【中考十年】江蘇省無錫市2003-2012年中考數(shù)學試題分類解析匯編專題9 四邊形

用心 愛心 專心1 2003 20122003 2012 年江蘇省無錫市中考數(shù)學試題分類解析匯編年江蘇省無錫市中考數(shù)學試題分類解析匯編 專題專題 9 9 四邊形 四邊形 1 選擇題 1 江蘇省無錫市 2008 年 3 分 如圖 E F G H 分別為正方形 ABCD 的邊 AB BC CD DA 上的點 且 AE BF CG DH 1 3 AB 則圖中陰影部分的面積與正方形 ABCD 的面積之比為 2 5 4 9 1 2 3 5 答案 A 考點 正方形的性質 全等三角形的判定和性質 勾股定理 分析 先根據(jù)正方形的對稱性得到陰影部分是正方形 設正方形的邊長為 3a 利用勾股定理求出 CH DM HM 的長 即可得到 MN 的長 也就是陰影部分的 邊長 面積也就求出了 再求比值即可 設 CH 與 DE BG 分別相交于點 M N 正方形的邊長為 3a DH CG a 由正方形的中心對稱性知 陰影部分為正方形 且 ADE DCH 從而可得 DM CH 在 Rt CDH 中 由勾股定理得 CH 10a 由面積公式得 11 CH DM DH CD 22 得 DM 3 10 a 10 在 Rt DMH 中由勾股定理得 MH 10 a 10 則 MN CH MH CN 10a 3 10 a 10 103 10 a a 105 用心 愛心 專心2 陰影部分的面積 正方形 ABCD 的面積 2 2 2 3 10902 a3a 9a 5255 故選 A 2 江蘇省無錫市 2011 年 3 分 菱形具有而矩形不一定具有的性質是 A 對角線互相垂直 B 對角線相等 C 對角線互相平分 D 對角互補 答案 A 考點 菱形和矩形的性質 分析 區(qū)分菱形和矩形的性質 直接得出結果 A 對角線互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的 性質 選項正確 B 對角線相等是矩形具有而菱形不一定具有的性質 選項錯誤 C 對角線互相平分 是矩形和菱形都具有的性質 選項錯誤 D 對角互補是矩形具有而菱形不一定具有的性質 選項錯誤 故選 A 3 2012 江蘇無錫 3 分 如圖 梯形 ABCD 中 AD BC AD 3 AB 5 BC 9 CD 的垂直平分線交 BC 于 E 連接 DE 則四邊形 ABED 的周長等于 A 17B 18C 19D 20 答案 A 考點 梯形和線段垂直平分線的性質 分析 由 CD 的垂直平分線交 BC 于 E 根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等的性質 即可得 DE CE 即可由已知 AD 3 AB 5 BC 9 求得四邊形 ABED 的周長為 AB BC AD 5 9 3 17 故選 A 二 填空題 1 江蘇省無錫市 2004 年 3 分 已知梯形的中位線長為 6 高為 4 則此梯形的面積為 2 答案 24 考點 梯形中位線定理 分析 根據(jù)梯形的中位線定理及梯形的面積公式即可求得其面積 用心 愛心 專心3 梯形的中位線長為 1 2 上底 下底 6cm 梯形的面積為 1 2 上底 下底 4 6 4 24cm2 2 江蘇省無錫市 2004 年 3 分 如圖 AABCD 中 AE CF 分別是 BAD 和 BCD 的角平分線 根據(jù)現(xiàn) 有的圖形 請?zhí)砑右粋€條件 使四邊形 AECF 為菱形 則添加的一個條件可以是 只需寫出一個 即可 圖中不能再添加別的 點 和 線 答案 AC EF 答案不唯一 考點 平行四邊形的性質 菱形的判定 分析 菱形的判定方法有三種 定義 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 四邊相等 對角線 互相垂直平分的四邊形是菱形 因此 根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形 AECF 是平行四邊形 由平行四邊形的性質知 對角線互相平 分 又對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形 可得 當 AC EF 時 四邊形 AECF 是菱形 則添加的一 個條件可以是 AC EF 3 江蘇省無錫市 2005 年 2 分 若梯形的面積為 6 2 高為 2 則此梯形地中位線長為 答案 3 考點 梯形中位線定理 分析 