探究應(yīng)用新思維_數(shù)學(xué)7年級1_

1 數(shù)形結(jié)合話數(shù)軸 解讀課標(biāo) 數(shù)學(xué)是研究 數(shù) 和 形 的一門學(xué)科 從古希臘時期起 人們就已試圖把它們統(tǒng)一 起來 在日常生活中我們通常對有形的東西認(rèn)識比較快 而對抽象的東西認(rèn)識比較慢 這正 是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點 以形助數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要方法 運用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系 現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形聯(lián)系的有 力工具 主要反映在 1 利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù) 2 利用數(shù)軸直觀地解釋相反數(shù) 3 利用數(shù)軸解決與絕對值有關(guān)的問題 4 利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小 問題解決 例 1 1 已知 為有理數(shù) 且 將四個數(shù) ab0a 0b 0ab aba 按由小到大的順序排列是 b 時代學(xué)習(xí)報 數(shù)學(xué)文化節(jié)試題 2 已知數(shù)軸上有 兩點 A B 之間的距離為 點與原點的距離為 那AB1AO3 么點對應(yīng)的數(shù)是 B 廣西競賽題 試一試 對于 1 賦值或借助數(shù)軸比較大小 對于 2 確定 兩點在數(shù)軸上的位AB 置 充分考慮 兩點的多種位置關(guān)系 AB 例 2 如圖 數(shù)軸上標(biāo)出若干個點 每相鄰兩點相距個單位 1 點 對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù) 且 那么數(shù)軸的原ABCDabcd210da 點應(yīng)是 A 點B 點C 點D 點ABCD 江蘇省競賽題 試一試 從尋找與的另一關(guān)系式入手 da 例 3 已知兩數(shù) 如果比大 試判斷與的大小 abab a b 試一試 因 符號未定 故比大有多種情形 借助數(shù)軸可直觀全面比較與abab a 的大小 b 例 4 電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點 第一步從向左跳 個單位到 第二步由 0 K 0 K1 1 K 向右跳個單位到 第三步由向左跳個單位到 第四步由向右跳個單 1 K2 2 K 2 K3 3 K 3 K4 位到 按以上規(guī)律跳了步時 電子跳蚤落在數(shù)軸上的點所表示的數(shù)恰 4 K100 100 K 是 試求電子跳蚤的初始位置點所表示的數(shù) 19 94 0 K 希望杯 邀請賽試題 試一試 設(shè)點表示的數(shù)為 把 點所表示的數(shù)用的式子表 0 Kx 1 K 2 K 100 Kx 示 例 5 已知數(shù)軸上的點和點之間的距離為個單位長度 點在原點的左邊 AB28A 距離原點個單位長度 點在原點的右邊 8B 1 求 兩點所對應(yīng)的數(shù) AB 2 數(shù)軸上點以每秒 個單位長度出發(fā)問左運動 同時點以每秒個單位長度的速A1B3 度向左運動 在點處追上了點 求點對應(yīng)的數(shù) CAC 3 已知在數(shù)軸上點從點出發(fā)向右運動 速度為每秒 個單位長度 同時點從MA1N 點出發(fā)向右運動 速度為每秒個單位長度 設(shè)線段的中點為 為原點 在B2NOPO 運動的過程中線段的值是否變化 若不變 求其值 若變化 請說明理由 POAM 分析與解 對于 3 設(shè)點運動時間為 秒 把用的式子表示 MtPOAM 2 1 兩點所對應(yīng)的數(shù)分別為 AB8 20 2 點對應(yīng)的數(shù)為 C22 3 為什么 則 即 202 10 2 t AMt OPt 1010POAMtt 的值不變 POAM 生活啟示 例 6 李老師從油條的制作中受到啟發(fā) 設(shè)計了一個數(shù)學(xué)問題 如圖 在數(shù)軸上截取 從原點到 的對應(yīng)點的線段 對折后 點與點重合 固定左端向右均勻地拉成1ABAB 個單位長度的線段 這一過程稱為一次操作 例如 在第一次操作后 原線段上的1AB 均變成 變成 等等 那么在線段上 除點 點外 的點中 在 1 4 3 4 1 2 1 2 1ABAB 第二次操作后 求恰好被拉到與 重合的點所對應(yīng)的數(shù)字之和 1 浙江省紹興市中考題 分析 捕捉問題所蘊含的信息 閱讀理解 一次操作 的意義 將線段沿中點翻折 中點左側(cè)的點不動 中點右側(cè)的點翻折到左側(cè)的對應(yīng)位置上 由原來的一個等分點變?yōu)閮?