蘇德礦新編微積分1方法總結(jié)

第一章第一章 函數(shù) 極限 連續(xù)函數(shù) 極限 連續(xù) 注注 表示方法常用重要表示方法常用重要 一 求函數(shù)極限的方法 1 極限的四則運(yùn)算 2 等價(jià)量替換 3 變量代換 4 洛比達(dá)法則 5 重要極限 6 初等函數(shù)的連續(xù)性 7 導(dǎo)數(shù)的定義 8 利用帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林 公式 9 夾逼定理 10 利用帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式 11 拉格朗日定理 12 無 窮小量乘以有界量仍是無窮小量等 二 已知函數(shù)極限且函數(shù)表達(dá)式中含有字母常數(shù) 確定字母常數(shù)數(shù)值的方法 運(yùn)用無窮小量階的比較 洛必達(dá)法則或帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式去分析問題 解決問題 三 無窮小量階的比較的方法 利用等價(jià)無窮小量替換或利用洛必達(dá)法則 無窮小量的等價(jià)代換或利用帶有皮亞諾余 項(xiàng)的佩亞諾余項(xiàng)公式展開 四 函數(shù)的連續(xù)與間斷點(diǎn)的討論的方法 如果初等函數(shù) 若在處沒有定義 但在一側(cè)或兩側(cè)有定義 是 xf xf 0 xx 0 x 則是間斷點(diǎn) 再根據(jù)在處左右極限來確定是第幾類間斷點(diǎn) 如果是分 0 xx 0 xx xf 段函數(shù) 分界點(diǎn)是間斷點(diǎn)的懷疑點(diǎn)和所給范圍表達(dá)式?jīng)]有定義的點(diǎn)是間斷點(diǎn) 五 求數(shù)列極限的方法 1 極限的四則運(yùn)算 2 夾逼定理 3 單調(diào)有界定理 4 5 數(shù)列的重要極限 6 用定積分的定義 lim lim AnfAxf nx 求數(shù)列極限 7 利用若收斂 則 8 無窮小量乘以有界量仍是無窮小 1n n a0lim n n a 量 9 等價(jià)量替換等 評注 1 數(shù)列的項(xiàng)有多項(xiàng)相加或相乘式或時(shí) 有無窮項(xiàng)相加或相乘 且不 n 能化簡 不能利用極限的四則運(yùn)算 2 如果數(shù)列的項(xiàng)用遞推關(guān)系式給出的數(shù)列的收斂性或證明數(shù)列極限存在 并求極限 用 2 單調(diào)有界定理 3 對數(shù)列極限的未定式不能用洛比達(dá)法則 因?yàn)閿?shù)列作為函數(shù)不連續(xù) 更不可導(dǎo) 故 對數(shù)列極限不能用洛比達(dá)法則 4 由數(shù)列中的通項(xiàng)是的表達(dá)式 即而是特殊 n an nfan lim limxfnf xn 與 與一般的關(guān)系 由歸結(jié)原則知 5 有或 lim1 0 1 1 n n i i ff x dx n n 1 lim1 0 0 1 n n i i ff x dx n n 第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 一 求一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)或給處在一點(diǎn)可導(dǎo)推導(dǎo)某個(gè)結(jié)論的方法 利用導(dǎo)數(shù)定義 經(jīng)常用第三種形式 二 研究導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性的方法 1 求出 對于分段函數(shù)的分界點(diǎn)要用左右導(dǎo)數(shù)定義或?qū)?shù)定義求 2 fx 的連續(xù)性 fx討論 三 求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 在求導(dǎo)之前盡可能的化簡 把函數(shù)的乘除盡量化成加減 利用對數(shù)微分法轉(zhuǎn)化為方程 確定隱函數(shù)的求導(dǎo)等等 從而簡化求導(dǎo)過程 要熟練記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 導(dǎo)數(shù) 的四則運(yùn)算 理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 四 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 求分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)不在分界點(diǎn)可直接利用求導(dǎo)公式 在分界點(diǎn) 1 若在分界點(diǎn)兩側(cè)的表達(dá)式不同 求分界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)有下述兩種方法 i 利用左右導(dǎo)數(shù)的定義 ii 利用兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的極限 2 若在分界點(diǎn)兩側(cè)的表達(dá)式相同 求分界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)有下述兩種方法 i 利用導(dǎo)數(shù)定義 ii 利用導(dǎo)函數(shù)的極限 五 求參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 3 若 則 0 ttt ty tx 存在且 t t dt dx