雙曲線高考知識點及題型總結

雙曲線高考知識點及題型總結雙曲線高考知識點及題型總結 最新最全最新最全 目目 錄錄 雙曲線知識點 2 1 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 wxckt wxckt 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 雙曲線定義 2 2 雙曲線的標準方程 2 3 雙曲線的標準方程判別方法是 2 4 求雙曲線的標準方程 2 5 曲線的簡單幾何性質 2 6 曲線的內外部 3 7 曲線的方程與漸近線方程的關系 3 8 雙曲線的切線方程 3 9 線與橢圓相交的弦長公式 3 高考知識點解析 4 知識點一 雙曲線定義問題 4 知識點二 雙曲線標準方程問題 4 知識點三 雙曲線在實際中的應用 4 知識點四 雙曲線的簡單幾何性質的應用 4 知識點五 雙曲線的離心率 5 知識點六 直線與雙曲線 6 考題賞析 7 13 分塊講練 14 30 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育2 雙曲線知識點雙曲線知識點 1 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 wxckt wxckt 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 雙曲線定義 雙曲線定義 到兩個定點 F1與 F2的距離之差的絕對值等于定長 F1F2 的點的軌跡 為常數 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 wxckt wxckt 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭這兩個定點叫雙曲線的焦點 2121 2FFaPFPF a 要注意兩點 1 距離之差的絕對值 2 2a F1F2 這兩點與橢圓的定義有本質的不同 當 MF1 MF2 2a 時 曲線僅表示焦點 F2所對應的一支 當 MF1 MF2 2a 時 曲線僅表示焦點 F1所對應的一支 當 2a F1F2 時 軌跡是一直線上以 F1 F2為端點向外的兩條射線 當 2a F1F2 時 動點軌跡不存在 動點到一定點 F 的距離與它到一條定直線 l 的距離之比是常數 e e 1 時 這個動點 的軌跡是雙曲線 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 wxckt wxckt 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭這定點叫做雙曲線的焦點 定直線 l 叫做雙曲線的準線 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 wxckt wxckt 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 2 雙曲線的標準方程 雙曲線的標準方程 和 a 0 b 0 這里1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 其中 2c 要注意這里的 a b c 及它們之間的關系與橢圓中的異同 222 acb 1 F 2 F 3 雙曲線的標準方程判別方法是 雙曲線的標準方程判別方法是 如果項的系數是正數 則焦點在 x 軸 2 x 上 如果項的系數是正數 則焦點在 y 軸上 對于雙曲線 a 不一定大于 b 因此不能像 2 y 橢圓那樣 通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上 4 求雙曲線的標準方程求雙曲線的標準方程 應注意兩個問題 正確判斷焦點的位置 設出標 準方程后 運用待定系數法求解 5 曲線的簡單幾何性質曲線的簡單幾何性質 1 a 0 b 0 2 2 a x 2 2 b y 范圍 x a y R 對稱性 關于 x y 軸均對稱 關于原點中心對稱 頂點 軸端點 A1 a 0 A2 a 0 漸近線 若雙曲線方程為漸近線方程1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x x a b y 若漸近線方程為雙曲線可設為x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 若雙曲線與有公共漸近線 可設為 焦點在 x 軸上 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 焦點在 y 軸上 0 特別地當離心率兩漸近線互相垂直 分別為 y 此時雙曲線 時 ba2 e x 為等軸雙曲線 可設為 y x y x 22 yx a b a b M2 M1 P K2 K1A1A2F2F1 o y x 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育3 