2010年高考數(shù)學客觀題中的創(chuàng)新題型賞析.pdf

2010年高考數(shù)學客觀題中的創(chuàng)新題型賞析 441000 湖北省襄樊市第一中學 王 勇 新課程標準要求學生對 新穎的信息 情景和設問 選擇有效的方法和手段收集信息 綜合與靈活地應用所 學的數(shù)學知識 思想和方法 進行獨立思考 探索和探 究 提出解決問題的思路 創(chuàng)造性地解決問題 隨著新 一輪課程改革的深入和推進 高考的改革使知識立意轉 向能力立意 推出了一批新穎而又別致 具有創(chuàng)新意識 和創(chuàng)新思維的新題 本文采擷 2010年高考數(shù)學客觀題 中的創(chuàng)新題型并予以分類賞析 旨在探索題型規(guī)律 揭 示解題方法 1 類比歸納型 類比歸納型創(chuàng)新題給出了一個數(shù)學情景或一個數(shù) 學命題 要求用發(fā)散思維去聯(lián)想 類比 推廣 轉化 找出 類似的命題 或者根據(jù)一些特殊的數(shù)據(jù) 特殊的情況去 歸納出一般的規(guī)律 這是新課程較為重視的類比推理 歸納推理 主要考查學生的觀察 分析 類比 歸納的能 力 從不變中找規(guī)律 從不變中找變化 例 1 2010年陜西 觀察下列等式 1 3 2 3 1 2 2 13 2 3 3 3 1 2 3 2 13 2 3 3 3 4 3 1 2 3 4 2 根據(jù)上述規(guī)律 第四個等式為 解析 觀察前 3個等式發(fā)現(xiàn)左邊的等式分別是從 1 開始的兩個數(shù) 三個數(shù) 四個數(shù)的立方和 等式右邊分別 是這幾個數(shù)和的平方 因此可得第四個等式是 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 1 2 3 4 5 2 15 2 點評 本題主要考查了歸納推理 考查了同學們的 觀察 歸納推理能力 解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)等式左 右兩邊 的規(guī)律 例 2 2010年山東 觀察 x 2 2x x 4 4x 3 cosx sinx 由歸納推理可得 若定義在 R上的函 數(shù) f x 滿足 f x f x 記 g x 為 f x 的導函數(shù) 則 g x 等于 A f x B f x C g x D g x 解析 由已知的三個求導式可歸納推理得到偶函 數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù) 又 f x f x f x 為偶函 數(shù) 所以 g x 是奇函數(shù) 故 g x g x 故選 D 點評 本題考查對歸納推理的理解與應用 以及考 查抽象概括能力 得 1 a1an 1 n 1 an 1an 2 1 a1an 2 n 1 即 an 1 n 1 an 2 n a1 同理得 an n an 1 n 1 a1 n 2 于是 an 1 n 1 an 2 n an n an 1 n 1 而數(shù)列 a1 a2 an 中的 每一項都為正數(shù) 所以 an 1 2 an an 2 n 2 在 1 a1a2 1 a2a3 1 anan 1 1 a1an 1 n中 令 n 2 得 1 a1a2 1 a2a3 1 a1a3 2 所以 a2 2 a1 a3 即 an 1 2 an an 2對任何 n N 都成立 an 是等比數(shù)列 點評 聯(lián)想 3是從等差數(shù)列向等比數(shù)列的類比 結 構形式和證明方法上具有統(tǒng)一性 體現(xiàn)了等差數(shù)列與等 比數(shù)列內在的必然聯(lián)系 聯(lián)想 4 設數(shù)列 a1 a2 an 中的每一項都不為 零 且前 n項和為 Sn 證明 數(shù)列 an 為公比非 1的等比 數(shù)列的充分必要條件是 對任何 n N 都有 Sn kqn k k q是非零的常數(shù) 證明不難 略去 聯(lián)想 5 設數(shù)列 a1 a2 an 中的每一項都不為 零 且前 n項和為 Sn 證明 數(shù)列 an 為公比非 1的等比 數(shù)列的充分 必要 條件是 對任 何 n N 都 有 Sn a1 anq 1 q q是常數(shù) 證明不難 略去 點評 聯(lián)想 4和聯(lián)想 5都是對等比數(shù)列已有的求 和公式進行逆向思考而得到的 以上我們從一道高考題出發(fā) 通過分析研究 多向 