根據(jù)題意可求得其兩底和 從而根據(jù)中位線定理不難求得其中位線的長 梯形的面積為 6 2 高為 2 梯形的中位線 梯形的兩底和的一半 面積 高 3cm 4 江蘇省無錫市 2007 年 2 分 如圖 1 是一種帶有黑白雙色 邊長是20cm的正方形裝飾瓷磚 用這 樣的四塊瓷磚可以拼成如圖 2 的圖案 已知制作圖 1 這樣的瓷磚 其黑 白兩部分所用材料的成本分別 為0 02元 2 cm和0 01元 2 cm 那么制作這樣一塊瓷磚所用黑白材料的最低成本是 元 取3 14 結果精確到0 01元 用心 愛心 專心4 圖 1 圖 2 答案 6 73 考點 正方形的性質 扇形面積的計算 二次函數(shù)的最值 分析 由圖可知 每塊正方形瓷磚的黑色部分都是由兩個全等的直角三角形和一個扇形組成 可設扇 形的半徑為 xcm 則直角三角形的短直角邊長為 20 x cm 即可表示出正方形瓷磚黑色部分的面積 從而表示出白色部分的面積 然后算出各種材料費之和 根據(jù)函數(shù)的最值問題得解即可 設圓的半徑為 xcm 則三角形的短直角邊為 20 x cm 則小方磚黑部分的面積為 22 xx 20 20 x22 20 x400 44 白色部分的面積為 22 xx 400 20 x400 20 x 44 一塊小方磚的小成本 22 2 xx y 20 x4000 0220 x0 01 0 0025 x0 2x8 44 22 4acb40 0025 3 14 80 2 y 6 73 4a40 0025 3 14 四四 5 江蘇省 2009 年 3 分 如圖 已知EF是梯形 ABCD 的中位線 DEF 的面積為 2 4cm 則梯形 ABCD 的面積為 cm2 答案 16 考點 梯形中位線定理 分析 根據(jù)已知 DEF 的高為梯形高的一半 從而根據(jù)三角形的面積可求得中位線與高的乘積 即求得 了梯形的面積 設梯形的高為 h EF 是梯形 ABCD 的中位線 DEF 的高為 h 2 DEF 的面積為 1h1 EFEF h4 224 EF h16 梯形 ABCD 的面積為 1 AD BChEF h16 2 用心 愛心 專心5 6 江蘇省無錫市 2010 年 2 分 如圖 梯形 ABCD 中 AD BC EF 是梯形的中位線 對角線 AC 交 EF 于 G 若 BC 10cm EF 8cm 則 GF 的長等于 cm 答案 3 考點 梯形中位線定理 相似三角形的判定和性質 分析 梯形 三角形的中位線 一方面可以得到位置關系 梯形中位線平行兩底 三角形中位線平行 第三邊 另一方面可以得到數(shù)量關系 梯形中位線等于兩底和的一半 三角形中位線等于第三邊的一半 EF 是梯形的中位線 EF 1 2 AD BC AD 2EF BC 6cm FG AD CFG CDA 1 2 GFCF ADCD GF 3 cm 三 解答題 1 江蘇省無錫市 2003 年 10 分 已知 如圖 四邊形 ABCD 為正方形 以 AB 為直徑的半圓 O1和以 O1C 為直徑的 O2交于點 F 連 CF 并延長交 AD 于點 H FE AB 于點 E BG CH 于點 G 求證 BC AE BG 連 AF 當正方形 ABCD 的邊長為 6 時 求四邊形 ABGF 的面積 答案 解 1 證明 連 O1F BF O1C 為 O2的直徑 O1F CH CF 為 O1 的切線 ABC 90 BC 為 O1的切線 CB CF BFC FBC EF AB EF BC EFB FBC BFC 又 BGF BEF 90 BF BF BGF BEF AAS BG BE 用心 愛心 專心6 AE BG AE BE AB 正方形 ABCD BC AB AE BG 2 正方形 ABCD 的邊長為 6 BC 6 AO1 BO1 3 又 BC CF 為 O1的切線 BC CF BCO1 FCO1 CO1 BF O1BC 90 O1BF O1CB O1BC AFB 90 O1BC AFB 1 O BAF1 FBBC2 在 Rt AFB 中 222 AB AF FB AB 6 2 22 6 AF 2AF 解得 6 512 5 AFBF 55 四 在 Rt AFB 中 EF AB AEF AFB AEEFAF AFFBAB 即 6 5 AEEF 5 66 512 5 55 解得 AE 6 5 EF 12 5 BE 6 6 5 24 5 ABFBFGBEF 11123611 24 12144 SAB EF 6 SSBE EF 2255225525 四 ABFBFGAFGB 36144324 S