準線 l1 x l2 x 兩準線之距為 c a2 c a2 2 12 2 a K K c 焦半徑 點 P 在雙曲線的右支上 2 1 a PFe xexa c xa 點 P 在雙曲線的右支上 2 2 a PFexexa c xa 當焦點在 y 軸上時 標準方程及相應性質 略 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 wxckt wxckt 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 wxckt wxckt 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 kb y ka x 6 曲線的內外部曲線的內外部 1 點在雙曲線的內部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 點在雙曲線的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 7 曲線的方程與漸近線方程的關系曲線的方程與漸近線方程的關系 1 若雙曲線方程為漸近線方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若漸近線方程為雙曲線可設為 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若雙曲線與有公共漸近線 可設為 焦點在 x 軸上 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 焦點在 y 軸上 0 8 雙曲線的切線方程雙曲線的切線方程 1 雙曲線上一點處的切線方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 雙曲線與直線相切的條件是 22 22 1 0 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育4 9 線與橢圓相交的弦長公式線與橢圓相交的弦長公式 22 1212 ABxxyy 若斜率為 k 的直線被圓錐曲線所截得的弦為 AB A B 兩點分別為 A x1 y1 B x2 y2 則弦長 4 1 1 21 2 21 2 12 2 xxxxkxxkAB 這里體現了解析幾何 設而不求 4 1 1 1 1 21 2 21 2 12 2 yyyy k yy k 的解題思想 雙曲線高考知識點雙曲線高考知識點 題型一題型一 雙曲線定義的應用雙曲線定義的應用 已知定點 A 0 7 B 0 7 C 12 2 以 C 為一個焦點作過 A B 的橢圓 求另一焦點的軌跡方程 解 設 F x y 為軌跡上任意一點 A B 兩點在以 C F 為焦點的橢圓上 FA CA FB CB FA FB CB CA 2 F 的軌跡方程為 y2 1 y 1 x2 48 知識點二知識點二 求雙曲線的標準方程求雙曲線的標準方程 設雙曲線與橢圓 1 有相同的焦點 且與橢圓相交 一個交點 A 的縱 x2 27 y2 36 坐標為 4 求此雙曲線的標準方程 解 方法一 設雙曲線的標準方程為 1 a 0 b 0 由題意知 y2 a2 x2 b2 c2 36 27 9 c 3 又點 A 的縱坐標為 4 則橫坐標為 于是有 15 Error 解得Error 所以雙曲線的標準方程為 1 y2 4 x2 5 方法二 將點 A 的縱坐標代入橢圓方程得 A 4 又兩焦點分別為 F1 0 3 15 F2 0 3 所以 2a r 15 0 2 4 3 2 r 15 0 2 4 3 2 4 即 a 2 b2 c2 a2 9 4 5 所以雙曲線的標準方程為 1 y2 4 x2 5 方法三 若考慮到雙曲線與橢圓有相同的焦點 則可設雙曲線為 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育5 1 27 0 b 0 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 c2 a2 b2 13 a2 b2 由漸近線斜率得 或 b a 2 3 a b 2 3 故由Error 或Error 解得Error 或Error 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育6 所求雙曲線方程為 1 或 1 x2 9 y2 4 y2 4 x2 9 3 由 2 所設方程可得 Error 或Error 解得Error 或Error 故所求雙曲線方程為 1 或 1 x2 9 y2 4 y2 9 4x2 81 知識點五知識點五 求雙曲線的離心率求雙曲線的離心率 1 已知雙曲線的漸近線方程為 y x 則雙曲線的離心率為 3 4 2 設雙曲線 1 b a 0 的半焦距為 c 直線 l 過 a 0 0 b 兩點 已知原點到 x2 a2 y2 b2 直線 l 的距離為c 則雙曲線的離心率為 3 4 解析 1 