【畢業(yè)學(xué)位論文】（Word原稿）初中數(shù)學(xué)幾何變換思想的教學(xué)策略的研究-學(xué)科教學(xué)•數(shù)學(xué)

分類號： 單位代碼： 10636 密 級： 公開 學(xué) 號： 專業(yè)學(xué)位碩士論文 中文論文題目 ： 初中數(shù)學(xué)幾何變換思想的教學(xué)策略的研究 英文論文題目： of 論文作者 ： 胡榮萍 指導(dǎo) 教師 ： 張紅、李昌勇 專業(yè)學(xué)位類別 ： 教育碩士 專業(yè)領(lǐng)域 ： 學(xué)科教學(xué)數(shù)學(xué) 論文形式： 教學(xué)研究 所在學(xué)院： 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 論文提交 日期 ： 2013 年 3 月 20 日 論文答辯日期 ： 年 月 日 川師范大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交學(xué)位論文 初中數(shù)學(xué)幾何變換思想的教學(xué)策略的研究 ，是本人在導(dǎo)師 張紅、李昌勇 指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品或成果。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 本人承諾：已提交的學(xué)位論文電子版與論文紙本的內(nèi)容一致。如因不符而引起的學(xué)術(shù)聲譽(yù)上的損失由本人自負(fù)。 學(xué)位論文作者： 簽字日期： 年 月 日 四川師范大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本人同意所撰寫學(xué)位論文的使用授權(quán)遵照學(xué)校的管 理規(guī)定： 學(xué)校作為申請學(xué)位的條件之一，學(xué)位論文著作權(quán)擁有者須授權(quán)所在大學(xué)擁有學(xué)位論文的部分使用權(quán)，即： 1）已獲學(xué)位的研究生必須按學(xué)校規(guī)定提交印刷版和電子版學(xué)位論文， 可以 將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫 供 檢索； 2）為教學(xué)、 科研 和學(xué)術(shù)交流 目的，學(xué)?？梢詫⒐_的學(xué)位論文或解密后的學(xué)位論文作為資料在圖書館、資料室等場所或在 有關(guān) 網(wǎng) 絡(luò) 上供閱讀、瀏覽。 本人授權(quán)萬方數(shù)據(jù)電子出版社將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫，并通過網(wǎng)絡(luò)向社會公眾提供信息服務(wù)。同意按相關(guān)規(guī)定享受相關(guān)權(quán)益。 （保密的學(xué)位論文在解密后 適用本授權(quán)書） 學(xué)位論文作者簽名： 導(dǎo)師簽名： 簽字日期： 年 月 日 簽字日期： 年 月 日 四川師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 I 初 中數(shù)學(xué) 幾何 變換 思想的教學(xué)策略的 研究 教育碩士 學(xué)科教育（數(shù)學(xué)）專業(yè) 摘要 ： 本文立足于變換思想對自然科學(xué)、現(xiàn)實(shí)生活的重要影響以及 現(xiàn)行的九年制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （ 2011 版 ）中 關(guān)于 幾何 變換 的 思想方法 要求 ， 以 幾何 變換思想方法為主線，以 初中 學(xué)生和教師對 幾何變換思想的理解與認(rèn) 識為研究對象，應(yīng)用教育學(xué)與心理學(xué)的相關(guān)理論知識，剖析學(xué)生和教師對 幾何 變換思想方法 理 解 和研究 ， 深入 挖掘 幾何變換作為 理解層次的內(nèi)涵， 深入 探究 初中數(shù)學(xué) 幾何 變換思想 的 知識點(diǎn) 所包含 的數(shù) 學(xué)方法 與數(shù)學(xué)思想 ， 深入 研究 初中 學(xué)生的 對幾何變換思想的 認(rèn)知規(guī)律，讓 初中學(xué)生學(xué)會感受數(shù)學(xué)文化 ，潛移默化地受到 幾何變換思想方法的熏陶，從而 在生活中 主動地運(yùn)用 幾何 變換的思想方法解答具有變換性的 初 中數(shù)學(xué) 問題 。 