SS 52525 四四 邊 考點 圓周角定理 切線的判定 切線長定理 等腰三角形的性質 平行的判定和性質 全等三角形 的判定和性質 正方形的性質 相似三角形的判定和性質 三角形的面積 分析 1 連 O1F BF 利用全等三角形的判定方法可得到 BGF BEF 再根據(jù)全等三角形的性 質得到 BG BE 從而可得到所求的結論 2 連 O1H 根據(jù)正方形的性質 相似三角形的判定和性質及平行線的性質求得 AE 等線段的值 再根據(jù)三角形的面積公式即可求得四邊形 ABGF 的面積 2 江蘇省無錫市 2004 年 10 分 將正方形 ABCD 折疊 使頂點 A 與 CD 邊上的點 M 重合 折痕交 AD 于 E 交 BC 于 F 邊 AB 折疊后與 BC 邊交于點 G 如圖 1 如果 M 為 CD 邊的中點 求證 DE DM EM 3 4 5 2 如果 M 為 CD 邊上的任意一點 設 AB 2a 問 CMG 的周長是否與點 M 的位置有關 若有關 請 用心 愛心 專心7 把 CMG 的周長用含 DM 的長 x 的代數(shù)式表示 若無關 請說明理由 答案 解 1 證明 設正方形邊長為 a DE 為 x 則 DM a 2 EM EA a x 在 Rt DEM 中 D 90 DE2 DM2 EM2 即 x2 a 2 2 a x 2 解得 3 x a 8 EM a x 35 aa a 88 DE DM EM 315 aaa 3 4 5 828 四四 2 CMG 的周長與點 M 的位置無關 理由如下 設 CM x DE y AB 2a DM 2a x EM 2a y EMG 90 DME CMG 900 DME DEM 90 DEM CMG 又 D C 90 DEM CMG CGCMMG DMDEEM 即 CGxMG 2axy2ay x 2ax x 2ay CGMG yy 四 在 Rt DEM 中 DM2 DE2 EM2 即 2a x 2 y2 2a y 2 整理得 4ax x2 4ay CMG 的周長為 CM MG CG 22 x 2ay x 2ax xy2axxy2axx4axx4ay x 4a yyyyy 所以 CMG 的周長為 4a 與點 M 的位置無關 考點 翻折變換 折疊問題 勾股定理 正方形的性質 相似三角形的判定和性質 代數(shù)式化簡 用心 愛心 專心8 分析 1 設正方形邊長為 a DE 為 x 則根據(jù)折疊知道 DM a 2 EM EA a x 然后在 Rt DEM 中就可 以求出 x 這樣用 a 表示了 DE DN EM 即可求出它們的比值 2 CMG 的周長與點 M 的位置無關 設 CM x DE y 則 DM 2a x EM 2a y 根據(jù)正方形的性 質和折疊可以證明 DEM CMG 利用相似三角形的對應邊成比例可以把 CG MG 分別用 x y 分別表示 CMG 的周長也用 x y 表示 然后在 Rt DEM 中根據(jù)勾股定理可以得到 4ax x2 4ay 結合 CMG 的周長 就可以判斷 CMG 的周長與點 M 的位置無關 3 江蘇省無錫市 2005 年 10 分 如圖 已知矩形 ABCD 的邊長 AB 2 BC 3 點 P 是 AD 邊上的一動點 P 異于 A D Q 是 BC 邊上的任意一點 連 AQ DQ 過 P 作 PE DQ 交 AQ 于 E 作 PF AQ 交 DQ 于 F 1 求證 APE ADQ 2 設 AP 的長為 x 試求 PEF 的面積 S PEF關于 x 的函數(shù)關系式 并求當 P 在何處時 S PEF取得 最大值 最大值為多少 3 當 Q 在何處時 ADQ 的周長最小 須給出確定 Q 在何處的過程或方法 不必給出證明 答案 解 1 證明 PE DQ APE ADQ AEP AQD APE ADQ 2 作 ADQ 中 DQ 邊點的高 AH AH DQ AHD 900 四邊形 ABCD 是矩形 DCQ ACD 900 ADH 900 QDC DQC ADH ADQ AHAD DCDQ DC AB 2 AD BC 3 AH3 2DQ 即DQ AH 6 ADQ 11 SDQ AH 63 22 用心 愛心 專心9 APE ADQ AP x 22 APE 22 ADQ SAPx SAD3 即 222 APEADQ 2 xxx SS 3 393 又 PF AQ PE DQ PAE DPF APE D APE PDF 2 APE 2 PDF SAP SPD 又 PD 3 x 22 APE 22 PDF SAPx SPD 3x 即 