當焦點在 x 軸上時 其漸近線方程為 y x 依題意 e2 b a b a 3 4 c2 a2 1 a2 b2 a2 9 16 25 16 e 5 4 當焦點在 y 軸上時 其漸近線方程為 y x a b 依題意 e2 1 a b 3 4 c2 a2 a2 b2 a2 16 9 25 9 e 5 3 2 直線 l 的方程為 1 即 bx ay ab 0 x a y b 于是有 c 即 ab c2 b 0 a 0 ab a2 b2 3 4 3 4 兩邊平方得 16a2b2 3c4 16a2 c2 a2 3c4 即 3c4 16a2c2 16a4 0 3e4 16e2 16 0 解得 e2 4 或 e2 4 3 b a 0 1 b2 a2 e2 1 2 故 e2 4 e 2 a2 b2 a2 b2 a2 答案 1 或 2 2 5 3 5 4 知識點六知識點六 直線與雙曲線直線與雙曲線 直線 l 在雙曲線 1 上截得的弦長為 4 其斜率為 2 求直線 l 在 y 軸上的 x2 3 y2 2 截距 m 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育7 解 設直線 l 的方程為 y 2x m 由Error 得 10 x2 12mx 3 m2 2 0 設直線 l 與雙曲線交于 A x1 y1 B x2 y2 兩點 由韋達定理 得 x1 x2 m x1x2 m2 2 6 5 3 10 又 y1 2x1 m y2 2x2 m y1 y2 2 x1 x2 AB 2 x1 x2 2 y1 y2 2 5 x1 x2 2 5 x1 x2 2 4x1x2 5 m2 4 m2 2 36 25 3 10 AB 4 m2 6 m2 2 16 36 5 3m2 70 m 210 3 直線 l 在 y 軸上的截距為 210 3 考題賞析考題賞析 1 全國 高考 設 a 1 則雙曲線 1 的離心率 e 的取值范圍是 x2 a2 y2 a 1 2 A 2 B 225 C 2 5 D 2 5 解析 雙曲線方程為 1 x2 a2 y2 a 1 2 c 2a2 2a 1 e c a 2 1 a2 2 a 1 a 1 2 1 又 a 1 0 1 1 1 2 1 a 1 a 1 2 4 e0 b 0 的一條漸近線為 y kx k 0 離心率 x2 a2 y2 b2 e k 則雙曲線方程為 5 A 1 B 1 x2 a2 y2 4a2 x2 a2 y2 5a2 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育8 C 1 D 1 x2 4b2 y2 b2 x2 5b2 y2 b2 解析 雙曲線的漸近線方程可表示為 y x 由已知可得 k 又離心率 e b a b a 1 b a 2 k 所以 k 5 1 2 即 故 a 2b b a 1 2 答案 C 3 湖北高考 如圖所示 在以點 O 圓心 AB 4 為直徑的半圓 ADB 中 OD AB P 是半圓弧上一 點 POB 30 曲線 C 是滿足 MA MB 為定值的動點 M 的軌跡 且曲線 C 過點 P 1 建立適當的平面直角坐標系 求曲線 C 的方程 2 設過點 D 的直線 l 與曲線 C 相交于不同的兩點 E F 若 OEF 的面積不小于2 2 求直線 l 斜率的取值范圍 解 1 方法一 以 O 為原點 AB OD 所在直線分別為 x 軸 y 軸 建立平面直角坐標系 則 A 2 0 B 2 0 P 1 3 依題意得 MA MB PA PB AB 4 2222 23 1 23 12 2 曲線 C 是以原點為中心 A B 為焦點的雙曲線 設實半軸長為 a 虛半軸長為 b 半焦距為 c 則c 2 2a 2 a2 2 b2 c2 a2 2 2 曲線 C 的方程為 22 1 22 xy 方法二 同方法一建立平面直角坐標系 則依題意可得 MA MB PA PB 0 b 0 22 22 1 xy ab 則由 22 22 22 3 1 1 4 ab ab 解得a2 b2 2 曲線 C 的方程為 22 1 22 xy 2 方法一 依題意 可設直線 l 的方程為 y kx 2 代入雙曲線 C 的方程并整理得 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育9 1k2 x2 4kx6 0 直線 l 與雙曲線 C 相交于不同的兩點 E F Error Error k 1 1 1 1 33 設 E x1 y1 F x2 y2 則由 式得 x1 x2 x1x2 4k 1 k2 6 1 k2 于是 EF x1 x2 2 y1 y2 2 1 k2 x1 x2 21 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 2 2 3 k2 1 k2 而原點 O 到直線 l 的距離 d 2 1 k2 S OEF d EF 1 2 1 2 2 1 k21 k2 2 2 3 k2 1 k2 2 2 3 k2 1 k2 若 OEF 的面積不小于 2 即 S OEF 