dt dy dx dy 2 2 t dy d ydyt dt y dx dxdxt dt 六 求方程確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 解題策略 求方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí) 由 y 是 x 的函數(shù) yxgyxf xyy 此時(shí)方程兩邊是關(guān)于 x 表達(dá)式的恒等式 兩邊同時(shí)對 x 求導(dǎo) 會(huì)出現(xiàn)含有 y 的等式 然后 把 y 看成未知數(shù)解出即可 七 求變上下限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 解題策略 利用變上下限函數(shù)求導(dǎo)定理 注意化成變上下限函數(shù)的成標(biāo)準(zhǔn)形式 八 求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的方法 求導(dǎo)之前 對函數(shù)進(jìn)行化簡 盡量化成加減 再用高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 九 方程根的存在性 把要證明的方程轉(zhuǎn)化為 f x 0 的形式 對方程 f x 0 用下述方法 1 根的存在定理 若函數(shù) f x 在閉區(qū)間上連續(xù) 且則 ba 0 bfaf 至少存在一點(diǎn) 使 ba 0 f 2 若函數(shù) f x 的原函數(shù)在上滿足羅爾定理的條件 則 f x 在 xF ba a b 內(nèi)至少有一個(gè)零值點(diǎn) 3 用泰勒公式證明方程根的存在性 4 實(shí)常系數(shù)的一元 n 次方程 當(dāng) n 為 0 0 01 1 10 aaxaxaxa nn nn 奇數(shù)時(shí) 至少有一個(gè)實(shí)根 證 設(shè) 111 1 1101 1 10 n n n n n nn nn x a x a x aaxaxaxaxaxf 由不妨設(shè) a0 0 由于當(dāng) x N0時(shí) 都有 f x 0 0 a 0 1 0 lim NMxf x 取 4 1 0 取 b N0 有 f b 0 當(dāng) x N1時(shí) 都有 f x 0 1 1 lim NMxf x 取 1 0 取 a N1 b f a 0 由 f x 在 a b 連續(xù) f a f b 0 由根的存在定理知至 少存在一點(diǎn) 0 fba使 5 實(shí)系數(shù)的一元 n 次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有 n 個(gè)復(fù)數(shù)根 至多有 n 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 6 若 f x 在區(qū)間上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào) 則 f x 0 在內(nèi)至多有一個(gè)根 若函 數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù) 或極限 值同號(hào) 則 f x 0 無根 若函數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù) 或極限 值異號(hào) 則 f x 0 有一個(gè)根 7 求具體連續(xù)函數(shù) f x 0 在其定義域內(nèi)零值點(diǎn)的個(gè)數(shù) 首先求出 f x 的嚴(yán)格單 調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù) 若有 m 個(gè)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間 則至多有 m 個(gè)不同的根 至于具體有幾個(gè)根 按 照 6 研究每個(gè)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間是否有一個(gè)根 8 若函數(shù) f x 的原函數(shù) F x 在某點(diǎn) x0處取極值 在 x0處導(dǎo)數(shù)也存在 由費(fèi)馬定理知 F x0 0 即 f x0 0 用的較少 9 方程中含有字母常數(shù) 討論字母常數(shù)取何值時(shí) 方程根有幾個(gè)根地方法 1 把要證明的方程轉(zhuǎn)化為的形式 求出的單調(diào)區(qū)間 極值 求出每個(gè)嚴(yán)格單 g xk g x 調(diào)區(qū)間兩端函數(shù) 極限 值 畫草圖 討論曲線與軸相交的情況 確定方程根的個(gè) yk 數(shù) 2 把要證明的方程轉(zhuǎn)化為 f x 0 的形式 求出 f x 的單調(diào)區(qū)間 極值 求出每 個(gè)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間兩端函數(shù) 極限 值 畫草圖 討論曲線與 x 軸相交的情況 確定方程根 的個(gè)數(shù) 評注 在證明方程根的存在性的過程中 我們經(jīng)常要用拉格朗日定理 積分中值定 理 有時(shí)也用到柯西中值定理來證明滿足方程根的存在性所需的條件 然后利用上述的方 法來證明方程根的存在性 十 證明適合某種條件下的等式 1 常用的方法有羅爾定理 泰勒公式 根的存在定理 柯西定理 拉格朗定理 2 如果證明適合某種條件下的等式 要用兩次 上面的定理 3 證明存在 a 5 b 使有一個(gè)根 而 0 0 xgxfxfgff cdxxgdx