論文共分 為 五章。 第一章 緒論，主要內(nèi)容為研究背景和研究意義，國內(nèi)外研究的現(xiàn)狀，由此提出本文的研究目標(biāo)，研究內(nèi)容和研究方法。 第 二章 主要尋找變換思想的理論依據(jù)，為研究提供依據(jù)，揭示研究的必要性和理論支撐。 第三章 中學(xué)生對變換思想 的理解與認(rèn)識 存在的現(xiàn)狀分析 。 第四章 克服初中生變換概念理解困難的教學(xué)對策 。 四川師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 五章 初中幾何變換思想的意義 。 關(guān)鍵詞 ： 初中數(shù)學(xué)；幾何變換； 數(shù)學(xué) 思想； 教學(xué)設(shè)計(jì)； 教學(xué)策略 四川師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 of on to an on (2011 to of of of of of of on of of of as of of of of of of to to by of to of of to is 四川師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 he of of at of of of of to V, to to , of 次 V 目 次 摘要 I 第一章 緒論 1 學(xué)變換思想的作用 1 課標(biāo)對中學(xué)數(shù)學(xué)變換思想的要求 1 內(nèi)外相關(guān)研究簡介 1 外變換思想研究舉例 1 代國內(nèi)關(guān)于變換的思想研究舉例 4 換的概念界定 5 究的目標(biāo) 6 第二章 研究的理論基礎(chǔ) 7 于數(shù)學(xué)理解的理論 7 于建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論 7 于元認(rèn)知理論 8 第三章 目前初中學(xué)生認(rèn)識變換思想的現(xiàn)狀暨原因分析 10 究方法 10 卷的設(shè)計(jì) 10 卷的信度 10 試的選取 10 卷調(diào)查 10 卷的統(tǒng)計(jì)方法 10 卷調(diào)查的統(tǒng)計(jì)與分析 11 中學(xué)生對幾何變換認(rèn)知發(fā)展的總體分析 11 中學(xué)生對幾何變換的幾類變換的定義的理解 11 中學(xué)生對幾何變換思想的應(yīng)用水平 13 談結(jié)果的統(tǒng)計(jì)與分析 14 調(diào)查結(jié)果的反思 16 二學(xué)生對初中數(shù)學(xué)平面幾何的不自信 16 生對幾何變換的本質(zhì)特征認(rèn)識不清楚 16 生在生活中用到的變換思想較少 16 中生變換概念理解困難的原因分析 16 第四章 克服初中生變換概念理解困難的教學(xué)策略 18 四川師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 初中幾何變換從本質(zhì)上加以理解 18 形的軸對稱變換 18 形的平移變換 24 形的旋轉(zhuǎn)變換 25 初中幾何教學(xué)中的教學(xué)策略 29 學(xué)生熟悉的事物引入變換教學(xué) 29 鑒變換概念發(fā)展的歷史 30 強(qiáng)元認(rèn)知教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí) 31 概念的實(shí)質(zhì)加深理解 32 第五章 中學(xué)數(shù)學(xué)中幾何變換思想對中學(xué)數(shù)學(xué)的影響 33 換思想對教學(xué)的影響 33 換思想的意義 35 換思想在解題中的重要作用 35 2 變換思想對學(xué)生的思維的促進(jìn)作用 38 換思想對生活的指導(dǎo)作用 40 換思想在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)的美學(xué)作用 40 參考文獻(xiàn) 41 附錄 43 致謝 45 緒論 1 第一章 緒論 學(xué)變換思想的 作用 數(shù)學(xué)是中國古代科學(xué)中一門重要的學(xué)科， 數(shù)學(xué)變換思想在歷史的長河中扮演著重要的角色， 在周代， 周武王和 周文王 父子 把 伏羲所演繹的八卦發(fā)展成了 六十四卦。