2 22 則有 2 k4 k2 2 0 2 2 3 k2 1 k2 2 解得 k 22 綜合 知 直線 l 的斜率的取值范圍為 1 1 1 1 22 方法二 依題意 可設直線 l 的方程為 y kx 2 代入雙曲線 C 的方程并整理 得 1 k2 x2 4kx 6 0 直線 l 與雙曲線 C 相交于不同的兩點 E F Error Error k 1 1 1 1 33 設 E x1 y1 F x2 y2 則由 式得 x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 2 2 3 k2 1 k2 當 E F 在同一支上時 如圖 1 所示 S OEF S ODF S ODE OD x1 x2 1 2 OD x1 x2 1 2 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育10 當 E F 在不同支上時 如圖 2 所示 S OEF S ODF S ODE OD x1 x2 1 2 OD x1 x2 1 2 綜上得 S OEF OD x1 x2 1 2 于是由 OD 2 及 式 得 S OEF 2 2 3 k2 1 k2 若 OEF 面積不小于 2 即 S OEF 2 則有 22 2 k4 k2 2 0 解得 k 2 2 3 k2 1 k2 222 綜合 知 直線 l 的斜率的取值范圍為 1 1 1 1 22 1 實軸長為 4且過點 A 2 5 的雙曲線的標準方程是 5 A 1 B 1 x2 20 y2 16 y2 20 x2 16 C 1 D 1 x2 16 y2 20 y2 16 x2 20 答案 B 解析 由題意知 2a 4 a2 20 5 若雙曲線焦點在 x 軸上 則可設方程為 1 x2 20 y2 b2 代入點 A 2 5 得 1 即 矛盾 4 20 25 b2 25 b2 16 20 因此設雙曲線的方程為 1 代入 A 2 5 得 1 b2 16 x2 b2 y2 20 4 b2 25 20 1 4 故選 B 2 如果雙曲線 1 的兩條漸近線互相垂直 則雙曲線的離心率為 x2 a2 y2 b2 A B 2 C D 2 232 答案 A 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育11 解析 因兩條漸近線互相垂直 所以兩漸近直線的傾斜角為 漸近線的方程為 4 3 4 y x 1 即 a b b a c a e a2 b22 2a a2 3 雙曲線與橢圓 1 有相同的焦點 它的一條漸近線為 y x 則雙曲線方程為 x2 16 y2 64 A x2 y2 96 B y2 x2 160 C x2 y2 80 D y2 x2 24 答案 D 解析 由題意知雙曲線的焦點為 0 4 即 c2 48 又因一條漸近線方程為 y x 3 所以 1 即 a b 48 2a2 a2 b2 24 故選 D a b 4 F1 F2為雙曲線 y2 1 的兩個焦點 點 P 在雙曲線上 且 F1PF2 90 則 x2 4 F1PF2的面積是 A 2 B 4 C 8 D 16 答案 B 解析 方程變形為 y2 1 x2 4 由題意Error 由 式兩邊平方得 20 2 PF1 PF2 4 PF1 PF2 8 S F1PF2 PF1 PF2 8 4 1 2 1 2 5 若方程 1 表示雙曲線 則實數 k 的取值范圍是 x2 k 2 y2 5 k A k 2 或 2 k 5 B 2 k 5 C k5 D 2 k5 答案 D 解析 由題意知 k 2 5 k 5 或 2 k0 b 0 的兩條漸近線方程為 y x 若頂點到漸近線的 x2 a2 y2 b2 3 3 距離為 1 則雙曲線方程為 答案 y2 1 x2 4 3 4 解析 雙曲線頂點為 a 0 漸近線為 x y 0 3 1 a 2 a 1 3 a 2 又 b b a 3 3 2 3 3 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育12 雙曲線方程為 y2 1 x2 4 3 4 7 已知圓 C x2 y2 6x 4y 8 0 以圓 C 與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦 點和頂點 則適合上述條件的雙曲線的標準方程為 答案 1 x2 4 y2 12 解析 由題意知雙曲線僅與 x 軸有交點 Error 即 x2 6x 8 0 x 2 或 x 4 即 c 4 a 2 1 x2 4 y2 12 8 如圖 已知定圓 F1 x2 y2 10 x 24 0 定圓 F2 x2 y2 10 x 9 0 動圓 M 與 定圓 F1 F2都外切 求動圓圓心 M 的軌跡方程 解 圓 F1 x 5 2 y2 1 圓心 F1 5 0 半徑 r1 1 圓 F2 x 5 2 y2 42 設動圓 M 的半徑為 R 則有 MF1 R 1 MF2 R 4 MF2 MF1 3 M 點的軌跡是以 F1 F2為焦點的雙曲線 左支 且 a c 5 則有 b2 3 