立體幾何線面角二面角解答題練習(xí).doc

立體幾何線面角二面角解答題練習(xí)1四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知ABC45，AB2，BC=2，SASB。()證明：SABC；()求直線SD與平面SAB所成角的大小；解答：解法一：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面因?yàn)?，所以，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，DBCAS解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為解法二：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面DBCAS因?yàn)?，所以又，為等腰直角三角形，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，所以（）取中點(diǎn)，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，所以，直線與平面所成的角為AEBGDFCAEBCFDG1G2圖1圖27、如圖1，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖2（I）證明：平面平面；（II）當(dāng)，時(shí)，求直線和平面所成的角；解：解法一：（）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)由（I）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，故因?yàn)?，所以可在上取一點(diǎn)，使，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形由題設(shè)，則所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（I）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，從而又，所以平面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫↖I）由（I）可知，平面故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，則，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是， ，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得故可取過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，于是點(diǎn)在軸上因?yàn)?，所以，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是16、（浙江理19）在如圖所示的幾何體中，平面ABC，平面ABC，M是AB的中點(diǎn)。（）求證：；（）求CM與平面CDE所成的角；解答：方法一：（I）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以又平面，所以（II）解：過(guò)點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)， 是直線和平面所成的角因?yàn)槠矫?，所以?又因?yàn)槠矫妫?，則平面，因此設(shè)，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，所以，得是直角三角形，其中，所以在中，所以，故與平面所成的角是方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，（I）證明：因?yàn)椋?，故（II）解：設(shè)向量與平面垂直，則，即，因?yàn)椋裕?即，直線與平面所成的角是與夾角的余角，所以，因此直線與平面所成的角是2.如圖，正四棱柱中，點(diǎn)在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小解法一：依題設(shè)知， ABCDEA1B1C1D1（）連結(jié)交于點(diǎn)，則由三垂線定理知，在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，由于，故，ABCDEA1B1C1D1FHG與互余于是與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面（）作，垂足為，連結(jié)由三垂線定理知，故是二面角的平面角，又， 所以二面角的大小為解法二：ABCDEA1B1C1D1yxz以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系依題設(shè)， （）因?yàn)椋?，又，所以平面（）設(shè)向量是平面的法向量，則，故，令，則， 等于二面角的平面角， 所以二面角的大小為安徽卷（18）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。方法一（綜合法）（1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE又 （2） 為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接，所以 與所成角的大小為（3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作 于點(diǎn)Q，又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得(2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值, 由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為福建卷如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大小；（）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.滿分12分.解法一：（）證明：在PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以POAD,又側(cè)面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)BDC.由（）知，POOB,PBO為銳角，所以PBO是異面直線PB與CD所成的角.因?yàn)锳D=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以O(shè)B，在RtPOA中，因?yàn)锳P，AO1，所以O(shè)P1，在RtPBO中，tanPBO所以異面直線PB與CD所成的角是.（）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為.設(shè)QDx，則，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).解法二：()同解法一.()以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以異面直線PB與CD所成的角是arccos， ()假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，由()知設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).則所以即，取x0=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).設(shè)由，得解y=-或y=(舍去)，此時(shí)，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).14.（2009江西卷文）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離解：方法（一）：（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則.因?yàn)槠矫?，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以平面，則，由（1）知，平面，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離.因?yàn)樵赗tPAD中，所以為中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則，即.設(shè)所求角為，則，所求角的大小為. （3）設(shè)所求距離為，由，得：35.（2009重慶卷文）如題（18）圖，在五面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：（）直線到平面的距離；（）二面角的平面角的正切值解法一:（）平面, AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，過(guò)點(diǎn)A作于G，因，故；又平面，由三垂線定理可知，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離。在中，由平面，得AD，從而在中，。即直線到平面的距離為。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中, ,由得,從而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值為.解法二: （）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系數(shù),則A(0,0