求解 廣泛聯(lián)想等方面對其進行全面透視 并通過類比 聯(lián)想得到五條新結論 在整個探究過程中 融觀察 猜 想 證明于一體 數(shù)學規(guī)律的和諧美和統(tǒng)一美盡現(xiàn)其中 這給我們的啟示是 高考題往往具有代表性 典型性 示 范性和拓展性 備考復習中恰當?shù)倪x用 必能收到良好 的教學效果 關鍵在于我們的教師要善于思考 善于發(fā) 掘 善于利用 收稿日期 20100805 43 試題賞析 2010年第 10期 高中版 例 3 2010年浙江 設 n 2 n N 2x 1 2 n 3x 1 3 n a0 a1x a2x 2 anx n 將 a k 0 k n 的最小值記為 Tn 則 T2 0 T3 1 2 3 1 3 3 T4 0 T5 1 2 5 1 3 5 Tn 其中 Tn 解析 根據(jù)已知條件 總 結規(guī)律 進而可 得 Tn 0 1 2 n 1 3 n n為偶數(shù) n為奇數(shù) 點評 本題考查歸納推理知識 若強攻計算 定會陷入 冗繁境地 有悖命題者初衷 例 4 2010年福建 觀察下列等式 cos2 2 cos 2 1 cos4 8 cos 4 8 cos2 1 cos6 32 cos 6 48 cos4 18 cos2 1 cos8 128 cos 8 256 cos6 160 cos4 32 cos2 1 cos10 m cos 10 1280 cos 8 1120 cos 6 n cos 4 p cos 2 1 可以推測 m n p 解析 觀察等式可知 各式右邊 cos 的最高次項的系數(shù) 2 8 32 128構成了公比為 4的等比數(shù)列 故 m 128 4 512 取 0 則 cos 1 cos10 1 代入等式 得 1 m 1280 1120 n p 1 即 n p 350 1 取 3 則 cos 1 2 cos10 1 2 代入等式 得 1 2 m 1 2 10 1280 1 2 8 1120 1 2 6 n 1 2 4 p 1 2 2 1 即 n 4p 200 2 聯(lián)立 1 2 得 n 400 p 50 m n p 512 400 50 962 點評 本題以三角公式為背景 主要考查猜想 歸納推理能力 2 信息遷移型 信息遷移型創(chuàng)新題是指以學生已有的知識為基礎 并給出一定容量的新信息 通過閱讀 從中獲取有關信 息 捕捉解題資料 發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律 找出解決問題的方 法 并應用于新問題的解答 它既能有效地考查學生的 思維品質和學習潛力 又能考查學生的綜合能力和創(chuàng)新 能力 2 1 定義新的概念 例 5 2010年福建 對于平面上的點集 如果連 接 中任意兩點的線段必定包含于 則稱 為平面 上的凸集 給出平面上 4個點集的圖形 如圖 1 如下 陰影區(qū)域及其邊界 圖 1 其中為凸集的是 寫出所有凸集相應圖形 的序號 解析 中的圖形 只需連接最上方的兩個頂點 即可知不滿足凸集的定義 故 中的圖形不是平面上的 凸集 中的圖形上任意兩點的連線必定在此線上 故 中的圖形是平面上的凸集 中的圖形上任意兩點的連 線必定在該圖形上 故 中的圖形是平面上的凸集 中 的圖形 只在兩圓內各取一點 即可知不滿足凸集的定義 故 中的圖形不是平面上的凸集 因此 應填 點評 本題以平面幾何為背景 屬于新定義的信息 遷移題 考查考生的識圖能力以及分析問題 解決問題 的能力 圖 2 例 6 2010年湖北 設 a 0 b 0 稱 2ab a b 為 a b的調 和平均數(shù) 如圖 2 C為線段 AB 上的點 且 AC a CB b O為 AB的中點 以 AB 為直徑作半圓 過點 C作 AB的垂線交 半圓于 D 連接 OD AD BD 過點 C 作 OD 的垂線 垂足 為 E 則圖中線段 OD 的長度是 a b的算術平均數(shù) 線段 的長度是 a b的幾何平均數(shù) 線段的 長度是 a b的調和平均數(shù) 解析 在 Rt ADB 中 DC AB 根據(jù)射影定理有 DC 2 AC CB DC AC CB ab 即線段 DC的長 度是 a b的幾何平均數(shù) 在 Rt DCO 中 CE OD 根據(jù)射影定理有 DC 2 DE DO DE DC 2 DO ab a b 2 2ab a b 即線段 DE的長度是 a b的調和平均數(shù) 點評 本題主要考查考生接受新知識的能力以及 靈活應用平面幾何知識解決問題的能力 例 7 2010年四川 設 