2 91 4 動圓圓心 M 的軌跡方程為 x2 y2 1 x 4 9 4 91 3 2 9 橢圓 y2 1 m 1 與雙曲線 y2 1 n 0 有公共焦點 F1 F2 P 是它們的一個交 x2 m2 x2 n2 點 求 F1PF2的面積 解 根據橢圓與雙曲線焦點都在 x 軸上 不妨設 P 在第一象限 F1是左焦點 F2是右 焦點 則由橢圓與雙曲線定義有Error 可解得 PF1 m n PF2 m n 即 PF1 2 PF2 2 2 m2 n2 又 兩者有公共焦點 設半焦距為 c 則 m2 1 c2 n2 1 c2 m2 n2 2c2 F1F2 2 4c2 2 m2 n2 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 F1PF2 90 又 m2 1 n2 1 c2 m2 n2 2 S F1PF2 PF1 PF2 1 2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 2 1 8 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育13 m2 n2 1 1 2 所以 F1PF2的面積為 1 10 已知雙曲線 x2 y2 a2及其上一點 P 求證 1 離心率 e 漸近線方程 y x 2 2 P 到它兩個焦點的距離的積等于 P 到雙曲線中心距離的平方 3 過 P 作兩漸近線的垂線 構成的矩形面積為定值 證明 1 由已知得 c a a2 a22 e 漸近線方程 y x 2 2 設 P x0 y0 則 x y a2 2 02 0 又 F1 a 0 F2 a 0 22 PF1 PF2 x0 r 2 a 2 y2 0 x0 r 2 a 2 y2 0 2x2 0 a2 2 2ax02x2 0 a2 2 2ax0 x0 a x0 a 22 2x a2 x y PO 2 2 02 02 0 P 到它兩個焦點的距離的積等于 P 到雙曲線中心距離的平方 3 設垂足分別為 Q R 則由點到直線距離公式知 PQ PR x0 y0 2 x0 y0 2 SPQOR PQ PR x y a2 1 2 2 02 0 1 2 該矩形的面積為定值 講練學案部分 2 3 1 雙曲線及其標準方程雙曲線及其標準方程 對點講練對點講練 知識點一知識點一 雙曲線定義的應用雙曲線定義的應用 如圖所示 在 ABC 中 已知 AB 4 且三內角 A B C 滿足2 2sinA sinC 2sinB 建立適當的坐標系 求頂點 C 的軌跡方程 解 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育14 如圖所示 以 AB 邊所在的直線為 x 軸 AB 的垂直平分線為 y 軸 建立直角坐標系 則 A 2 0 B 2 0 22 由正弦定理得 sinA sinB sinC 2 a R2 b R2 c R 2sinA sinC 2sinB 2a c 2b 即 ba 2 c 從而有 CA CB AB 2 22 1 26 xy 2 反思感悟 使用雙曲線的定義時易漏掉 差的絕對值 即 PF1 PF2 2a 而 PF1 PF2 2a 表示一支 P 是雙曲線 1 上一點 F1 F2是雙曲線的兩個焦點 且 PF1 9 x2 16 y2 20 求 PF2 的值 解 在雙曲線 1 中 a 4 b 2 x2 16 y2 205 故 c 6 由 P 是雙曲線上一點 得 PF1 PF2 8 PF2 1 或 PF2 17 又 PF2 c a 2 得 PF2 17 知識點二知識點二 求雙曲線的標準方程求雙曲線的標準方程 根據下列條件 求雙曲線的標準方程 1 過點 P Q 且焦點在坐標軸上 3 15 4 16 3 5 2 c 且過點 5 2 焦點在 x 軸上 6 3 與雙曲線 1 有相同焦點 且經過點 3 2 x2 16 y2 42 解 1 設雙曲線方程為 1 x2 m y2 n P Q 兩點在雙曲線上 Error 解得Error 所求雙曲線方程為 1 y2 9 x2 16 2 焦點在 x 軸上 c 6 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育15 設所求雙曲線方程為 1 其中 0 6 x2 y2 6 雙曲線經過點 5 2 1 解得 5 或 30 舍去 25 4 6 所求雙曲線方程是 y2 1 x2 5 3 設所求雙曲線方程為 1 其中 4 16 x2 16 y2 4 雙曲線過點 3 2 2 1 18 16 4 4 解得 4 或 14 舍去 所求雙曲線方程為 1 x2 12 y2 8 反思感悟 用待定系數法求雙曲線的標準方程 首先要定型 即確定雙 曲線的類型 看焦點位置 如果焦點位置不確定 要分類討論或設一般式 Ax2 By2 1 其中 AB 0 設出標準形式 再定量 即確定方程中的參數的值 已知雙曲線過 P1和 P2兩點 求雙曲線的標準方程 2 3 2 5 4 3 7 4 解 因為雙曲線的焦點位置不確定 所以設雙曲線方程為 mx2 ny2 1 