個等分點 解 故在第二次操作后 恰好被拉到與 重合的點所對應(yīng)的數(shù)字之和是 1 13 1 44 數(shù)學(xué)沖浪 知識技能廣場 1 數(shù)軸上有 兩點 若點對應(yīng)的數(shù)是 且 兩點的距離為 則點對 ABA2 AB3B 應(yīng)的數(shù)是 2 電影 哈利 波特 中 小哈利 波特穿墻進(jìn)入 站臺 的鏡頭 如示意圖中的 3 9 4 站臺 構(gòu)思奇妙 能給觀眾留下深刻的印象 若 站臺分別位于 處 MAB2 1 則站臺用類似電影中的方法可稱為 站臺 2ANNB N 時代學(xué)習(xí)報 數(shù)學(xué)文化節(jié) 試題 3 已知點 在數(shù)軸上 點表示的數(shù)為 那么點表示ABPB68AB 5AP P 的數(shù)是 4 如圖所示 按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞 在一個圓 該圓周長為個單位長 且在圓周3 的三等分點處分別標(biāo)上了數(shù)字 012 上 先讓原點與圓周上數(shù)字所對應(yīng)的點重合 再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上 0 使數(shù)軸上 所對應(yīng)的點分別與圓周上 所對應(yīng)的點重合 1234 1201 這樣 正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應(yīng)關(guān)系 1 圓周上的數(shù)字與數(shù)軸上的數(shù)對應(yīng) 則 a5a 2 數(shù)軸上的一個整數(shù)點剛剛繞過圓周圈 為正整數(shù) 后 并落在圓周上數(shù)字 所nn1 對應(yīng)的位置 這個整數(shù)是 用含的代數(shù)式表示 n 江西省中考題 5 有理數(shù) 在數(shù)軸上的位置如圖所示 則下列各式正ab 確的是 A B C D 0ab 0ab 0ab 0ab 2012 年湖南省常德市中考題 6 文具店 書店 玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上 文具店在書店西米 玩具20 店位于書店東米處 小明從書店沿街向東走了米 接著又向東走了米 此時小1004060 明的位置在 A 文具店B 玩具店C 文具店西邊米D 玩具店東米4060 7 將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上 數(shù)軸的單位長度是 刻度尺上的 1cm0cm 分別對應(yīng)數(shù)軸上的和 則 15cm3 6 x A B C D 910 x 1011x 1112x 1213x 浙江省紹興市中考題 8 在數(shù)軸上任取一條長度為的線段 則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點的 1 1999 9 個數(shù)是 A B C D 1998199920002001 重慶市競賽題 9 一個跳蚤在一條直線上 從點開始 第 次向右跳 個單位 緊接著第次晾左跳個O1122 單位 第次向右跳個單位 第次向左跳個單位 依此規(guī)律劇下去 當(dāng)它跳第3344 次落下時 求落點處離點的距離 用單位表示 100O 江蘇省無錫市中考題 10 已知數(shù)軸上有 兩點 之間的距離為 點與原點的距離為 求所ABAB1AO3 有滿足條件的點與原點的距離的和 BO 北京市 迎春杯 競賽題 思維方法天地 11 在數(shù)軸上 點 分別表示和 則線段的中點所表示的數(shù)是 AB 1 3 1 5 AB 12 在數(shù)軸上 表示數(shù) 的點與表示數(shù) 的點關(guān)于原點對稱 則的 2 2 a M 3 3 a Na 值為 13 數(shù)形相伴 1 如圖所示 點 所代表的數(shù)分別為AB 在數(shù)軸上畫出與 兩點的距離和為的點 并標(biāo)上字母 1 2AB5 2 若數(shù)軸上點 所代表的數(shù)分別為 則 兩點之間的距離可表示為ABabAB 那么 當(dāng)時 當(dāng) ABab 1 2 7xx x 時 數(shù)所對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置是在 1 2 5xx x 時代學(xué)習(xí)報 數(shù)學(xué)文化節(jié)試題 14 點 分別是數(shù) 在數(shù)軸上對應(yīng)的點 使線段沿數(shù)軸向右移動為 AB3 1 2 ABA B 且線段的中點對應(yīng)的數(shù)是 則點對應(yīng)的數(shù)是 點移動的距離是A B 3A A 江蘇省競賽題 15 點 為正整數(shù) 都在數(shù)軸上 點在原點的左邊 