人教A版選修11：3.2.2導數(shù)的運算法則 課件（67張）.ppt

第2課時導數(shù)的運算法則 主題導數(shù)的運算法則1 試根據(jù)導數(shù)的定義 寫出下列函數(shù)的導數(shù) 1 若f x x x2 則f x 2 若f x x x2 則f x 3 若f x x3 則f x 提示 1 f x 答案 1 2x 2 f x 1 2x x 1 2x 答案 1 2x 3 f x 3x x 3x2 x 2 3x2 答案 3x2 2 問題1中 若令f x x g x x2 則f x 的導數(shù)與f x g x 的導數(shù)各有什么關系 提示 因為f x 1 g x 2x 故 1 中f x f x g x 2 中f x f x g x 3 中f x f x g x f x g x 結論 1 f x g x 2 f x g x 3 4 cf x f x g x f x g x f x g x cf x 微思考 1 在導數(shù)運算法則中 函數(shù)f x g x 一定有導函數(shù)嗎 提示 一定有導函數(shù) 否則法則不成立 2 根據(jù)兩個函數(shù)和差的導數(shù)運算法則 試著推廣到任意有限個可導函數(shù)的和差 提示 f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x af x bg x af x bg x a b為常數(shù) 3 根據(jù)乘法的導數(shù)法則 試著推廣 f x g x f x g x f x g x 到有限個函數(shù)的積的情形 提示 若y f1 x f2 x fn x 則有y f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x 預習自測 1 函數(shù)y x lnx的導數(shù)是 a xb c lnx 1d lnx x 解析 選c y x lnx x lnx lnx x lnx 1 2 已知函數(shù)f x ax2 c 且f 1 2 則a的值為 a 1b c 1d 0 解析 選a 因為f x ax2 c 所以f x 2ax 又因為f 1 2a 所以2a 2 所以a 1 3 曲線y x3 x在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為 解析 選a 對函數(shù)y x3 x求導得y x2 1 將x 1代入得曲線y x3 x在點處的切線斜率為k 2 故切線方程是y 2 x 1 該切線與坐標軸的交點是故圍成的三角形面積為 4 函數(shù)y 的導數(shù)是 解析 選a y 5 求函數(shù)y 2x2 3 3x 2 的導數(shù)y 解析 y 2x2 3 3x 2 2x2 3 3x 2 4x 3x 2 2x2 3 3 18x2 8x 9 答案 18x2 8x 9 一題多解 因為y 2x2 3 3x 2 6x3 4x2 9x 6 所以y 18x2 8x 9 答案 18x2 8x 9 6 求函數(shù)y x5 x3 x 5的導數(shù) 仿照教材p84例2的解析過程 解析 因為y x5 x3 x 5 5x4 3x2 1 所以函數(shù)y x5 x3 x 5的導數(shù)是y 5x4 3x2 1 類型一導數(shù)的運算法則 典例1 求下列函數(shù)的導數(shù) 1 y x 1 2 x 1 2 y x2sinx 3 y 解析 1 方法一 y x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 3x2 2x 1 方法二 y x2 2x 1 x 1 x3 x2 x 1 y x3 x2 x 1 3x2 2x 1 2 y x2sinx x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 方法總結 應用導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)的技巧 1 對三角式求導要先進行化簡 然后再求導 這樣既減少了計算量 又可少出錯 2 利用代數(shù)恒等變形可以避開對商的形式求導 3 在函數(shù)中有兩個以上的因式相乘時 要注意多次使用積的求導法則 能展開的先展開成多項式 再求導 鞏固訓練 求下列函數(shù)的導數(shù) 1 y 2xcosx 2 y 2x lnx 解析 1 y 2x cosx 2x cosx 2cosx 2xsinx 2 y 2x lnx 2 3 方法一 方法二 因為所以 4 補償訓練 求下列函數(shù)的導數(shù) 1 y excosx 2 y x2 tanx 3 y 2x3 cosx 解析 1 y excosx 所以y ex cosx ex cosx excosx exsinx 2 因為y x2 所以y x2 3 y 2x3 cosx 6x2 sinx 類型二導數(shù)運算法則的應用 典例2 1 已知函數(shù)y f x 的圖象在點 1 f 1 處的切線方程是x 2y 1 0 若g x 則g 1 2 2017 煙臺高二檢測 已知函數(shù)f x x3 x 16 求曲線y f x 在點 2 6 處的切線方程 直線l為曲線y f x 的切線 且經(jīng)過原點 求直線l的方程及切點坐標 解題指南 1 由g x 聯(lián)想商的導數(shù)運算法則 利用條件 在點 1 f 1 處的切線方程為x 2y 1 0 求出f 1 f 1 2 先求出函數(shù)f x 的導數(shù) 由于點在曲線上 可將點的坐標代入求切線的斜率 進而得出切線方程 由于原點不在曲線上 可先設切點坐標 列方程解出切點坐標 再求切線方程 解析 1 選a 由切線方程得1 2f 1 1 0 所以f 1 1 