數(shù)增多，實際上當取x00.68時，x1，就變成了方程的另一個解，這說明Newton法收斂與初值很有關(guān)系，有的時候甚至可能不收斂。4. 用改進的Newton法求解，有2重根，取 x0=0.55；并與3.中的c)比較結(jié)果。當x0=0.55時，程序死循環(huán)，無法計算，也就是說不收斂。改時，結(jié)果收斂為x=0.50000087704286；f(x)=4.385198907621127e-007；k=16；顯然這個結(jié)果不是很好，而且也不是收斂至方程的2重根上。當x0=0.85時，結(jié)果收斂為x= 1.00000000000489；f(x)= 2.394337647718737e-023；k=4；這次達到了預(yù)期的結(jié)果，這說明初值的選取很重要，直接關(guān)系到方法的收斂性，實際上直接用Newton法，在給定同樣的條件和精度要求下，可得其迭代次數(shù)k=15，這說明改進后的Newton法法速度確實比較快。結(jié)論： 對于二分法，只要能夠保證在給定的區(qū)間內(nèi)有根，使能夠收斂的，當時收斂的速度和給定的區(qū)間有關(guān)，二且總體上來說速度比較慢。Newton法，收斂速度要比二分法快，但是最終其收斂的結(jié)果與初值的選取有關(guān)，初值不同，收斂的結(jié)果也可能不一樣，也就是結(jié)果可能不時預(yù)期需要得結(jié)果。改進的Newton法求解重根問題時，如果初值不當，可能會不收斂，這一點非常重要，當然初值合適，相同情況下其速度要比Newton法快得多。結(jié)果分析和討論：例 用最小二乘法處理下面的實驗數(shù)據(jù).xi3456789fi2.012.983.505.025.476.027.05并作出的近似分布圖。分別采用一次，二次和五次多項式來擬合數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的擬合多項式為：y1=-0.38643+0.82750x；y2=-1.03024+1.06893x-0.02012x2；y5=-50.75309+51.53527x-19.65947x2+3.66585x3-0.32886x4+0.01137x5；分別作出它們的曲線圖，圖中點劃線為y1曲線，實線為y2曲線，虛線為y5曲線。x為給定的數(shù)據(jù)點。從圖中可以看出并不是多項式次數(shù)越高越好，次數(shù)高了，曲線越能給定點處和實際吻合，但別的地方就很差了。因此，本例選用一次和兩次的多項式擬合應(yīng)該就可以了。結(jié)果分析和討論：本實驗采用函數(shù)進行數(shù)值插值，插值區(qū)間為-1，1，給定節(jié)點為xj=-1+jh,h=0.1，j=0,，n。下面分別給出Lagrange插值，三次樣條插值，線性插值的函數(shù)曲線和數(shù)據(jù)表。圖中只標出Lagrange插值的十次多項式的曲線，其它曲線沒有標出，從數(shù)據(jù)表中可以看出具體的誤差。表中，L10(x)為Lagrange插值的10次多項式，S10(x)，S40(x)分別代表n=10，40的三次樣條插值函數(shù)，X10(x)，X40(x)分別代表n=10，40的線性分段插值函數(shù)。x f(x) L10(x) S10(x) S40(x) X10(x) X40(x) -1.00000000000000 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 -0.95000000000000 0.04244031830239 1.92363114971920 0.04240833151040 0.04244031830239 0.04355203619910 0.04244031830239 -0.90000000000000 0.04705882352941 1.57872099034926 0.04709697585458 0.04705882352941 0.04864253393665 0.04705882352941 -0.85000000000000 0.05245901639344 0.71945912837982 0.05255839923979 0.05245901639344 0.05373303167421 0.05245901639344 -0.80000000000000 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 -0.75000000000000 0.06639004149378 -0.23146174989674 0.06603986172744 0.06639004149378 0.06911764705882 0.06639004149378 -0.70000000000000 0.07547169811321 -0.22619628906250 0.07482116198866 0.07547169811321 0.07941176470588 0.07547169811321 -0.65000000000000 0.08648648648649 -0.07260420322418 0.08589776360849 0.08648648648649 0.08970588235294 0.08648648648649 -0.60000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 -0.55000000000000 0.11678832116788 0.21559187891257 0.11783833017713 0.11678832116788 0.12500000000000 0.11678832116788 -0.50000000000000 0.13793103448276 0.25375545726103 0.14004371555730 0.13793103448276 0.15000000000000 0.13793103448276 -0.45000000000000 0.16494845360825 0.23496854305267 0.16722724315883 0.16494845360825 0.17500000000000 0.16494845360825 -0.40000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 -0.35000000000000 0.24615384615385 0.19058046675376 0.24054799403464 0.24615384615385 0.27500000000000 0.24615384615385 -0.30000000000000 0.30769230769231 0.23534659131080 0.29735691695860 0.30769230769231 0.35000000000000 0.30769230769231 -0.25000000000000 0.39024390243902 0.34264123439789 0.38048738140327 0.39024390243902 0.42500000000000 0.39024390243902 -0.20000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 -0.15000000000000 0.64000000000000 0.67898957729340 0.65746969368431 0.64000000000000 0.62500000000000 0.64000000000000 -0.10000000000000 0.80000000000000 0.84340742982890 0.82052861660828 0.80000000000000 0.75000000000000 0.80000000000000 -0.05000000000000 0.94117647058824 0.95862704866073 0.94832323122810 0.94117647058824 