xf xf xg xf xf xgxfxfln 0 ln lnln 1 xg CexfCxgxfCxgxdf xf 令 即 Cexf xg xg exfxF 0 xgxfxfCxF 故對在上滿足羅爾定理?xiàng)l件 至少存在一點(diǎn) 使即 xF 21 x x 2 1x x 0 F 0 gff 十一 證明不等式的方法 1 拉格朗日定理適用于已知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的條件 證明涉及函數(shù) 值 的不等式 2 泰勒公式適用于已知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的條件 證明涉及函數(shù) 值 或低階導(dǎo)函 數(shù) 值 的不等式 3 單調(diào)性定理 i 對于證明數(shù)的大小比較的不等式 轉(zhuǎn)化為同一個(gè)函數(shù)在區(qū)間 兩端點(diǎn)函數(shù) 或極限 值大小的比較 利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行證明 ii 對于證明函數(shù)大小比較的不等式 轉(zhuǎn)化為同一個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)上任意一點(diǎn)函數(shù)值 與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù) 或極限 值大小的比較 利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行證明 4 利用函數(shù)最大值 最小值證明不等式 把待證的不等式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上任意一點(diǎn)函數(shù)值與區(qū)間上某點(diǎn)處的函數(shù)值大小的比較 0 x 然后證明為最大值或最小值 即可證不等式成立 0 xf 5 利用函數(shù)取到唯一的極值證明不等式 把待證的不等式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上任意一點(diǎn)函值與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的函數(shù)值大小的比較 0 x 然后證明為唯一的極值且為極大值或極小值 即為最大值或最小值 即可證 0 xf 0 xf 不等式成立 6 6 用柯西定理證明不等式 7 利用曲線的凹向性證明不等式 第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué) 1 基本積分表 13 個(gè)公式 略 2 要知道下列重要不定積分的推導(dǎo)過程 記住這些不定積分結(jié)果 1 2 1 axax e dxeC a 1 cossinaxdxaxC a 3 1 sincosaxdxaxC a 4 5 22 1 arcsin x dxC a ax 22 1 dx ax 1 arctan x C aa 6 7 tanln cosxdxxC cotln sinxdxxC 8 9 22 11 0 ln 2 ax dx aC axaax cscxdx ln csccotxxC 10 secln sectanxdxxxC 11 0 dx ax 22 1 22 ln xxaC a 證 令 taxtan 原式 dt ta ta tda ata sec sec tan tan 1 2 222 tanseclnsec sec sec 2 2 2 ctttdtdt t t t 作出直角三角形 可知于是 tan a x t 由 sec 22 a xa t t a x 22 xa 圖 3 1 7 原式 22 22 lnlnln axx cxxaca aa 22 1 ln xxac 12 caxxdx ax 22 22 ln 1 一 求不定積分的方法 不定積分的線性運(yùn)算法則 湊數(shù)分法 變量代換法 分部積分法 還有有理式的 不定積分 三角函數(shù)有理式的不定積分 無理式的不定積分理論上的方法也要知道 二 涉及到定積分的方程根的存在性的方法 利用積分中值理 定積分的 13 條性質(zhì) 尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理 證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似 三 涉及到定積分的適合某種條件的等式的方法 利用積分中值理 定積分的 13 條性質(zhì) 尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理 證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似 四 涉及到定積分的不等式的方法 利用積分中值理 定積分的 13 條性質(zhì) 尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理 證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似 五 涉及到定積分的等式證明的方法 用變量代換較多或定積分的條性質(zhì) 周期函數(shù)積分的性質(zhì) 六 定積分計(jì)算的方法 利用牛 萊公式 定積分的線性運(yùn)算法則 湊微分 變量代換 分部積分計(jì)算及定積 分的其他公式 微元法要搞懂 七 定積分的幾何應(yīng)用 1 求平面圖形的面積 略 8 2 連續(xù) Ox軸及直線x a x b所圍成的曲邊梯形繞Ox軸旋轉(zhuǎn)而成的旋 xfy 轉(zhuǎn)體的體積Vx為 2 b a x dxxfV 3 連續(xù) Ox軸及直線