江蘇省高三歷次模擬數(shù)學(xué)試題分類匯編：第14章曲線與方程

- 1 - 目錄 （基礎(chǔ)復(fù)習(xí)部分） 第十四章 曲線與方程、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法 . 2 第 01 課 曲線與方程 . 2 第 02 課 拋物線 . 2 第 03 課 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 6 第 04 課 數(shù)學(xué)歸納法 . 7 - 2 - 第十四章 曲線與方程、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法 第 01課 曲線與方程 （鎮(zhèn)江期末） 已知 A 為曲線 C ： 24 1 0 上的動點，定點 ( 2,0)M ，若 2M= ，求動點 解：設(shè) ( , )T x y ，00( , )A x y，則 2004 1 0 2 分 又 ( 2,0)M ，由 2M 得00( , ) 2 ( 2 , 0 )x x y y x y ， 5 分 0 34 ，0 3 7 分 代入 式得 24 ( 3 4 ) 3 1 0 ，即為所求軌跡方程 10 分 （前黃姜堰四校聯(lián)考） 如圖， 正方形 正方形 邊長分別為 ,a b a b ，原點 O 為 物線 2 2經(jīng)過 兩點 ,求 , 解 ： 由條件可知 ( , ) , ( , )22a F b b 4 分 ,拋物線 2 2上 ，22( ) 222 ( )2 ， 可得 112第 02課 拋物線 物線關(guān)于 y 軸對稱，頂點在坐標原點，點 (2,1)P ，11( , )A x y ， 22( , )B x y 均在拋物線上. （ 1）求拋物線的方程； （ 2）若 的平分線垂直于 y 軸，證明直線 斜率為定值 . A O x y P B 22 題） - 3 - （蘇北四市期末） 在平面直角坐標系 ，已知拋物 2 2 ( 0 )y p x p的準線方程為 1,4x 過點 M(0,拋物線的切線 點為 A（異于點 O)l 過點 M 與拋物線交于兩點 B,C，與直線 于點 N. (1)求拋物線的方程 ; (2)試問 : C的值是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由。 （ 1）由題設(shè)知， 124 -，即 12p=， 所以拋物線的方程為 2 2 分 （ 2）因為函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 12y x=-，設(shè) 00( , )A x y ， 則直線 方程為0001 ()2y y x - -， 4 分 因為點 (0, 2)M - 在 直線 ，所以000112 ( )2 = - ? - 4 - 聯(lián)立 0020012, - - ? =解得 (16, 4)A - 5 分 所以直線 4 6 分 設(shè)直線 程為 2y ， 由 2 ,2 =2 ( 4 1 ) 4 0k x k + =， 所以224 1 4,B C B x x = = 7 分 由 1 ,4241Nx k= + 8 分 所以 22418 8 4 1 244 1 4 1 4N N B B x x M N M C x x x x k + = + = ? ? ?+， 故 C 為定值 2 1 0 分 （南通調(diào)研二）如圖，在平面直角坐標系 ，點 (8 4)A ， ， (2 )( 0)t 在拋物線2 2y ( 0)p 上 （ 1）求 p ， t 的值； （ 2）過點 P 作 直于 x 軸， M 為垂足，直線 拋物線的另一交點為 B ，點 C 在直線 若 斜率分別為1k，2k，3k，且1 2 32k k k， 求點 C 的坐標 解：（ 1）將點 (8 4)A ， 代入 2 2y ， 得 1p ， 2 分 將點 (2 )代入 2 2，得 2t ， 因為 0t ，所以 2t 4 分 （ 2）依題意， M 的坐標為 (2 0)， ， 直線 方程為 2433 ， 聯(lián)立224332 ， 并解得 B 1 12， ， 6 分 B （第 22 題） y x O A C P M - 5 - 所以1 13k ， 2 2k ， 代入1 2 32k k k得，3 76k ， 8 分 從而直線 方程為 7163 ， 聯(lián)立 24337163 ， 并解得 C 82 3 ， 10 分 （南師附中四校聯(lián)考）已知拋物線 2 上有四點 ),(),( 2211 、 ),(),(4433 ，點M（ 3,0），直線 過點 M，且都不垂直于 x 軸，直線 點 x 軸，交 點 P，交 點 Q. （ 1）求 21值； （ 2）求證： Q. （ 1 ）設(shè)直線 方 程 為 3 與 拋 物 線 聯(lián) 立 得 ：0622 2 分 621 4 分 （ 2） 直線 斜率為313131 2 直線 方程為1131 )(2 點 P 的縱坐標為31316 yy 6 分 6)(66)6(632323232 7 分 同理：點 Q 的縱坐標為 )(63223 yy 9 分 0QP x 軸 Q. 10 分 x O y A B C P D Q M - 6 - 第 03課 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （前黃姜堰四校聯(lián)考） 已知常數(shù) 0a ，函數(shù) 2( ) l n (1 )2xf x a x x . (1)討論 ()0, ) 上的單調(diào)性； (2)若 () ( ) 0f x f x，求 a 的取值范圍 解： (1)f(x) 2（ x 2） 2x（ x 2） 2 4（ a 1）（ 1 x 2） 2.(*) 當(dāng) a 1 時， f(x)0，此時， f(x)在區(qū)間 (0， )上單調(diào)遞增 當(dāng) 00. 