22 2 2 PDFAPE 22 3x3xx1 S S x6x3 xx33 又 PF AQ PE DQ 四邊形 PEQF 是平行四邊形 PEFPEQH 1 SS 2 A 2 22 PEFPEQHADQAPEPDF 111x11 SS SSS3x6x3x3x 222333 A 又 2 2 PEF 11 Sx3x 33 x 3324 當 3 x 2 即 P 是 AD 的中點時 S PEF取得最大值 4 3 3 作 A 關于直線 BC 的對稱點 A 連 DA 交 BC 于 Q 則 這個點 Q 就是使 ADQ 周長最小的點 此時 Q 是 BC 的中點 考點 矩形的性質 平行的性質 直角三角形兩銳角的關系 相似三 角形的判定和性質 平行四邊形的判定和性質 三角形的面積 二次函 數(shù)的最值 軸對稱的性質 三角形三邊關系 分析 1 由 PE DQ 即可得 APE ADQ AEP AQD 從而 APE ADQ 得證 2 注意到 ADH ADQ APE ADQ 和 APE PDF 及 PEFPEQH 1 SS 2 A 由相似三角形 面積的比等于相似比的平方的性質 即可得到 S PEF xx 2 3 1 4 3 2 3 3 1 2 x 當 2 3 x 即 P 是 AD 的中點時 S PEF取得最大值 4 3 用心 愛心 專心10 3 如圖 根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的 對 BC 上任一點 Q 總有 A Q DQ A D 由軸對稱的性質 得 A Q AQ A Q AQ 所以 AQ DQ AQ QD 即 AD AQ DQ AD AQ QD 所以 ADQ 的周長大于 ADQ 的周長 即點 Q 就是使 ADQ 周長最小的 點 4 江蘇省無錫市 2006 年 7 分 已知 如圖 AABCD 中 BCD 的平分線交 AB 于 E 交 DA 的延長線 于 F 求證 AE AF 答案 證明 在AABCD 中 AB DC D BC AEF DCE F BCE CE 平分 DCB DCE BCE F AEF AE AF 考點 平行四邊形的性質 平行的性質 角平分線的性質 等腰三角形的判定 分析 由平行四邊形的性質可以推出 AB DC AD BC 然后利用它們得到角的關系 再由角平分線的 性質經(jīng)過等量代換即可得 F AEF 從而根據(jù)等腰三角形等角對等邊的判定證明題目結論 5 江蘇省無錫市 2006 年 9 分 如圖 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC AB 8cm CD 2cm AD 6cm 點 P 從點 A 出發(fā) 以 2cm s 的速度沿 AB 向終點 B 運動 點 Q 從點 C 出發(fā) 以 1cm s 的速度沿 CD DA 向 終點 A 運動 P Q 兩點中 有一個點運動到終點時 所有運動即終止 設 P Q 同時出發(fā)并運動了 t 秒 1 當 PQ 將梯形 ABCD 分成兩個直角梯形時 求 t 的值 2 試問是否存在這樣的 t 使四邊形 PBCQ 的面積是梯形 ABCD 面積的一半 若存在 求出這樣的 t 的值 若不存在 請說明理由 用心 愛心 專心11 答案 解 1 過 D 作 DE AB 于 E 過 C 作 CF AB 于 F 如圖 1 ABCD 是等腰梯形 四邊形 CDEF 是矩形 DE CF 又 AD BC Rt ADE Rt BCF AE BF 又 CD 2cm AB 8cm EF CD 2cm 1 82AEB 3 cm 2 F 若四邊形 APQD 是直角梯形 則四邊形 DEPQ 為矩形 CQ t DQ EP 2 t AP AE EP 2t32t 解得 5 t 3 2 存在 理由如下 在 Rt ADE 中 3693cm DE3 C 2 AB D 1 82 3 315 3 cm 2 S 四四 當 S四邊形 PBCQ ABCD 1 2 S 四四 時 如圖 2 若點 Q 在 CD 上 即 0 t 2 則 CQ t BP 8 2t S四邊形 PBCQ 115 3 t82t 3 3 22 解得 t 3 不合點 Q 在 CD 的條件 舍去 如圖 3 若點 Q 在 AD 上 即 2 t 4 過點 Q 作 HG AB 于 G 交 CD 的延長線于 H 用心 愛心 專心12 由圖 1 知 AE ADE 1 sin 2AD 3ADE0 則 A 60 在 Rt AQG 中 AQ 8 t QG AQ sin60 3 8t 2 在 Rt QDH 中 QDH 60 