且 1 A 2 A 3 A n An 1 AO 點在點的右邊 且 點在點的左邊 且 點在 1 1AO 2 A 1 A 21 2A A 3 A 2 A 32 3A A 4 A 點的右邊 且 依照上述規(guī)律 點 所表示的數(shù)分別為 3 A 43 4A A 2008 A 2009 A A B 20082009 2008 2009 C D 10041005 10041004 福建省泉州市中考題 16 如圖 數(shù)軸 上標(biāo)出若干個點 每相鄰兩點相距 個單1 位 點 對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù) 且 那么數(shù)軸的ABCDabcd29ba 原點對應(yīng)點是 A 點B 點C 點D 點ABCD 17 有理數(shù) 在數(shù)軸上的位置如圖 式子abc ab 化簡結(jié)果為 abbc A B C D 23abc 3bc bc cb 18 不相等的有理數(shù) 在數(shù)軸上對應(yīng)點分別為 若abcABC 那么點 abbcac B A 在 點右邊B 在 點左邊ACAC C 在 點之間D 以上均有可能AC 希望杯 邀請賽題 19 在數(shù)軸上 點與點的距離是點與所對應(yīng)點之間的距離的倍 那么點表NON304N 示的數(shù)是多少 CASIO 杯 河南省競賽題 20 已知數(shù)軸上有 三點 分別代表 兩只電子螞蟻甲 乙分別ABC24 10 10 從 兩點同時相向而行 甲的速度為個單位 秒 AC4 1 問多少秒后甲到 的距離和為個單位 ABC40 2 若乙的速度為個單位 秒 兩只電子螞蟻甲 乙分別從 兩點同時相向 而6AC1 行 問甲 乙在數(shù)軸上的哪個點相遇 3 在 1 2 的條件下 當(dāng)甲到 的距離和為個單位時 甲調(diào)頭返回 ABC40 問甲 乙還能在數(shù)軸上相遇嗎 若能 求出相遇點 若不能 請說明理由 21 操作與探究 對數(shù)軸上的點進(jìn)行如下操作 先把點表示的數(shù)乘以再把所得數(shù)對應(yīng)的點向右平PP 1 3 移 個單位 得到點的對應(yīng)點 1PP 點 在數(shù)軸上 對線段上的每個點進(jìn)行上述操作后得到線段 其中 點A BABA B 的對應(yīng)點分別為 如圖所示 若點表示的數(shù)是 則點表示的數(shù)是A BA B A3 A 若點表示的數(shù)是 則點表示的數(shù)是 已知線段上的點B 2B AB 經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點與點重合 則點表示的數(shù)是 E E EE 2012 年北京市中考題 22 動點從數(shù)軸上的原點出發(fā) 沿數(shù)軸的正方向以每前進(jìn)個單位 后退個單位的程P53 序運動 已知點每秒前進(jìn)或后退 個單位 設(shè)表示第秒點在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)P1 n xnP 的數(shù) 如 求所對應(yīng)的數(shù) 4 4x 5 5x 6 4x 2011 x 2 聚焦絕對值 絕對值是數(shù)學(xué)中的一個基本概念 這一概念是學(xué)習(xí)相反數(shù) 有理數(shù)運算 算術(shù)根的基礎(chǔ) 絕對值又是數(shù)學(xué)中的一個重要概念 絕對值與其他知識融合形成絕對值 方程 絕對值不等 式 絕對值函數(shù)等 在代數(shù)式化簡求值 解方程 解不等式等方面有廣泛的應(yīng)用 理解 掌握絕對值應(yīng)注意以下幾個方面 1 脫去絕對值符號是解絕對值問題的切入點 脫去絕對值符號常用到相關(guān)法則 分類討論 數(shù)形結(jié)合等知識方法 2 恰當(dāng)?shù)剡\用絕對值的幾何意義 從數(shù)軸上看表示數(shù)的點到原點的距離 表示數(shù) 數(shù)的兩點間的距離 aa ab ab 3 靈活運用絕對值的基本性質(zhì) 0a 222 aaa abab aa ba bb 例 1 已知 其中 那么 20 20 yxbxxb 020b 20bx 的最小值為 y CASIO 杯 河南省競賽題 試一試 結(jié)合已知條件判斷出每一個絕對值符號內(nèi)式子的正負(fù)性 再去掉絕對值符號 例 2 式子的所有可能的值有 abab abab A 個B 個C 個D 無數(shù)個234 試一試根據(jù) 的符號所有可能情況 去掉絕對值符號 這是解本例的關(guān)鍵 ab 例 3 1 已知 求 2 2 0aba 111 1 1 2 2 ababab 的值 1 2005 2006 ab 華羅庚杯 香港中學(xué)競賽題 2 設(shè) 為整數(shù) 且 求的值 abc 1abca caabbc 希望杯 邀請賽試題 試一試 對于 1 