S為復數(shù)集 C 的非空子集 若對任意 x y S 都有 x y x y xy S 則稱 S 為封閉 集 下列命題 集合 S a bi a b為整數(shù) i為虛數(shù)單位 為封閉集 44 2010年第 10期 高中版 試題賞析 若 S為封閉集 則一定有 0 S 封閉集一定是無限集 若 S 為封閉集 則滿足 S T C的任意集合 T 也 是封閉集 其中的真命題是 寫出所有真命題的序號 解析 由題意 S a bi a b為整數(shù) i為虛數(shù) 單位 S 為復數(shù)集 若 x y S 則 x y x y及 xy仍為 復數(shù) 故 正確 若 S為封閉集 且存在元素 x S 那么必有 x x 0 S 即一定有 0 S 故 正確 因為 0 是封閉集 且是有限集 故 錯誤 舉特例 若 S 0 T 0 i i 顯然 T 中 i i 1 T T 不是封閉集 故 錯誤 點評 本題考查了集合和復數(shù)的有關概念 元素與 集合的關系 集合與集合的關系等 考查了集合知識的 信息遷移及轉化思想 考查學生分析問題 解決問題的 能力 例 8 2010年湖北 記實數(shù) x1 x2 xn中的最大 數(shù)為 max x1 x2 xn 最小數(shù)為 m in x1 x2 xn 已 知 ABC的三邊邊長為 a b c a b c 定義它的傾斜 度為 l max a b b c c a m in a b b c c a 則 l 1 是 ABC為等邊三角形 的 A 必要而不充分的條件 B 充分而不必要的條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要的條件 解析 當傾斜度等于 1時 ABC未必是等邊三角 形 如取 a b 2 c 3 此時 a b 1 b c 2 3 c a 3 2 max a b b c c a m in a b b c c a 3 2 2 3 1 即 ABC的傾斜度等于 1 但顯然 ABC不是等邊三角形 反過來 當 ABC為等邊三角形時 a b b c c a 1 max a b b c c a m in a b b c c a 1 1 1 即 ABC的傾斜度等于 1 因此 應選 A 點評 本題主要考查考生接受新知識與靈活運用 新知識解決問題的能力 例 9 2010年湖南 若規(guī)定 E a1 a2 a10 的 子集 ai1 ai2 ain 為 E 的第 k個子集 其中 k 2i1 1 2i2 1 2in 1 則 1 a1 a3 是 E的第個子集 2 E 的第 211個子集為 解析 1 由所給的新定義知 k 2 1 1 23 1 2 0 22 5 2 211 2i1 1 2i2 1 2im 1 2i1 2 i2 2im 2 即 2i1 2i2 2 im 422 而 2 9 512 i1 i2 im都小于或等于 8 由于 2 1 2 2 2 4 2 3 8 24 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 經(jīng)計算只有 2 1 2 2 2 5 2 7 2 8 422 即 211 2 1 1 2 2 1 2 5 1 27 1 2 8 1 E的第 211個子集為 a1 a2 a5 a7 a8 點評 本題是一個新定義型試題 構思新穎 亮點明 顯 主要考查學生在新情境下靈活運用新定義分析 解決 問題的能力 解決好本題的關鍵是對新定義的把握 例 10 2010年福建 對于具有相同定義域 D 的函 數(shù) f x 和 g x 若存在函數(shù) h x kx b k b 為常 數(shù) 對任給的正數(shù) m 存在相應的 x0 D 使得當 x D 且 x x0時 總有 0 f x h x m 0 h x g x 1 的四組函數(shù)如下 f x x 2 g x x f x 10 x 2 g x 2x 3 x f x x 2 1 x g x x lnx 1 lnx f x 2x 2 x 1 g x 2 x 1 e x 其中 曲線 y f x 與 y g x 存在 分漸近線 的是 A B C D 解析 第 組函數(shù) 直線 h x 2是 f x 與 g x 的 分漸近線 應排除 A D 第 組函數(shù)不存在 分漸近線 因 f x g x 1 x 1 lnx 當 x x 0 1時 x lnx 0 1 x 1 lnx f x x0 1時 f x h x g x 因此 應排除 B 故選 C 點評 本題以函數(shù)為背景考查學生的極限思想及 推理能力 2 2 約定新的運算 例 11 2010年廣東 在集合 a