2011年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——立體幾何與平面幾何.doc

立體幾何與平面幾何安徽理(6)一個(gè)空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖44112第6題圖 （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80(6)C【命題意圖】本題考查三視圖的識(shí)別以及空間多面體表面積的求法.【解析】由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，兩底面積和為，四個(gè)側(cè)面的面積為，所以幾何體的表面積為.故選C.（17）（本小題滿分12分）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，都是正三角形。（）證明直線；（）求梭錐的體積。解：（）設(shè)是線段和線段延長(zhǎng)線的交點(diǎn)。由于與都是正三角形，所以：；同理，是線段和線段延長(zhǎng)線的交點(diǎn)。有，又由于和都在線段的延長(zhǎng)線上，所以和重合。在和中，由和,可知分別是和的中點(diǎn)，所以是的中位線，故。（）由知，而是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故,所以；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由于平面平面知，就是四棱錐的高，且，所以。安徽文沒(méi)有新題北京理5.如圖，AD、AE、BC分別與圓O切于點(diǎn)D、E、F，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G，給出下列三個(gè)結(jié)論：； .其中正確的結(jié)論的序號(hào)是( )A B C D【解析】：正確。由條件可知，BD=BF，CF=CE，可得。正確。通過(guò)條件可知，AD=AE。由切割定理可得。CBGAODEF錯(cuò)誤。連接FD（如下圖），若，則有。通過(guò)圖像可知，因而錯(cuò)誤。答案選A.7.某四面體三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是A. B. C. D. 【解析】由三視圖還原幾何體如下圖，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是PAC，面積為10，選C。16.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，.（1）求證：平面PAC；（2）若，求PB與AC所成角的余弦值；（3）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).16（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng).【解析】，與共線可得k=1。（16）（共14分）證明：（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻A平面ABCD.所以PABD，所以BD平面PAC.（）設(shè)ACBD=O.因?yàn)锽AD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則.（）由（）知設(shè)P（0，t）（t0），則設(shè)平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量，因?yàn)槠矫鍼CB平面PDC,所以=0，即，解得，所以PA=。北京文（5）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是A. 32 B.C. 48D. ABPGFEDCB（17）（本小題共14分）如圖，在四面體中，,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)。（I）求證：平面；（II）求證：四邊形為矩形；（III）是否存在點(diǎn),到四面體六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由。證明：（I）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以;又平面，所以平面（II）因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形又所以，所以四邊形為矩形。（III）存在點(diǎn)滿足條件，理由如下：連接,設(shè)為的中點(diǎn)，由（II）知，且,與（II）同理可證四邊形為矩形,其對(duì)角線的交點(diǎn)為的中點(diǎn),且，所以為滿足條件的點(diǎn)。福建理12.三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P-ABC的體積等于_。20（本小題滿分14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求證：平面PAB平面PAD；（II）設(shè)AB=AP （i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長(zhǎng)； （ii）在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說(shuō)明理由。20本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據(jù)能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分14分。解法一：（I）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則在中，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）設(shè)平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因?yàn)锳D），所以（ii）假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，設(shè)G（0，m，0）（其中）則，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化簡(jiǎn)得（3）由于方程（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，C，D的距離都相等。從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于E，則。在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則在中，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t），由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，設(shè)平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因?yàn)锳D），所以（ii）假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，由GC=CD，得，從而，即設(shè)，在中，這與GB=GD矛盾。