mn 0 因 P1 P2在雙曲線上 所以有 Error 解得Error 所求雙曲線方程為 1 x2 16 y2 9 即 1 y2 9 x2 16 知識點三知識點三 雙曲線的實際應用雙曲線的實際應用 一炮彈在 A 處的東偏北 60 的某處爆炸 在 A 處測到爆炸信號的時間比在 B 處早 4 秒 已知 A 在 B 的正東方 相距 6 千米 P 為爆炸地點 該信號的傳播速度為每秒 1 千米 求 A P 兩地的距離 解 以直線 AB 為 x 軸 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 建立直角坐標系 則 A 3 0 B 3 0 PB PA 4 10 所以 x 0 因此炮彈爆炸點的軌跡 雙曲線 的方程為 x 0 22 1 115600444400 xy 課堂小結課堂小結 1 平面內到兩定點 F1 F2的距離之差的絕對值為常數 2a 0 2a0 b 0 其焦點為 F1 c 0 22 22 1 xy ab F2 c 0 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育17 3 焦點在 y 軸上的雙曲線的標準方程是 a 0 b 0 其焦點為 F1 0 c 22 22 1 xy ab F2 0 c 4 c2 a2 b2 焦距 F1F2 2c 課時作業(yè)課時作業(yè) 一 選擇題 1 若 ax2 by2 b ab 0 則這個曲線是 A 雙曲線 焦點在 x 軸上 B 雙曲線 焦點在 y 軸上 C 橢圓 焦點在 x 軸上 D 橢圓 焦點在 y 軸上 答案 B 解析 原方程可化為 y2 1 因為 ab 0 所以 0 所以曲線是焦點在 y 軸上的雙 x2 b a b a 線 故選 B 2 一動圓與兩圓 x2 y2 1 和 x2 y2 8x 12 0 都外切 則動圓圓心的軌跡為 A 拋物線 B 圓 C 雙曲線的一支 D 橢圓 答案 C 解析 由題意兩定圓的圓心坐標為 O1 0 0 O2 4 0 設動圓圓心為 O 動圓半徑為 r 則 OO1 r 1 OO2 r 2 OO2 OO1 11 的左 右兩焦點分別為 F1 F2 P 在雙曲線上 且滿足 x2 n PF1 PF2 2 則 PF1F2的面積為 n 2 A B 1 C 2 D 4 1 2 答案 B 解析 不妨設 PF1 PF2 則 PF1 PF2 2 n 由 PF1 PF2 2 n 2 解得 PF1 PF2 n 2nn 2n F1F2 2 n 1 所以 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 所以 F1PF2 90 所以 S PF1F2 PF1 PF2 1 1 2 二 填空題 6 P 是雙曲線 1 上一點 F1 F2是雙曲線的兩個焦點 且 PF1 17 則 PF2 x2 64 y2 36 的值為 答案 33 解析 在雙曲線 1 中 a 8 b 6 故 c 10 由 P 是雙曲線上一點 得 x2 64 y2 36 PF1 PF2 16 因為 PF1 17 所以 PF2 1 或 PF2 33 又 PF2 c a 2 得 PF2 33 7 1 表示雙曲線 則實數 t 的取值范圍是 x2 4 t y2 t 1 答案 t 4 或 t 1 解析 由題意知 4 t t 1 0 t 4 或 t0 b 0 22 22 1 xy ab 則 a AA 7 又設 B 11 y1 C 9 y2 2 1 因為點 B C 在雙曲線上 所以有 22 1 22 9 1 7 y b 1 92 72 y2 2 b2 由題意知 y2 y1 20 由 得 y1 12 y2 8 b 7 2 故雙曲線方程為 1 x2 49 y2 98 10 已知雙曲線的一個焦點為 F 0 直線 y x 1 與其相交于 M N 兩點 MN 中 7 點的橫坐標為 求雙曲線的標準方程 2 3 解 設雙曲線的標準方程為 1 x2 a2 y2 b2 且 c 則 a2 b2 7 7 由 MN 中點的橫坐標為 知 2 3 中點坐標為 2 3 5 3 設 M x1 y1 N x2 y2 則由Error 得 b2 x1 x2 x1 x2 a2 y1 y2 y1 y2 0 Error 且 1 2b2 5a2 y1 y2 x1 x2 由 求得 a2 2 b2 5 所求方程為 1 x2 2 y2 5 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育20 2 3 2 雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的簡單幾何性質 對點講練對點講練 知識點一知識點一 由方程研究幾何性質由方程研究幾何性質 求雙曲線 9y2 16x2 144 的實半軸長 虛半軸長 焦點坐標 離心率和漸近 線方程 解 把方程 9y2 16x2 144 化為標準方程 1 y2 42 x2 32 由此可知 實半軸長 a 4 虛半軸長 b 3 c 5 a2 b242 32 焦點坐標是 0 5 0 5 離心率 e c a 5 4 