b c d 上定義兩 種運算 和 如下 abcd aabcd bbbbb ccbcb ddbbd 45 試題賞析 2010年第 10期 高中版 abcd aaaaa babcd cacca dadad 那么 d a c A a B b C c D d 解析 由題所給的新運算得 a c c d a c d c a 故選 A 點評 本題考查新運算的分析與理解能力 主要考 查創(chuàng)新能力與創(chuàng)新意識 先求 a c 再進一步求解即可 例 12 2010 山東 定義平面向量之間的一種運 算 如下 對任意的 a m n b p q 令 a b mq np 下面說法錯誤的是 A 若 a與 b共線 則 a b 0 B a b b a C 對任意的 R 有 a b a b D a b 2 a b 2 a 2 b 2 解析 根據(jù)題意可知若 a與 b 共線 可得 mq np 所以 a b mq np 0 所以 A正確 因為 a b mq np 而 b a np mq 故二者不等 所以 B錯誤 對于任 意的 R a b a b mq np 所以 C正 確 a b 2 a b 2 m 2q2 n 2p2 2mnpq m 2p2 n 2q2 2mnpq m 2 n 2 p 2 q 2 a 2 b 2 所以 D 正確 故選 B 點評 本題是新定義的平面向量問題 難度不大 在解答時主要依靠題目提供的信息和平面向量的知識 就可以輕松完成 2 3 引入新的記號 例 13 2010年陜西 某學校要召開學生代表大 會 規(guī)定各班每 10人推選一名代表 當各班人數(shù)除以 10 的余數(shù)大于 6時再增選一名代表 那么 各班可推選代 表人數(shù) y與該班人數(shù) x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù) y x x 表示不大于 x的最大整數(shù) 可以表示為 A y x 10 B y x 3 10 C y x 4 10 D y x 5 10 解析 特值驗證并結合篩選法 當 x 16時 應推 選 1名代表 而 16 10 1 16 3 10 1 16 4 10 2 16 5 10 2 故排除 C D 當 x 17時 應推選 2 名代 表 而 17 10 1 故排除 A 綜上可知 應選 B 點評 信息遷移題是命題的一個新亮點 重在考查 學生對新知識的學習與理解能力 本題以學生比較熟悉 的推選代表問題為背景 考查構建函數(shù)模型的能力 本 題對選擇題的特殊解法 特值驗證并結合篩選法 考查 的也相當充分 例 14 2010年湖南 用 min a b 表示 a b兩數(shù)中 的最小值 若函數(shù) f x min x x t 的圖象關于 直線 x 1 2對稱 則 t的值為 A 2 B 2 C 1 D 1 圖 3 解析 在 同一 坐標 系 中 分別作出函數(shù) y x 與 y x t 的圖象 如圖 3所 示 由圖象知 f x 的圖象 為圖中的實線部分 A B C O E 由于 f x 的圖象 關于直線 x 1 2 對稱 于 是 t 0 2 1 2 t 1 故選 D 點評 本題主要考查含絕對值符號的函數(shù)圖象的 作法以及函數(shù)圖象的對稱問題 求解本題應首先作出 f x 的圖象 兩函數(shù)圖象中較低的部分 再利用對稱 性 由中點坐標公式求出 t值 例 15 2010 湖南 若數(shù)列 an 滿足 對任意的 n N 只有有限個正整數(shù) m 使得 am n成立 記這樣 的 m的個數(shù)為 an 則得到一個新數(shù)列 an 例 如 若數(shù)列 an 是 1 2 3 n 則數(shù)列 an 是 0 1 2 n 1 已知對任意 的 n N an n 2 則 a5 an 解析 由 an 的定義知 要求 a5 只需尋找滿 足 am 5即 m 2 5的正整數(shù) m 的個數(shù)即可 由于 1 2 1 5 2 2 4 5 故 a5 2 an n 2 計算可知 a1 0 a2 a3 a4 1 a5 a6 a7 a8 a9 2 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 3 a1 1 a2 1 3 4 22 a3 1 3 5 9 3 2 由歸納推理知 an n 2 點評 本題引入新的記號 an 閱讀并領悟其實 質是正確求解的關鍵 46 2010年第 10期 高中版 試題賞析 3 綜合探究型 綜合探究型創(chuàng)新題形式多 難度大 在解答時要通 過分析 探究 抓住有限的或隱含的條件 