所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)B，C，D的距離都相等，從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。福建文15如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于 。20.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點(diǎn)E在線段AD上，CEAB。（）求證：CE平面PAD；（）若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱錐PABCD的體積20本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分12分 （I）證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)橛炙云矫鍼AD。（II）由（I）可知，在中，DE=CD又因?yàn)?，所以四邊形ABCE為矩形，所以又平面ABCD，PA=1，所以廣東理7如圖l3某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為 A. B. C. D.解析:由該幾何體的三視圖可各該幾何體是一個(gè)平行六面體,底面是以3為邊長(zhǎng)的正方形,該六面體的高15.（幾何證明選講選做題）如圖4，過(guò)圓外一點(diǎn)分別作圓 的切線和割線交圓于,且，是圓上一點(diǎn)使得，則 .18. （本小題滿分13分）如圖5，在椎體中，是邊長(zhǎng)為1的棱形，且,分別是的中點(diǎn)，（1）證明：;（2）求二面角的余弦值. 注: 本題也可以,繼而可證明第(1)問(wèn),并可進(jìn)一步得到AD,DE,DF兩兩垂直,從而建立空間直角坐標(biāo)系,再解決第(2)問(wèn).總的說(shuō)來(lái),本題用傳統(tǒng)方法,還更簡(jiǎn)單.廣東文9如圖1-3，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為 CA B4 C D215（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形ABCD中，ABCD，AB=4，CD=2E,F分別為AD，BC上點(diǎn)，且EF=3，EFAB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為 7：518（本小題滿分13分）圖5所示的集合體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過(guò)軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的A，A，B，B分別為,的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)G為A A中點(diǎn)，延長(zhǎng)到H，使得證明：18（本小題滿分13分）證明：（1）中點(diǎn)，連接BO2直線BO2是由直線AO1平移得到共面。 （2）將AO1延長(zhǎng)至H使得O1H=O1A，連接/由平移性質(zhì)得=HB，湖北理14如圖，直角坐標(biāo)系所在的平面為，直角坐標(biāo)系（其中軸一與軸重合）所在的平面為，。（）已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)為 ；（）已知平面內(nèi)的曲線的方程是，則曲線在平面內(nèi)的射影的方程是 。（2，2），18（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合（）當(dāng)=1時(shí)，求證：；（）設(shè)二面角的大小為，求的最小值18本小題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。（滿分12分） 解法1：過(guò)E作于N，連結(jié)EF。 （I）如圖1，連結(jié)NF、AC1，由直棱柱的性質(zhì)知， 底面ABC側(cè)面A1C。 又度面?zhèn)让鍭，C=AC，且底面ABC， 所以側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，在中，=1，則由，得NF/AC1，又故。由三垂線定理知。（II）如圖2，連結(jié)AF，過(guò)N作于M，連結(jié)ME。由（I）知側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得所以是二面角CAFE的平面角，即，設(shè)，在中，在故又故當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值；，此時(shí)F與C1重合。解法2：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得于是則故（II）設(shè)，平面AEF的一個(gè)法向量為，則由（I）得F（0，4，），于是由可得取 又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個(gè)法向量為， 于是由為銳角可得， 所以， 由，得，即 故當(dāng)，即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí)，取得最小值湖北文7.設(shè)球的體積為，它的內(nèi)接正方體的體積為，下列說(shuō)法中最合適的是（ ）DA. 比大約多一半；B. 比大約多兩倍半；C. 比大約多一倍；D. 比大約多一杯半18. （本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱-的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E在側(cè)棱上，點(diǎn)F在側(cè)棱上，且,.(I) 求證：；(II) 求二面角的大小。18本小題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角的求法，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力。（滿分12分）解法1：（）由已知可得于是有，所以又由 （）在中，由（）可得于是有EF2+CF2=CE2，所以又由（）知CF C1E，且，所以CF 平面C1EF，又平面C1EF，故CF C1F。于是即為二面角ECFC1的平面角。由（）知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角ECFC1的大小為。解法2：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得 （）， （），設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為由即設(shè)側(cè)面BC1的一個(gè)法向量為設(shè)二面角ECFC1的大小為，于是由為銳角可得332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1，所以即所求二面角ECFC1的大小為。