漸近線方程為 y x 4 3 反思感悟 求雙曲線的幾何性質可先將雙曲線方程化為標準形式 1 或 1 再根據它確定 a b 的值 進而求出 c x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 求雙曲線 9y2 4x2 36 的頂點坐標 焦點坐標 實軸長 虛軸長 離心 率和漸近線方程 并作出草圖 解 將 9y2 4x2 36 變形為 1 x2 9 y2 4 即 1 x2 32 y2 22 a 3 b 2 c 13 因此頂點為 A1 3 0 A2 3 0 焦點坐標 F1 0 F2 0 1313 實軸長是 2a 6 虛軸長是 2b 4 離心率 e c a 13 3 漸近線方程 y x x b a 2 3 作草圖 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育21 知識點二知識點二 由幾何性質求方程由幾何性質求方程 求與雙曲線 1 共漸近線且過點 A 2 3 的雙曲線方程 x2 16 y2 93 解 設與雙曲線 1 共漸近線的雙曲線方程為 0 因為點 x2 16 y2 9 x2 16 y2 9 A 2 3 在所求的雙曲線上 所以 所以所求雙曲線方程為 3 12 16 9 9 1 4 即 1 x2 16 y2 9 1 4 y2 9 4 x2 4 反思感悟 本題解法有兩種 一是按焦點位置分類討論 二是設共漸近 線方程為 0 x2 16 y2 9 已知雙曲線的兩條漸近線方程為x y 0 且焦點到漸近線的距離為 3 求 3 此雙曲線的方程 解 因為雙曲線的漸近線方程是x y 0 所以可設雙曲線方程為 3x2 y2 3 0 3 當 0 時 方程為 1 所以 a2 b2 3 c 2 焦點 2 0 到x y 0 的距 x2 y2 3 3 離是 3 解得 3 所以雙曲線方程為 1 當 1 b 0 的焦距為 2c 直線 l 過點 a 0 和 0 b 且點 x2 a2 y2 b2 1 0 到直線 l 的距離與點 1 0 到直線 l 的距離之和 s c 求雙曲線的離心率 e 的取值范 4 5 圍 解 直線 l 的方程為 1 即 bx ay ab 0 x a y b 由點到直線的距離公式 且 a 1 得到點 1 0 到直線 l 的距離 d1 b a 1 a2 b2 同理得到點 1 0 到直線 l 的距離 d2 b a 1 a2 b2 s d1 d2 2ab a2 b2 2ab c 由 s c 得 c 即 5a 2c2 4 5 2ab c 4 5c2 a2 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育22 于是得 5 2e2 e2 1 即 4e4 25e2 25 0 解不等式 得 e2 5 5 4 e 1 e 的取值范圍是 e 5 25 反思感悟 求雙曲線離心率的常見方法 一是依條件求出 a c 再計 算 e 二是依據條件提供的信息建立參數 a b c 的等式 進而轉化為離心 c a 率 e 的方程 再解出 e 的值 已知雙曲線虛軸的一個端點為 M 兩個焦點為 F1 F2 F1MF2 120 則雙曲線的離心率為 答案 6 2 解析 由題意知 tan60 c b3 即 c b 所以有 1 3 1 33 c2 a2 1 e2 解之得 e 6 2 課堂小結課堂小結 1 雙曲線 a 0 b 0 既關于坐標軸對稱 又關于坐標原點對稱 其頂點為 a 0 22 22 1 xy ab 實軸長為 2a 虛軸長為 2b 其上任一點 P x y 的橫坐標均滿足 x a 2 雙曲線的離心率 e 的取值范圍是 1 其中 c2 a2 b2 且 離心率 e 越 a c a b 2 1e 大 雙曲線的開口越大 3 雙曲線 a 0 b 0 的漸近線方程為 y x 也可記為 與雙曲 22 22 1 xy ab a b 22 22 0 xy ab 線具有相同漸近線的雙曲線的方程可表示為 0 22 22 1 xy ab 22 22 xy ab 課時作業(yè)課時作業(yè) 一 選擇題 1 頂點為 A1 0 2 A2 0 2 焦距為 12 的雙曲線的標準方程是 55 A 1 B 1 x2 20 y2 16 y2 20 x2 16 C 1 D 1 x2 16 y2 20 y2 20 x2 124 答案 B 解析 頂點在 y 軸上 a 2 c 6 得 b 4 5 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育23 標準方程為 1 y2 20 x2 16 2 雙曲線的實軸長 虛軸長 焦距成等比數列 則雙曲線的離心率是 A B 5 3 4 3 C D 5 1 2 6 1 2 答案 C 解析 由 2a 2c 2b 2及 b2 c2 a2 得 c2 ac a2 0 e2 e 1 0 解得 e 由 e 1 得 e 1 5 2 1 5 2 3 經過點 M 3 1 且對稱軸在坐標軸上的等軸雙曲線的方程是 A y2 x2 8 B x2 y2 8 C x2 y2 4 D x2 y2 8 答案 D 