0.87500000000000 0.94117647058824 0 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 0.05000000000000 0.94117647058824 0.95862704866073 0.94832323122810 0.94117647058824 0.87500000000000 0.94117647058824 0.10000000000000 0.80000000000000 0.84340742982890 0.82052861660828 0.80000000000000 0.75000000000000 0.80000000000000 0.15000000000000 0.64000000000000 0.67898957729340 0.65746969368431 0.64000000000000 0.62500000000000 0.64000000000000 0.20000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000 0.25000000000000 0.39024390243902 0.34264123439789 0.38048738140327 0.39024390243902 0.42500000000000 0.39024390243902 0.30000000000000 0.30769230769231 0.23534659131080 0.29735691695860 0.30769230769231 0.35000000000000 0.30769230769231 0.35000000000000 0.24615384615385 0.19058046675376 0.24054799403464 0.24615384615385 0.27500000000000 0.24615384615385 0.40000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.45000000000000 0.16494845360825 0.23496854305267 0.16722724315883 0.16494845360825 0.17500000000000 0.16494845360825 0.50000000000000 0.13793103448276 0.25375545726103 0.14004371555730 0.13793103448276 0.15000000000000 0.13793103448276 0.55000000000000 0.11678832116788 0.21559187891257 0.11783833017713 0.11678832116788 0.12500000000000 0.11678832116788 0.60000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.65000000000000 0.08648648648649 -0.07260420322418 0.08589776360849 0.08648648648649 0.08970588235294 0.08648648648649 0.70000000000000 0.07547169811321 -0.22619628906250 0.07482116198866 0.07547169811321 0.07941176470588 0.07547169811321 0.75000000000000 0.06639004149378 -0.23146174989674 0.06603986172744 0.06639004149378 0.06911764705882 0.06639004149378 0.80000000000000 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.85000000000000 0.05245901639344 0.71945912837982 0.05255839923979 0.05245901639344 0.05373303167421 0.05245901639344 0.90000000000000 0.04705882352941 1.57872099034926 0.04709697585458 0.04705882352941 0.04864253393665 0.04705882352941 0.95000000000000 0.04244031830239 1.92363114971920 0.04240833151040 0.04244031830239 0.04355203619910 0.04244031830239 1.00000000000000 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 從以上結(jié)果可以看到，用三次樣條插值和線性分段插值，不會出現(xiàn)多項式插值是出現(xiàn)的Runge現(xiàn)象，插值效果明顯提高。進一步說，為了提高插值精度，用三次樣條插值和線性分段插值是可以增加插值節(jié)點的辦法來滿足要求，而用多項式插值函數(shù)時，節(jié)點數(shù)的增加必然會使多項式的次數(shù)增加，這樣會引起數(shù)值不穩(wěn)定，所以說這兩種插值要比多項式插值好的多。而且在給定節(jié)點數(shù)的條件下，三次樣條插值的精度要優(yōu)于線性分段插值，曲線的光滑性也要好一些。結(jié)果分析和討論： 進行具體的積分時，精度取R=1e-8。1. 求積分。精確解I= 24999676。運行程序得Romberg積分法的函數(shù)表為1.0e+007 * 4.70101520000000 3.05022950000000 2.63753307500000 2.49996760000000 2.49996760000000 0 2.49996760000000 0 0由函數(shù)表知Romberg積分給出的結(jié)果為2.4999676*107，與精確沒有誤差，精度很高。2. 求積分。精確解I=ln3= 1.09861228866811。運行程序得Romberg積分法的函數(shù)表為1.33333333333333 1.16666666666667 1.11666666666667 1.10321067821068 1.09976770156303 1.09890151516846 1.098684618785591.11111111111111 1.10000000000000 1.09872534872535 1.09862004268048 1.09861278637027 1.09861231999130 01.09925925925926 1.09864037197371 1.09861302227749 1.09861230261625 1.09861228889937 0 01.09863054836600 1.09861258815533 1.09861229119306 1.09861228868164 0 0 01.09861251772313 1.09861229002850 1.09861228867179 0 0 0 01.09861228980593 1.09861228867046 0 0 0 0 01.09861228867019 0 0 0 0 0 0從積分表中可以看出程序運行的結(jié)果為1.09861228867019，取8位有效數(shù)字，滿足要求。3. 求積分。直接按前面方法進行積分，會發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)報錯，出現(xiàn)了0為除數(shù)的現(xiàn)象。出現(xiàn)這種情況的原因就是當x=0時，被積函數(shù)分母出現(xiàn)了0，如果用一個適當?shù)男?shù)（最好不要小于程序給定的最小誤差值，但是不能小于機器的最大精度）來代替，可以避免這個問題。本實驗取，可得函數(shù)表為：0.