周 髀算經(jīng) 中所 提到 “ 環(huán)矩可以為圓 ” ， 這 些 都 具有 變換思想的影子。 近現(xiàn)代， 大量數(shù)學(xué)變換成了數(shù)學(xué)學(xué)科的研究對象和研究工具，比如高等幾何中的 仿射變換、射影變換 ；高等代數(shù)中的正交變換、相似變換；微分方程中的歐拉變換、拉普拉斯變換等。 其他學(xué)科對變換的要求與運(yùn)用也相當(dāng)普遍，在物理學(xué)中，出現(xiàn)了許多的變換思想，如傅里葉變換、 熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理中的 換 ，物理中 與 的變換， 地球物理中的 換 ， 地球物理中的 換 。 在化學(xué)中， 小波變換在分析化學(xué)信號處理中 起到了非常重要 的應(yīng)用 ， 傅 里葉變換成像光譜技術(shù)在化學(xué)戰(zhàn)劑遙測中的應(yīng)用 也非常廣泛。 在生物醫(yī)學(xué)中，變換也起作非常重要的作用，連續(xù)小波 變換在生物醫(yī)學(xué)信號處理中的應(yīng)用，傅立葉變換紅外光譜及其圖像技術(shù)在生物醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用，圖像灰度 、 色度信息的灰度 、 色度統(tǒng)計(jì)非線性變換理論在生物醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用。 課標(biāo)對中學(xué)數(shù)學(xué)變換思想的要求 現(xiàn)行的九年制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (2011 年修訂 版 )中關(guān)于幾何變換思想方法，對初中學(xué)生提出了明確的要求 ， 要求掌握 如下四種幾何變換 ： （ 1）圖形的軸對稱（ 2）圖形的平移（ 3）圖形的旋轉(zhuǎn)（ 4）圖形的相似 ，這些學(xué)習(xí)將 著重研究幾何圖形的變換。 介 外變換思想研究舉例 勒斯的 變換 思想 泰勒斯 ( 公元前 7 至 6 世紀(jì)的古希臘時期的思想家、科學(xué)家、哲學(xué)家，希臘最早的哲學(xué)學(xué)派 米利都學(xué)派（也稱愛奧尼亞學(xué)派）的創(chuàng)始人?！翱茖W(xué)和哲學(xué)之祖 ”，泰勒斯是古希臘及西方第一個有記載有名字留 下來 的 偉大的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，命題的證明是由他率先引入的，這種證明的引入，使人們認(rèn)識事物從經(jīng)驗(yàn)上升到理論。接下來就 泰勒斯的 幾何 變換 思想在 初中 數(shù)學(xué)中的體現(xiàn) 具 體的 幾個例子 。 中華人 民共和國教育部制定九年制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 年修訂搞） S 北京 :北京師范大學(xué)出版社 ,2012 年 四川師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 (1)金字塔 高度 的估 測 泰勒斯 為了測得金字塔的高度，通過研究，他發(fā)現(xiàn) 我們?nèi)说纳砀吆腿说挠白泳哂心撤N關(guān)系，而這種關(guān)系可以類比到金字塔和它的影子的關(guān)系，其實(shí)，這正是幾何變換中的相似變換。利用這種關(guān)系，是有可能測出金字塔的高度的。在后來，一些數(shù)學(xué)家對他的這種估測金字塔的高度的方法進(jìn)行了研究 ，得出了兩種可能性。第一種可能是，在某種特定的環(huán)境下， 人的身高和影子一樣長，那么，金字塔和他的 影子也應(yīng)該是一樣長，測量出金字塔的影子 就能量出金字塔的高； 這正是幾何變換下的一種恒等變換。 另一種 可能 是應(yīng)用比例原理，不受時間所限， 在任何時刻，人的影子和人 的身高之比是等于金字塔的影子和金字塔的高度之比 ， 這正是射影變換下的對應(yīng)邊比例的不變性， 是相似變換的體現(xiàn)。