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先導(dǎo)出 的值 對于 2 寫成兩個非負(fù)整數(shù)的和ab1 的形式又有幾種可能 這是解 2 的突破口 例 4 閱讀下列材料并解決有關(guān)問題 我們知道現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式 如 0 0 0 0 x x xx x x 化簡代數(shù)式 時 可令 和 分別求得 1 2 xx 10 x 20 x 1x 2x 稱 分別為與的零點值 在有理數(shù)范圍內(nèi) 零點值和可將1 2 1 x 2 x 1x 2x 全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下種情況 3 1 2 3 從而化簡代數(shù)式可分以下1x 12x 2x 1 2 xx 種情況 3 1 當(dāng) 時 原式 1x 1 2 21xxx 2 當(dāng)時 原式 12x 1 2 3xx 3 當(dāng)時 原式 2x 1221xxx 綜上討論 原式 21 1 3 12 21 2 xx x xx 通過以上閱讀 請你解決以下問題 1 分別求出和的零點值 2 x 4 x 2 化簡代數(shù)式 2 4 xx 云南省中考題 試一試 在閱讀理解的基礎(chǔ)上化簡求值 例 5 1 當(dāng)取何值時 有最小值 這個最小值是多少 x 3 x 2 當(dāng)取何值時 有最大值 這個最大值是多少 x5 2 x 3 求的最小值 4 5 xx 4 求的最小值 7 8 9 xxx 分析對于 3 4 可先運用零點分段討論法去掉絕對值符號 再求最小值 也可利用 絕對值的幾何意義 即在數(shù)軸上找一表示的點 使之到表示 的點 或表示 x457 的點 的距離和最小 89 解 1 當(dāng)時 原式有最小值 最小值為 3x 0 2 當(dāng)時 原式有最大值 最大值為 2x 5 3 當(dāng)時 原式有最小值 最小值為 45x 1 4 當(dāng)時 原式有最小值 最小值為 8x 2 對于 3 給出另一種解法 當(dāng)時 原式 最小值為 4x 4 5 92xxx 1 當(dāng)時 原式 最小值為 45x 4 5 1xx 1 當(dāng)時 原式 最小值為 5x 4529xxx 1 綜上所述 原式有最小值等于 1 以退求進(jìn) 例 6 少年科技組制成一臺單項功能計算器 對任意兩個整數(shù)只能完成求差后 再取絕對 值的運算 其運算過程是 輸人第一個整數(shù) 只顯示不運算 接著再輸人整數(shù)心后則 1 x 2 x 顯示的結(jié)果 此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對值的運 12 xx 算 現(xiàn)小明將從 到這個整數(shù)隨意地一個一個地輸人 全部輸入完畢之后顯示的最119911991 后結(jié)果設(shè)為 試求出的最大值 并說明理由 PP 分析 先考慮輸入個數(shù)較少的情形 并結(jié)合奇偶分析調(diào)整估值 一步步求出的最大P 值 解 由于輸入的數(shù)都是非負(fù)數(shù) 當(dāng) 時 不超過 中最大 1 0 x 2 0 x 12 xx 1 x 2 x 的數(shù) 對 則不超過工 中最大的數(shù) 設(shè) 1 0 x 2 0 x 3 0 x 123 xxx 1 x 2 x 3 x 小明輸入這個數(shù)的次序是 相當(dāng)于計算 1991 1 x 2 x 1991 x 因此的值 12319901991 xxxxxP P 1991 x 另外從運算奇偶性分析 為整數(shù) 與奇偶性相同 因此與 1 x 2 x 12 xx 12 xx P 的奇偶性相同 121991 xxx 但偶數(shù) 于是斷定 我們證明可以 121991 121991xxx 1990 Px P 取到 1990 對 按如下次序 1234 1 3 4 2 0 對于均成立 因此 41 43 44 42 0kkkk 0 1 2 k 可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為 而后 1 19880 1989 1990 1991 1990 故的最大值為 P1990 數(shù)學(xué)沖浪 知識技能廣場 1 數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示 且 則 a 1 2a 37 a 2 已知 且 那么 5a 3b abba ab 3 化簡 11111111 20032003200220022001202004200401 北京市競賽題 4 已知有理數(shù) 在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示 則abc 化簡后的結(jié)果是 1 cacab 5 已知整數(shù) 滿足下列條件 1 a 2 a 3 a 4 a 1 0a 21 1 aa 依次類推 則的值為