湖南理3設(shè)圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A答案：D解析：有三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和球構(gòu)成的組合體，其體積。11.如圖2，是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑，,垂足為D, 與相交與點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為 。答案：；解析：由題可知，,得,，又，所以.19.（本題滿分12分）如圖5，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)（I）證明：（II）求二面角的余弦值解：（I）連接，因?yàn)?為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)閮?nèi)的兩條相交直線，所以而，所以。（II）在平面中，過(guò)作于，由（I）知，,所以又所以.在平面中，過(guò)作連接,則有，從而，所以是二面角的平面角在,在在,；,所以。故二面角的余弦值為。湖南文19（本題滿分12分）如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)（I）證明：（II）求直線和平面所成角的正弦值解析：（I）因?yàn)橛謨?nèi)的兩條相交直線，所以（II）由（I）知，又所以平面在平面中，過(guò)作則連結(jié)，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角在，在。江蘇16.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF/平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.答案：（1）因?yàn)镋、F分別是AP、AD的中點(diǎn)，又直線EF/平面PCD（2）連接BD為正三角形 F是AD的中點(diǎn)，又平面PAD平面ABCD，所以，平面BEF平面PAD.解析：本題主要考查空間想象能力和推理論證能力、考查平面的表示,直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定及性質(zhì)，容易題.附加：A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，其半徑分別為與（）圓的弦交圓于點(diǎn)（不在上）求證：為定值A(chǔ)選修4-1：幾何證明選講本小題主要考查兩圓內(nèi)切、相似比等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，滿分10分。證明：連結(jié)AO1，并延長(zhǎng)分別交兩圓于點(diǎn)和點(diǎn)連結(jié)BD、CE，因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑。從而，所以BD/CE，于是，所以AB：AC為定值。江西理8. 已知 ，是三個(gè)相互平行的平面，平面 ，之間的距離為，平面，之間的距離為，直線與 ，分別相交于 ，那么“”是“”的A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)不難推出，同時(shí)當(dāng)時(shí)也可以推出，“”是“”的充分必要條件21. （本小題滿分14分）（1）如圖，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿足，求該正四面體的體積.【解析】oNMzxy（1）如圖所示，取的三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)，作平面，過(guò)三點(diǎn)，作平面，因?yàn)?所以平面平面，再過(guò)點(diǎn)，分別作平面，與平面平行，那么四個(gè)平面，依次相互平行，由線段被平行平面，截得的線段相等知，期中每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故，為所求平面.（2）解法一：當(dāng)（1）中的四面體為正四面體，若所得的四個(gè)平行平面，每相鄰兩平面之間的距離為1，則正四面體就是滿足題意的正四面體.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，以的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為軸，直線為軸建立如圖的右手直角坐標(biāo)系，則，令，為的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，,所以，設(shè)平面的法向量為，有，即所以，.因?yàn)?，相鄰平面之間的距離為1，所以點(diǎn)到平面的距離：，解得，由此可得，邊長(zhǎng)為的正四面體滿足條件.所以所求正四面體的體積.()解法二：如圖，現(xiàn)將此正四面體置于一個(gè)正方體中，（或者說(shuō)，在正四面體的四個(gè)面外側(cè)各鑲嵌一個(gè)直角正三棱錐，得到一個(gè)正方體），分別是，的中點(diǎn)，和是兩個(gè)平行平面，若其距離為1，則正四面體即為滿足條件的正四面體.右圖是正方體的上底面，現(xiàn)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，若，則有，據(jù)，得，于是正四面體的棱長(zhǎng)，其體積.（即等于一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體割去四個(gè)直角正三棱錐后的體積）江西文9.將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左視圖為（ ） 答案：D 左視圖即是從正左方看，找特殊位置的可視點(diǎn)，連起來(lái)就可以得到答案。遼寧理8如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是 DAACSB；BAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角12已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，則棱錐SABC的體積為 CA B CD115一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是 22（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC=ED （I）證明：CD/AB； （II）延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓22解： （I）因?yàn)镋C=ED，所以EDC=ECD.因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以EDC=EBA.故ECD=EBA，所以CD/AB. 5分 （II）由（I）知，AE=BE，因?yàn)镋F=FG，故EFD=EGC從而FED=GEC.連結(jié)AF，BG，則EFAEGB，故FAE=GBE，又CD/AB，EDC=ECD，所以FAB=GBA.所以AFG+GBA=180.