而這種相似變換 ，則是 我們初中學(xué)生在八年級下的學(xué)習(xí)中所要學(xué)習(xí)的相似，是初中幾何中的重點(diǎn)內(nèi)容，在這章的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要通過具體的實(shí)例理解生活中的相似模型 ，借助相似比原理解決生活中無法直接測量的問題。但是不管我們現(xiàn)在怎 么認(rèn)為都無法否認(rèn) 泰勒斯的 變換思想。 (2)泰勒斯 的幾何 命題 中的變換思想 ： 等腰三角形兩底角相等。 今天，我們明白，等腰三角形是關(guān)于頂角的角平分線（或者底邊的中垂線、底邊上的高）所在的直線為對稱軸的 軸對稱圖形 。 也能看成是一個直角三角形繞直角邊翻折而成，這正是軸對稱變換的體現(xiàn)。 只是泰勒斯本人沒有把對稱軸明示出來。 但他的發(fā)現(xiàn)為后人的研究指明了方向。 圓的直徑將圓平分。 在今天初中學(xué)生所學(xué)的任何一種版本的教材中，都明確寫到 :“圓關(guān)于它的直徑成軸對稱圖形”。 圓是一個非常特殊的圖形，從軸對稱變換的角度上來看，它是關(guān)于任何一條直徑成軸對稱變換。但是我們從中心對稱的角度來看，它同時也是成中心對稱的，即旋轉(zhuǎn)變換的特例 ，圓以圓心為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)任意角度都會重合 。甚至，它還是關(guān)于面對稱的。所以圓是軸對稱圖形也是 旋轉(zhuǎn)變換 圖形， 還是 面對稱圖形。 圓就是一個非常完美的幾何圖形。 兩角夾 與 一邊 對應(yīng) 相等的兩個三角形全等。 現(xiàn)行 初中 教材以北師大版教材為例，在全等三角形的學(xué)習(xí)時，引入這樣一個 例子：我解放軍戰(zhàn)士要炸毀河對面敵人的碉堡，但無法測出我軍距離碉堡的距離，這是一位解放軍戰(zhàn)士想到了這樣一個辦法，如圖 緒論 3 象成上邊圖像， 教材中所引入的這個例子，測量敵人陣地的測量方法，從 純數(shù)學(xué)的 知識 角度 用到了 數(shù)學(xué)中 俯角的知識， 如果在繼續(xù)挖掘，還可以把 人與地面的位置關(guān)系 抽象出來 垂直 ，這種垂直的關(guān)系的建立實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)模型的建立 。 但是實(shí)際上從本質(zhì)來說，用到了對稱變 換中的平移變換，也可以看做是軸對稱變換，當(dāng)然也可看作是 旋轉(zhuǎn)變 換 中的中心對稱變換 。 兩直線相交，對頂角相等。 我們作如下分析： （ 抽象成如圖 線 ，構(gòu)成了兩對對頂角，從軸對稱變換來理解， 旋轉(zhuǎn)變換來理解， 180度 而 變 成。 在今天我們看來這個異常簡單的 命題 可以從這幾個方面加以解釋，第一種，旋轉(zhuǎn)變換的特殊情況中心對稱變換。第二種，軸對稱變換。但不管是哪一種，都體現(xiàn)了變換 下的 的不變性。 從今天的數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)來看 ，這些知識并不難，甚至，我們可以從直觀加以判斷，但是，泰勒斯 確從數(shù)學(xué)思維的角度加以分析并判斷這些知識的正確性。當(dāng)然，他可能也有直觀的判斷或者是經(jīng)驗(yàn)。但他對知識的這種研究和追求促使數(shù)學(xué)的發(fā)展具體的、實(shí)驗(yàn)的階段向抽象的、理論的階段過渡。 這 對數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn) 。 同時這四個命題為我們今天的幾何學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。泰勒斯對數(shù)學(xué)的追求還 給我們今天的教學(xué)帶來了啟發(fā)，他的思想從無形中告訴我們在教育學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅要記住法則、公式、定義，更重要的是需要學(xué)生能從幾何中的公理化體系來思考問題學(xué)習(xí)幾何。同時希望學(xué)生 增強(qiáng)對 數(shù) 學(xué)文化的理解，從數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景來研究，挖掘出數(shù)學(xué)的本質(zhì)和根源。 