由導數(shù)的幾何意義得f 1 2 因為f x x3 x 16 所以f x 3x2 1 由已知f x x3 x 16 且f 2 23 2 16 6 所以點 2 6 在曲線y f x 上 所以在點 2 6 處的切線的斜率為k f 2 3 22 1 13 所以切線方程為 y 6 13 x 2 即13x y 32 0 方法一 設切點為 x0 y0 則直線l的斜率為f x0 3x02 1 所以直線l的方程為 y y0 3x02 1 x x0 即 y x03 x0 16 3x02 1 x x0 又因為切線l過原點 所以0 x03 x0 16 3x02 1 x0 整理得 x03 8 所以x0 2 所以y0 2 3 2 16 26 斜率k 3 2 2 1 13 所以切線的方程為y 26 13 x 2 化簡得 13x y 0 切點坐標為 2 26 方法二 設直線l的方程為y kx 切點為 x0 y0 則又因為k f x0 3x02 1 所以 3x02 1 解得x0 2 所以y0 2 3 2 16 26 斜率k 3 2 2 1 13 所以切線的方程為y 26 13 x 2 化簡得 13x y 0 切點坐標為 2 26 延伸探究 1 若本例 2 條件不變 試判定函數(shù)圖象上哪一點處的切線斜率最小 解析 因為f x x3 x 16 所以f x 3x2 1 1 即當x 0時 切線的斜率最小 此時點的縱坐標y 16 因此 當切線的斜率最小時 切點的坐標為 0 16 2 若過本例 2 曲線上某點處的切線平行于直線4x y 1 0 求切點的坐標 解析 因為f x x3 x 16 所以f x 3x2 1 設切點為 x0 y0 則過切點處的切線的斜率為k 3x02 1 又此切線平行于直線4x y 1 0 所以3x02 1 4 所以x0 1 當x0 1時 y0 14 當x0 1時 y0 18 所以切點坐標為 1 14 或 1 18 方法總結 求曲線在某一點處切線方程的一般步驟 1 先判斷給出的點 x0 y0 是否在曲線上 如果在曲線上 則它是切點 否則不是 此時設切點坐標為 x1 y1 2 求切線的斜率 如果點 x0 y0 是切點 則切線斜率為f x0 若 x0 y0 不是切點 則切線斜率k f x1 3 利用點斜式方程 求出切線方程 補償訓練 若曲線y xlnx上點p處的切線平行于直線2x y 1 0 則點p的坐標是 解析 由題意得y lnx x 1 lnx 直線2x y 1 0的斜率為2 設p m n 則1 lnm 2 解得m e 所以n elne e 即點p的坐標為 e e 答案 e e 類型三導數(shù)公式及運算法則的綜合應用 典例3 1 如圖是函數(shù)y f x 的圖象 直線l y kx 2是圖象在x 3處的切線 令g x xf x 則g 3 a 1b 0c 2d 4 2 2016 天津高考 已知函數(shù)f x 2x 1 ex f x 為f x 的導函數(shù) 則f 0 的值為 解題指南 1 先利用導數(shù)的幾何意義求出y f x 在x 3處的導數(shù) 再利用導數(shù)公式求出g 3 2 求出f x 代入x 0即可 解析 1 選b 由題意直線l y kx 2是曲線y f x 在x 3處的切線 由圖象可知其切點為 3 1 代入直線方程得k 所以f 3 故g x xf x x f x xf x f x xf x 所以g 3 f 3 3f 3 1 3 0 2 因為f x 2x 3 ex 所以f 0 3 答案 3 延伸探究 若本例 2 中的條件不變 則f 2 的值是多少 解析 由 2 的解析可知f 2 4 3 e2 7e2 方法總結 利用導數(shù)幾何意義及運算法則解決綜合問題的策略 1 求某點處的導數(shù)值 分清該點是否為切點 若為切點利用導數(shù)的幾何意義求值 2 求范圍 注意導數(shù)就是切線斜率 切線斜率與傾斜角的關系 求傾斜角的范圍可先求導數(shù)的范圍 鞏固訓練 已知曲線方程f x sin2x 2ax x r 若對任意實數(shù)m 直線l x y m 0都不是曲線y f x 的切線 則a的取值范圍是 a 1 1 0 b 1 0 c 1 0 0 d a r且a 0 a 1 解析 選b f x 2sinxcosx 2a sin2x 2a 直線l的斜率為 1 由題知關于x的方程sin2x 2a 1無解 所以 2a 1 1 所以a0 補償訓練 已知點p在曲線y 上 為曲線在點p處的切線的傾斜角 則 的取值范圍是 解析 選d 函數(shù)導數(shù)y 因為ex 2 所以y 1 0 所以 拓展類型 曲線的公切線 典例 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f x x2 2ax g x 3a2lnx b a 0 設兩曲線f x g x 有公共點 且在公共點處的切線相同 1 若a 1 求b的值 2 試寫出b關于a的函數(shù)關系式 解題指南 注意轉化先設公共點的坐標 利用切點處的導數(shù)相等建立關系式 解析 1 因為y f x 與y g x x 0 在公共點 x0 y0 處的切線相同 且f x x 2 g x 由題意知f x0 g x0 f x0 g x0 所以由x0 2 得x0 1或x0 3 舍去 即有b 2 因為y f x 與y g x x 0 在公共點 x0 y0 處的切線相同 且f x x 2a g x 由題意知f x0 g x0 f x0 g x0 即 解得x0 a或x0 3a 舍去 所以b a2 3a2lna a 0 方法總結 曲線公切線問題解決思路1 切點處的導數(shù)值 公切點處的導數(shù)值相等 2 切點處的函數(shù)值 公切點處對應函數(shù)值相等 鞏固訓練 若曲線f x x2與曲線g x alnx在它們的公共點p s t 處具有公共切線 則實數(shù)a a 2b c 1d 2 解析 選c