故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓 10分遼寧文10已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2，ASC=BSC=45，則棱錐S-ABC的體積為 CA B C D18（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：PQ平面DCQ；（II）求棱錐QABCD的的體積與棱錐PDCQ的體積的比值18解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形因?yàn)镼A平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，則PQQD所以PQ平面DCQ. 6分 （II）設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的高，所以棱錐QABCD的體積由（I）知PQ為棱錐PDCQ的高，而PQ=，DCQ的面積為，所以棱錐PDCQ的體積為故棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值為1.12分全國(guó)理（6）在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的俯視圖可以為 D（15）已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 。（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，分別為的邊，上的點(diǎn)，且不與的頂點(diǎn)重合。已知的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。（）證明：，四點(diǎn)共圓；（）若，且，求，所在圓的半徑。（22）解：（I）連接DE，根據(jù)題意在ADE和ACB中， ADAB=mn=AEAC, 即.又DAE=CAB,從而ADEACB 因此ADE=ACB 所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓。（）m=4, n=6時(shí)，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于A=900，故GHAB, HFAC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5全國(guó)文(7) 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為 （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2B(15)一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的_(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))三棱錐 四棱錐 三棱柱 四棱柱 圓錐 圓柱（18）（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，,垂足為，是四棱錐的高。（）證明：平面 平面;（）若,60,求四棱錐的體積。(2)因?yàn)锳BCD為等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=.因?yàn)锳PB=ADR=600，所以PA=PB=,HD=HC=1.，可得PH=.等腰梯形ABCD的面積為S=AC x BD = 2+. .9分所以四棱錐的體積為V=x（2+）x= .12分全國(guó)理（6）已知直二面角, 點(diǎn)A，AC,C為垂足，B，BD，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于(A) (B) (C) (D)1【答案】：C【命題意圖】：本小題主要考查面面垂直的性質(zhì)及點(diǎn)到面的距離的求法。【解析】：如圖，因?yàn)槎娼鞘侵倍娼牵珹C，所以AC，面，過(guò)作于，則，即為D到平面ABC的距離。在中，在中，（11）已知平面截一球面得圓M,過(guò)圓心M且與成二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為，則圓N的面積為 (A) (B) (C) (D) 【答案】：D【命題意圖】：本小題主要考查了球及球的截面的相關(guān)知識(shí)?！窘馕觥浚喝鐖D：，由的面積為，故在，在(16)已知E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于_.【答案】：【命題意圖】：本小題主要考查了無(wú)棱二面角的作法及求法。【解析】：連并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連，過(guò)作，連，則由三垂線定理知為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角.易求得.（19）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）如圖，棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，=2，=1. （）證明：平面；（）求與平面所成的角的大小.【命題立意】：本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及線面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力.【解析】：（）證明：連 又 取的中點(diǎn)，連，則又，,又 故平面. （）過(guò)作，過(guò)作，連，則，與平面所成的角為與平面所成的角。由（）有，又，故即為所求。在中， .全國(guó)文(15)己知正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為等于 .來(lái)【答案】【解析】取的中點(diǎn)，為所求角，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，山東理主（正）視圖俯視圖11.下圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形給定下列三個(gè)命題：存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖其中真命題的個(gè)數(shù)是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】對(duì)于,可以是放倒的三棱柱；容易判斷可以.19.（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ACB=，平面，EF，.=.（)若是線段的中點(diǎn)，求證：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)連結(jié)AF,因?yàn)镋F，EF=F,所以平面EFG平面ABCD,又易證,所以,即,即,又M為AD的中點(diǎn),所以,又因?yàn)镈，所以M,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故GMFA,又因?yàn)槠矫?FA平面,所以平面.