DQ t 2 3 t2 sin60QHD 2 Q 由題意知 S四邊形 PBCQ APQCDQ 13 8t 13 t2 15 3 2t2 222 SS 22 四 即 2 t9t170 解之得 1 913 t 2 不合題意 舍去 2 913 t 2 存在 913 t 2 使四邊形 PBCQ 的面積是梯形 ABCD 面積的一半 考點 動點問題 等腰梯形和直角梯形的性質 矩形的判定和性質 全等三角形的判定和性質 勾股 定理 解方程 銳角三角函數(shù) 特殊角的三角函數(shù)值 分析 1 通過構造全等三角形 Rt ADE Rt BCF 證明 AE BF 建立等量關系求解即可 2 分點 Q 在 CD 上和在 AD 上兩種情況討論即可 6 江蘇省無錫市 2008 年 7 分 如圖 四邊形ABCD中 ABCD AC平分BAD CEAD 交AB于E 1 求證 四邊形AECD是菱形 2 若點E是AB的中點 試判斷ABC 的形狀 并說明理由 答案 解 1 證明 ABCD 即AECD 又 CEAD 四邊形AECD是平行四邊形 AC平分BAD CAECAD 用心 愛心 專心13 又 ADCE ACECAD ACECAE AECE 四邊形AECD是菱形 2 ABC 是直角三角形 理由如下 E是AB中點 AEBE 又 AECE BECE BBCE 180BBCABAC 2 2180BCEACE 90BCEACE 即90ACB ABC 是直角三角形 考點 菱形的判定 等腰三角形的判定和性質 平行的性質 三角形內角和定理 直角三角形的判定 分析 1 由已知ABCD CEAD 知四邊形AECD是平行四邊形 從而根據(jù)菱形的判定只 要一組鄰邊相等即可 由AC平分BAD 和ADCE 即可證得ACECAE 從而根據(jù)等腰三角 形等角對等邊的判定即可證得AECE 因此得證 2 要證ABC 是直角三角形 只要證90ACB 即 90BCEACE 即可 由E是 AB中點和 1 AECE 可得BECE 根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質得BBCE 從而由 三角形內角和定理即可證得90BCEACE 從而得證 7 江蘇省無錫市 2008 年 8 分 一種電訊信號轉發(fā)裝置的發(fā)射直徑為 31km 現(xiàn)要求 在一邊長為 30km 的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點 每個點安裝一個這種轉發(fā)裝置 使這些裝置轉發(fā)的信號能完全覆蓋這 個城市 問 1 能否找到這樣的 4 個安裝點 使得這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到預設的要求 2 至少需要選擇多少個安裝點 才能使這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后達到預設的要求 答題要求 請你在解答時 畫出必要的示意圖 并用必要的計算 推理和文字來說明你的理由 下面給 出了幾個邊長為 30km 的正方形城區(qū)示意圖 供解題時選用 用心 愛心 專心14 答案 解 1 將圖 1 中的正方形等分成如圖的四個小正方形 將這 4 個轉發(fā)裝置安裝在這 4 個小正 方形對角線的交點處 此時 每個小正方形的對角線長為 1 30 215 231 2 A 每個轉發(fā)裝置都能完全 覆蓋一個小正方形區(qū)域 故安裝 4 個這種裝置可以達到預設的要求 圖案設計不唯一 2 將原正方形分割成如圖 2 中的 3 個矩形 使 得BEDGCG 將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點處 設AEx 則30EDx 15DH 由BEDG 得 2222 3015 30 xx 22515 604 x 2 2 15 3030 231 4 BE 即如此安裝 3 個這種轉發(fā)裝置 也能達到預設要求 或 將原正方形分割成如圖 2 中的 3 個矩形 使得31BE H是CD的中點 將每 個裝置安裝在這些矩形的對角線交點處 則 22 313061AE 3061DE 22 3061 1526 831DE 即如此安裝三個這個轉發(fā)裝置 能達到預設要求 要用兩個圓覆蓋一個正方形 則一個圓至少要經(jīng)過正方形相鄰兩 個頂點 如圖 3 用一個直徑為 31 的OA去覆蓋邊長為 30 的正方形ABCD 設 OA經(jīng)過AB OA與AD交于E