四川師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 4 爾蔓外爾的變換思想 赫爾曼外爾 (， 20 世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，論著對稱一書，外爾在該書中提出對稱思想，在這本書中，外爾通過大量的例子和大量的精美藝術(shù)和生物圖片生動但不失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿枋隽穗p側(cè)對稱、平移對稱和旋轉(zhuǎn)對稱等多種概念。這正是我們所研究的變換 思想 。 外爾在 他的論著對稱一書中給出了雙側(cè)對稱性 精確的幾何定義：“一個物體，即一個空間構(gòu) 形，如果在關(guān)于給定平面 E 的反射下變成為 其自身，我們就說它關(guān)于 E 是對稱的”。 他 借助幾何圖形還 指出“幾何對稱性就是指諸如反射和旋轉(zhuǎn)的那樣的操作”。 我們在現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材中能找到軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移這些知識。如果把外爾的概念做如下變化：平面換成線，空間換成平面，與軸對稱類似。平面換成點(diǎn)，與中心對稱類似。 外爾還給出了變換自同構(gòu)的定義：空間的一個映射 S 將其中每一點(diǎn) p 映為點(diǎn) : ,: ,若其中一個是另一個的逆映射，（即 S將 p 映為 p ,而 S將 p映回到 p，反之亦然） ,則我們把它們稱為兩個一對一的映射或變換 。數(shù)學(xué)家把能保持空間結(jié)構(gòu)的變換 如果我們按亥姆霍茲的方式來定義空間的結(jié)構(gòu)，這就意味著該變化將任意兩個疊合圖形映射為兩個疊合圖形 稱為自同構(gòu) 。 現(xiàn)在我們的初中幾何中所學(xué)習(xí)的 軸對稱變換、相似變換、旋轉(zhuǎn)變換 都是以此為理論依據(jù) 。 如果我們對我們的課堂教學(xué)進(jìn)行反思，不難發(fā)現(xiàn)，我們對知識的講解偏重，往往 就題論題， 甚至 對學(xué)生進(jìn)行機(jī)械的訓(xùn)練，很少 甚至沒有 讓學(xué)生直觀感受圖形的美麗和圖形所反映的數(shù)學(xué)思想 和方法。外爾的觀點(diǎn)告訴我們或者是 啟發(fā)我們： 我們在 初中 數(shù)學(xué) 幾何 的教學(xué) 時 ，不僅僅是知識的簡單傳授 ，數(shù)學(xué)知識只是一個載體 ，更重要的是讓學(xué)生 通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)時所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想和方法， 把這些數(shù)學(xué)思想和方法帶到我們的生活中去，用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活、欣賞美景，用數(shù)學(xué)的思維 陶冶情操、創(chuàng)造美感。 把數(shù)學(xué)中的思想和方法 帶入 人們 一生的生活中。 代 國內(nèi)關(guān)于變換的思想研究 舉例 欽教授對變換思想方法的研究 代欽教授主要從古代數(shù)學(xué)入手， 從對稱變換所帶來的美學(xué)進(jìn)行了研究，代欽教授借助中國古代數(shù)學(xué)有記載的一些資料比如甲骨文 的資料、楊輝的三角數(shù)、出入相補(bǔ)原理等進(jìn)行了詳細(xì)的研究， 并全面評價(jià)了 中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)藏的美 學(xué)。 （德國）赫爾曼外爾，對稱 M，馮承天，陸繼宗譯 ,上?？萍冀逃霭嫔纾?2005年 中學(xué)數(shù)學(xué)對稱思想研究 劉盛利 -內(nèi)蒙古師范大學(xué)碩士論文 D （德國）赫爾曼外爾，對稱 M，馮承天，陸繼宗譯 ,上?？萍冀逃霭嫔?