（）取AB的中點(diǎn)O,連結(jié)CO,因?yàn)?所以COAB,又因?yàn)槠矫?，CO平面,所以CO,又AB=A,所以CO平面,在平面ABEF內(nèi),過(guò)點(diǎn)O作OHBF于H,連結(jié)CH,由三垂線定理知: CHBF,所以為二面角-的平面角.設(shè)=,因?yàn)锳CB=，=,CO=,連結(jié)FO,容易證得FOEA且,所以,所以O(shè)H=,所以在中,tanCHO=,故CHO=,所以二面角-的大小為.山東文19（本小題滿分12分）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面是平行四邊形，60（）證明：；（）證明：19（I）證法一：因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，所以，又因?yàn)锳B=2AD，在中，由余弦定理得，所以，因此，又所以又平面ADD1A1，故證法二：因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，所以，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，在中，由AB=2AD得AG=AD，又，所以為等邊三角形。因此GD=GB，故，又，所以平面ADD1A1，又平面ADD1A1，故 （II）連接AC，A1C1，設(shè)，連接EA1因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以由棱臺(tái)定義及AB=2AD=2A1B1知A1C1/EC且A1C1=EC，所以邊四形A1ECC1為平行四邊形，因此CC1/EA1，又因?yàn)镋A平面A1BD，平面A1BD，所以CC1/平面A1BD。陜西理5某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是 （ ）（A） （B）（C）（D）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關(guān)幾何體體積公式進(jìn)行計(jì)算【精講精析】選A 由幾何體的三視圖可知幾何體為一個(gè)組合體，即一個(gè)正方體中間去掉一個(gè)圓錐體，所以它的體積是.B（幾何證明選做題）如圖，B=D，且AB=6，AC=4，AD=12，則BE= 【分析】尋找兩個(gè)三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解【解】因?yàn)?，所以AEB=，又因?yàn)锽=D，所以AEBACD，所以,所以，在RtAEB中，【答案】陜西文15B（幾何證明選做題）如圖，B=D，且AB=6，AC=4，AD=12，則AE= 【分析】尋找兩個(gè)三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解【解】因?yàn)?，所以AEB=，又因?yàn)锽=D，所以AEBACD，所以,所以【答案】216. （本小題滿分12分）如圖，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90，（1）證明：平面平面；（2）設(shè)BD=1，求三棱錐D的表面積?！痉治觥浚?）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長(zhǎng)度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算【解】（1）折起前是邊上的高，當(dāng)折起后，AD，AD，又DB，平面，又AD 平面BDC.平面ABD平面BDC（2）由（1）知，DA,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,三棱錐D的表面積是上海理7.若圓錐的側(cè)面積為，底面面積為，則該圓錐的體積為 . 21（14分）已知是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，是和的交點(diǎn)。（1）設(shè)與底面所成的角的大小為，二面角的大小為。求證：；（2）若點(diǎn)到平面的距離為，求正四棱柱的高。21解：設(shè)正四棱柱的高為。 連，底面于， 與底面所成的角為，即 ，為中點(diǎn)，又， 是二面角的平面角，即 ，。 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，有設(shè)平面的一個(gè)法向量為， ，取得 點(diǎn)到平面的距離為，則。上海文已知是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，高，求（1）異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）四面體的體積.20、解： 連， ， 異面直線與所成角為，記， 異面直線與所成角為。 連，則所求四面體的體積。四川理3，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（A），（B），（C），共面（D），共點(diǎn)，共面答案：B解析：由，根據(jù)異面直線所成角知與所成角為90，選B15如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是_答案：2R2解析：如圖，設(shè)求的一條半徑與圓柱相應(yīng)的母線夾角為，則圓柱的側(cè)面積，當(dāng)時(shí)，S取最大值，此時(shí)球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為19（本小題共l2分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1平面BDA（I）求證：CD=C1D：（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； （）求點(diǎn)C到平面B1DP的距離19解析：（1）連接交于,又為的中點(diǎn)，中點(diǎn)，,D為的中點(diǎn)。（2）由題意,過(guò)B 作,連接，則,為二面角的平面角。在中，,則（3）因?yàn)椋?在中，四川文15如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是_答案：32解析：如圖，設(shè)球一條半徑與圓柱相應(yīng)的母線夾角為，圓柱側(cè)面積，當(dāng)時(shí)，S取最大值，此時(shí)球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為19（本小題共l2分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P，使C1PA1C1，連接AP交棱CC1于D（）求證：PB1平面BDA1；（）求二面角AA1DB的平面角的余弦值；本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的能力解法一：（）連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，C1D平面AA1，A1C1AP，AD=PD，又AO=B1O，ODPB1，又OD面BDA1，PB1面BDA1，PB1平面BDA1（）過(guò)A作AEDA1于點(diǎn)E，連結(jié)BEBACA，BAAA1，且AA1AC=A，BA平面AA1C1C由三垂線定理