解析 設雙曲線方程為 x2 y2 k 將 M 點坐標代入得 k 8 所以雙曲線方程為 x2 y2 8 4 已知雙曲線 1 a 0 b 0 的左 右焦點分別為 F1 F2 點 P 在雙曲線的右 x2 a2 y2 b2 支上 且 PF1 4 PF2 則此雙曲線的離心率 e 的最大值為 A B C 2 D 4 3 5 3 7 3 答案 B 解析 PF1 PF2 2a 即 3 PF2 2a 所以 PF2 c a 即 2a 3c 3a 2a 3 即 5a 3c 則 c a 5 3 二 填空題 5 雙曲線 x2 y2 1 的兩條漸近線的夾角為 答案 90 解析 兩條漸近線方程為 y x 它們相互垂直 故夾角為 90 6 若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為 2 則雙曲線的虛軸長為 答案 4 解析 以雙曲線 1 a 0 b 0 的焦點 c 0 與漸近線 y x 為例 得 x2 a2 y2 b2 b a 2 故 b 2 虛軸長為 2b 4 bc a2 b2 7 雙曲線的漸近線方程是 3x 4y 0 則雙曲線的離心率 e 答案 或 5 4 5 3 解析 若焦點在 x 軸上 則 e b a 3 4 1 b a 2 5 4 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育24 若焦點在 y 軸上 則 e b a 4 3 1 b a 2 5 3 8 設圓過雙曲線 1 的一個頂點和一個焦點 圓心在此雙曲線上 則圓心到雙 x2 9 y2 16 曲線中心的距離是 答案 16 3 解析 由雙曲線的對稱性 不妨設頂點 焦點坐標分別為 3 0 5 0 由題意知圓心的 橫坐標為 4 3 5 2 代入雙曲線方程 得圓心縱坐標 y 圓心到點 0 0 的距離 d 4 3 7 42 16 7 9 16 9 16 7 9 16 16 9 16 3 三 解答題 9 根據下列條件 求雙曲線的標準方程 1 經過點 且一條漸近線為 4x 3y 0 15 4 3 2 P 0 6 與兩個焦點連線互相垂直 與兩個頂點連線的夾角為 3 解 1 因直線 x 與漸近線 4x 3y 0 的交點坐標為 而 3 MB 故為右支 由于沒有坐標系因此需建系 并確定方程的形式 應用待定系數法解 方程 此題極易忽略 x 和 y 的取值范圍 因此在實際問題中 要注意由問題的實際意義確定 變量范圍 某中心接到其正東 正西 正北方向三個觀測點的報告 正西 正北兩個 觀測點同時聽到了一聲巨響 正東觀測點聽到該巨響的時間比其他兩觀測點晚 4 s 已知各 觀測點到該中心的距離都是 1 020 m 試確定該巨響發(fā)生的位置 假定當時聲音傳播的速度 為 340 m s 相關各點均在同一平面上 解 如圖所示 以接報中心為原點 O 正東 正北方向分別為 x 軸 y 軸正向 建立直角坐 標系 設 A B C 分別是西 東 北觀測點 則 A 1 020 0 B 1 020 0 C 0 1 020 設 P x y 為巨響發(fā)生點 由 A C 同時聽到巨響聲 得 PA PC 故 P 在 AC 的垂直平分線 PO 上 PO 的方程為 y x 因 B 點比 A 點晚 4 s 聽到爆炸聲 故 PB PA 1 360 P 點在以 A B 為焦點的雙曲線上 22 22 1 xy ab 依題意 a 680 c 1 020 b2 c2a2 5 3402 故雙曲線方程為 22 22 1 6805 340 xy 用 y x 代入上式 得 x 680 5 PB PA x 680 y 680 55 即 P 680 680 55 故 PO 680 m 10 該巨響發(fā)生的位置離中心的距離為 680 m 10 課堂小結課堂小結 1 雙曲線的定義在解題中有廣泛的應用 常用于解決有關雙曲線上的點與兩焦點間關系 的習題 2 雙曲線標準方程中 標準 的含義有兩層 其一是兩個焦點在坐標軸上 其二是兩個焦 雙曲線之經典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育28 點的中點與坐標原點重合 3 一般地 在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下 利用雙曲線系方 程 0 求雙曲線方程較為方便 然后根據題設中的另一條件確定參數 的 22 22 xy ab 值 4 直線和雙曲線的位置關系有相交 相切 相離三種 可通過根的判別式來判定 需要 注意的是當直線與雙曲線只有一個交點時 除直線和雙曲線相切外 還有一種情況 那就是 直線與雙曲線的漸近線平行 這也是極易忽視的地方 課時作業(yè)課時作業(yè) 一 選擇題 1 是第三象限角 方程 x2 y2sin cos 表示的曲線是 A 焦點在 x 軸上的橢圓 B 焦點在 y 軸上的橢圓 C 焦點在 x 軸上的雙曲線 D 焦點在 y 軸上的雙曲線 答案 D 解析 方程可化為 1 x2 cos y2 1 tan 是第三象限角 cos 0 故選 D 1 tan 2 已知雙曲線 1 的左