通過聯(lián)想綜合 性的知識設計出解決問題的方式或探究出解決問題的 數(shù)學思想 是考查學生數(shù)學素養(yǎng)和應用能力的主要和重 要題型 例 16 2010年全國 已知圓 O的半徑為 1 PA PB為該圓的兩條切線 A B為兩切點 那么PA PB的最 小值為 A 4 2 B 3 2 C 4 2 2 D 3 2 2 圖 4 解析 如 圖 4 所示 設 PA PB x x 0 APO 則 APB 2 PO 1 x 2 sin 1 1 x 2 PA PB PA PB cos2 x 2 1 2 sin 2 x 2 x 2 1 x 2 1 x 4 x2 x 2 1 x 2 1 2 3 x2 1 2 x 2 1 x 2 1 2 x 2 1 3 2 2 3 當且僅當 x 2 1 2 x 2 1 即 x 2 1 2 即 x 2 2 1 時 取 號 故PA PB的最小值為 2 2 3 故選 D 點評 本題以直線和圓的位置關系為背景 用平面 向量的數(shù)量積加以 包裝 經(jīng)過轉化化歸 最終利用均 值不等式解決問題 例 17 2010年浙江 設函數(shù)的集合 P f x log2 x a b a 1 2 0 1 2 1 b 1 0 1 平面上 點的集合 Q x y x 1 2 0 1 2 1 y 1 0 1 則在同一直角坐標系中 P中函數(shù) f x 的圖象恰好經(jīng)過 Q中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是 A 4 B 6 C 8 D 10 解析 1 當 a 1 2時 f x log2 x 1 2 b 其定義域為 x x 1 2 f 1 b 1 若 b 1 則 f x 的圖象不過 Q 中的任何一點 不 合題意 若 b 0 則 f x 的圖象只能過 Q 中的一個點 1 1 不合題意 若 b 1 則 f x 的圖象只能過 Q 中的一個點 1 0 不合題意 2 當 a 0時 f x log2x b 其定義域為 x x 0 f 1 2 b 1 f 1 b 若 b 1 則 f x 的圖象只能過 Q 中一個點 1 1 不合題意 若 b 0 則 f x 的圖象恰好過 Q 中的 1 2 1 1 0 兩個點 若 b 1 則 f x 的圖象恰好過 Q 中的 1 2 0 1 1 兩個點 函數(shù) f x log2x f x log2x 1滿足條件 3 當 a 1 2時 f x log 2 x 1 2 b 其定義域 為 x x 1 2 f 0 b 1 f 1 2 b 若 b 1 則 f x 的圖象只能過 Q 中的一個點 1 2 1 不合題意 若 b 0 則 f x 的圖象恰好過 Q 中的 0 1 1 2 0 兩個點 若 b 1 則 f x 的圖象恰好過 Q 中的 0 0 1 2 1 兩個點 函數(shù) f x log2 x 1 2 f x log2 x 1 2 1 滿足條件 4 當 a 1時 f x log2 x 1 b 其定義域為 x x 1 f 1 2 b 1 f 0 b f 1 b 1 若 b 1 則 f x 的圖象恰好過 Q 中的 0 1 1 0 兩個點 若 b 0 則 f x 的圖象過 Q 中的 1 2 1 0 0 1 1 三個點 不合題意 若 b 1 則 f x 的圖象恰好過 Q 中的 1 2 0 0 1 兩個點 函數(shù) f x log2 x 1 1 f x log2 x 1 1滿足條件 綜上所述 滿足條件的函數(shù)有 6個 故選 B 47 試題賞析 2010年第 10期 高中版 點評 本題考查待定系數(shù)法 邏輯分析推理能力及 考生的意志品質 例 18 2010年遼寧 有四根長都為 2的直鐵條 若再選兩根長都為 a的直鐵條 使這六根鐵條端點處相 連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架 則 a的取值范圍是 A 0 6 2 B 1 2 2 C 6 2 6 2 D 0 22 解析 由于本題是選擇題 所以我們不妨采取特殊 值法 在圖 5 1 中 當 AB 平面 BCD 時 a 22 因此 2 2是可以取到的 所以排除 B D 兩項 下面考慮 A C 兩項的情況 在圖 5 2 中 a 是可以無限小的 所以必然 存在 0 a 6 2的部分 據(jù)此可以排除 C項 故選 A 項 圖 5 點評 本題主要考查構成三棱錐的條件 考查空間 想象能力 本題應結合選擇題的特點推理而作 否則冗 繁易錯 例 19 2010年重慶 到兩互相垂直的異面直線的 距離相等的點 在過其中一條直線且平行于另一條直線 的平面內的