可知BEDA1BEA為二面角AA1DB的平面角在RtA1C1D中，又，在RtBAE中，故二面角AA1DB的平面角的余弦值為解法二：如圖，以A1為原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1B1C1A，則，（）在PAA1中有，即，設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為，則令，則，PB1平面BA1D，（）由（）知，平面BA1D的一個(gè)法向量又為平面AA1D的一個(gè)法向量故二面角AA1DB的平面角的余弦值為天津理12一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為【解】幾何體是由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成設(shè)幾何體的體積為，正四棱錐的體積為，長(zhǎng)方體的體積為則14如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)若，則的值為【解】因?yàn)樗倪呅问菆A的內(nèi)接四邊形，所以，又，所以于是因?yàn)?，所以，從而，于是?9（本小題滿分分）如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是棱，上的點(diǎn)，（）求異面直線與所成的角的余弦值；（）證明：；（）求二面角的正弦值【解】解法1如圖所示，建立空間坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)，由，知，于是，（），于是由于異面直線所成的角的范圍是，所以異面直線與所成的角的余弦值為（），則，于是，又，所以（）設(shè)平面的法向量，則即取，則，由（）可知，為平面的一個(gè)法向量，又所以，從而所以二面角的正弦值為解法2設(shè)，由，知，（）連接，設(shè)與交于點(diǎn)，易知由，所以所以是異面直線與所成的角因?yàn)?，所以由余弦定理有所以異面直線與所成的角的余弦值為（）連接，設(shè)與交于點(diǎn)因?yàn)?，所以從而又由于，所以因此又因?yàn)椋?，所以從而連接，同理可證，從而，所以因?yàn)?，所以（）連接由（）可知又，所以因此為二面角的平面角易知，則，又，所以在中，在中，。連接，在中，。在中，所以。所以二面角的正弦值為天津文12題圖11如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)若，則的值為【解】因?yàn)樗倪呅问菆A的內(nèi)接四邊形，所以，又，所以于是因?yàn)?，所以?2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為【解】設(shè)幾何體的體積為，則 19（本小題滿分分）如圖，在五面體中，四邊形是正方形，（）求異面直線與所成的角的余弦值；（）證明：；（）求二面角的正切值【解】（）因?yàn)樗倪呅问钦叫危怨蕿楫惷嬷本€與所成的角因?yàn)?，所以故在中，所以因此所以異面直線與所成的角的余弦值為（）過(guò)點(diǎn)作，交于，則，又，所以從而又，且所以（）由（）及已知，可得，即為的中點(diǎn)取的中點(diǎn)，連接則因?yàn)?，所以過(guò)點(diǎn)作，交于則為二面角的平面角連接，可得所以，從而由已知可得由，可得在中，所以二面角的正切值為浙江理3下列命題中錯(cuò)誤的是 DA如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面平面，平面平面，那么平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面14已知一個(gè)球的球心到過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面的距離等于此球半徑的一半，若，則球的體積為 . 20（本小題滿分15分）如圖，在平面內(nèi)直線EF與線段AB相交于C點(diǎn)，BCF，且AC = CB = 4，將此平面沿直線EF折成的二面角EF，BP平面，點(diǎn)P為垂足. （） 求ACP的面積； （） 求異面直線AB與EF所成角的正切值. BAFCECBPAEF（第20題圖）20（本小題滿分15分）方法一： （）解：如圖，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PMEF，點(diǎn)M為垂足，連結(jié)BM，則BMP為二面角EF的平面角. 以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線PM為x軸，射線PB為z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz.在RtBMC中,由BCM，CB = 4，得 CM =，BM =2.在RtBMP中,由BMP，BM =2，得MP = 1，BP =.故P（0,0,0），B（0，0,），C（1,，0），M（1,0,0）.由ACM，得A（1,4，0）.所以= （1,0），= （2,0）,則10, cosACP = , sinACP = .因此SACP. 7分 （）解：（1,4,），（0,2,0）,24,cos=, 所以AB與EF所成角的正切值為. 15分方法二：CBPAEMQF （）解：如圖，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PMEF，點(diǎn)M為垂足,連結(jié)BM，則BMP為二面角EF的平面角.在RtBMC中,由BCM，CB = 4，得CM =，BM=2.在RtBMP中,由BMP，BM=2，得MP=1.在RtCMP中,由CM =，MP=1，得CP=， cosPCM， sinPCM =.故 sinACP = sin（PCM）. 所以SACP. 7分 （）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AQEF，交MP于點(diǎn)Q ,則BAQ是AB與EF所成的角，且AQ平面BMQ .在BMQ中, 由BMQ，BMMQ2，得 BQ = 2.在RtBAQ中, 由AQACCM 4，BQ = 2，得tanBAQ =. 因此AB與EF所成角的正切值為. 15分浙江文（4）若直線不平行于平面，且，則 BA內(nèi)的所有直線與異面 B內(nèi)不存在與平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與平行 D內(nèi)的直線與都相交（7）幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是 B （20）（本題滿分14分）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面，垂足落在線段上（）證明：；（）已知，求二面角的大?。?0）本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力。滿分14分。 （）證明：由AB=AC，D是BC中點(diǎn)，得，又平面ABC，得因?yàn)椋云矫鍼AD，故 （）解：如圖，在平面PAB內(nèi)作于M，連CM。因?yàn)槠矫鍮MC，所以APCM。故為二面角BAPC的平面角。在，在，在中，所以在又故，同理，因?yàn)樗?，即二面角BAPC的大小為重慶理（9）高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上