故 f(x)在區(qū)間 (0， 單調(diào)遞減， 在區(qū)間 ( )上單調(diào)遞增 綜上所述， 當(dāng) a 1 時， f(x)在區(qū)間 (0， )上單調(diào)遞增； 當(dāng) 0 a 1 時， f(x)在區(qū)間 0， 2 1 單調(diào)遞減，在區(qū)間 2 1 上單調(diào)遞增 4 分 (2)由 (*)式知 ，當(dāng) a 1 時， f(x) 0， 此時 f(x)不存在極值點，因而要使得 f(x)有兩個極值點，必有 0 1a且 x 2， 所以 2 1 1a， 2 1 2， 解得 a (*)式易知， 別 是 f(x)的極小值點和極大值點 而 f( f( 22 22 a( 44（ x2）2（ 4 a 1)2 4（ a 1）2a 1 a 1)2 22a 1 2. 令 2a 1 g(1) 20. - 7 - 綜上所述，滿足條件的 a 的取值范圍為 12， 1 . 10 分 (栟茶中學(xué)學(xué)測一 )已知函數(shù) 21 2xf x e x （ 1）求函數(shù) ； （ 2）證明： 2122 解： （ 1） 2122xf x e ； - 4 分 （ 2）由 212 2 0xf x e 可得 12x， 1, 2x 時， 0 ； 1 ,2x 時， 0 。 - 6 分所以，當(dāng) 12x時， m i 2f x f ， 所以 02 ，即 21 22 ，可得 2122 10 分 第 04課 數(shù)學(xué)歸納法 設(shè) n 個正數(shù)1a，2a， （ n N*且 3n ） （ 1）當(dāng) 3n 時，證明：2 3 3 112 1 2 3312aa a a a a ； （ 2）當(dāng) 4n 時，不等式2 3 3 41 2 4 1 1 2 3 43 4 1 2aa a a aa a a a a a aa a a a 也成立，請你將其推廣到 n （ n N*且3n ）個正數(shù) 1a ， 2a ， 情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明 23解：（ 1）因為n N*且 3n ）均為正實數(shù)， 左 右 =1 3 2 3 2 3 1 31 2 1 21 2 32 3 1 3 1 21 1 12 2 22 2 2a a a a a a a aa a a aa a aa a a a a a 1 3 2 3 2 3 1 31 2 1 21 2 32 3 1 3 1 21 1 12 2 2 2 2 22 2 2a a a a a a a aa a a aa a aa a a a a a =0， 所以，原不等式2 3 1 3 12 1 2 31 2 3aa a a a aa a a 成立 4 分 （ 2）歸納的不等式為： 2 3 2 1 1 112 123 4 1 2n n n n n a a a a a a a a a a +(n N*且 3n ) 5 分 記 2 3 2 1 1 112 123 4 1 2n n n n a a a a a a a aa a a a a +， 當(dāng) 3n （ n N*）時，由（ 1）知，不等式成立； 假設(shè)當(dāng) （ n N*且 3k ）時，不等式成立，即 - 8 - 2 3 2 1 1 112 123 4 1 20k k k k a a a a a a a aa a a a a + 則當(dāng) 1時， 2 3 2 1 1 1 1 1121 1 2 13 4 1 1 2k k k k k k kk k a a a a a a a a a a aa a a a a a +=1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 2k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +7 分 = 11 1 11 1 1 211 1kk k k k k aF a a a a aa a a a + 2 1111 1 11101 kk k k aa a a aa a a a += 11111k k a a a ， 因為1，112 ， 1 1 1112k k k a a ， 所以1 0，所以當(dāng) 1，不等式成立 9 分 綜上 ，2 3 2 1 1 112 123 4 1 2n n n n n a a a a a a a a a a +(n N*且 3n )成立 10 分 若存在 n 個不同的正整數(shù)12, , , na a a，對任意 1 i j n剟 ，都有 Z，則稱這 n 個不同的正整數(shù)12, , , na a n 個好數(shù)” （ 1）請分別對 2n ， 3n 構(gòu)造一組“好數(shù)”； （ 2）證明：對任意正整數(shù) ( 2)，均存在“ n 個好數(shù)” 解 ：（ 1）當(dāng) 2n 時，取數(shù)1 1a，2 2a ，因為 21 312 Z， 1 分 當(dāng) 3n 時，取數(shù)1 2a，2 3a ，3 4a ，則12125 Z， 23237 Z，13133 Z， 3 分 即1 2a，2 3a ，3 4a 可構(gòu)成三個好數(shù) 4 分 （ 2）證： 由（ 1）知當(dāng) 2,3n 時均存在， 假設(shè)命題當(dāng) ( 2, )n k k k Z 時，存在 k 個不同的正整數(shù)12, , , ka a a，其中12 ka a a ， 使得對任意 1 i j k剟 ，都有 5 分 則當(dāng) 1時，構(gòu)造 1k 個數(shù)12, , , , a A a A a ， ， （ *） - 9 - 其中 1 2 3 ， 若在（ *） 中取到的是 A 和 ()iA a i k ，則 21 a a a Z， 所以成立， 若取到的是 ()iA a i k 和 ()jA a j k ，且 ， 則 2+i j i ji j i j i jA a A a a a A a a a a a ，