， 2005年 緒論 5 所以，對 初 中學(xué)生而言， 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，要能體會數(shù)學(xué)所帶來的美學(xué)， 初中幾何變換的知識就能展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，在教學(xué)時，我們 以 所學(xué) 數(shù)學(xué)知識為載體， 不停的引導(dǎo)學(xué)生從美學(xué)的角度去看變換問題， 挖掘數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決生活中的實(shí)際問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)理性的思維冷靜的處理問題。 奠宙教授 從美學(xué)的角度看變 換思想 數(shù)學(xué)是一種美，學(xué)數(shù)學(xué)要從美的角度來看待，數(shù)學(xué)的美的概念最早 提出 是由徐利治 教授，自 此以后，從美學(xué)的角度研究數(shù)學(xué)的論著數(shù)不勝數(shù)了 。 但是，我們中學(xué)數(shù)學(xué)的研究不能僅僅對數(shù)學(xué)美的論述 ， 而是要使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中如何去展現(xiàn)美，在生活中如何去感受美，如何去欣賞美，當(dāng)然更重要的是讓學(xué)生 能夠去創(chuàng)造美， 用數(shù)學(xué)的美去看待生活，指導(dǎo)生活。 張奠宙教授 說：“幾何學(xué)常常帶給人們直觀的美學(xué)形象 全方位對稱圖形，美觀、勻稱、無可非議。正三角形、五角形等常用的幾何圖形都因?qū)ΨQ和諧而受到人們喜愛 ” 。 盛利老師從對稱的角度看變換思想 劉盛利老師在教育碩士畢業(yè)論文中專門對對稱思想 (包 括代數(shù)和幾何中的對稱思想 )作了系統(tǒng)的研究，在幾何的對稱上重點(diǎn)研究了軸對稱和中心對稱，從點(diǎn)的對稱到圖形的對稱都進(jìn)行了研究，較為詳細(xì)。但是劉老師只研究了 軸對稱和中心 對稱 變換 思想 ， 缺少了旋轉(zhuǎn)變換、平移變換 思想 。 初中 幾何變換的思想沒有全部體現(xiàn)出來。 換的概念界定 變換概念：在現(xiàn)代漢語詞典中解釋為： (1) 改換 ； (2) 用同類之物交換或代替 ，變換的英文翻譯： to 從漢語詞典的釋義和英文翻譯來看，變換就是使 事物的形式或內(nèi)容由一種換成另一種。 包括就對象進(jìn)行移動、旋轉(zhuǎn)、鏡像、比例縮放和傾斜。 在數(shù)學(xué)中，變換從集合的角度進(jìn)行了定義： 非空集合 A 到自身的一個映射 f： AA 稱為集合 A 的變換。 但是，在初中所涉及到的具體變換，更多體現(xiàn)了變換的漢語釋義。高中所涉及到的變換內(nèi)容不僅體現(xiàn)了變換的漢語釋義，也體現(xiàn)了從集合觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)定義。 在中學(xué)教學(xué)中，一種觀點(diǎn)把變換作為一種解題方法 ，該觀點(diǎn)認(rèn)為：數(shù)學(xué)變換方法就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，采用迂回的手段來達(dá)到目的的方法。其特征 徐利治，徐利治論數(shù)學(xué)方法學(xué) M，山東教育出版社， 2001 年 張奠宙，數(shù)學(xué)教育經(jīng)緯 M，南京，江蘇教育出版社， 2003 年 四川師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 6 是利用變換，使復(fù)雜問題簡單化，使難的問題向容易的問題轉(zhuǎn)化。使未解決的問題向以解決的問題轉(zhuǎn)化。例如，恒等變換方法，分割變換方法等。 一種觀點(diǎn)把變換作為一種快速解題的工具，該觀點(diǎn)認(rèn)為解數(shù)學(xué)題的一般思維過程就是“觀察 聯(lián)想 變換”觀察為聯(lián)想提供了思維的視角信息，聯(lián)想為變換提供了可能的方向和線索。 在現(xiàn)行的教學(xué)中，初中就具體的變換進(jìn)行了教學(xué)，沒有把變換作為一種思想來傳遞給學(xué)生。 本文中所涉及到的幾何變換，不僅 指 具體的變換 操作（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似），而且 上升為數(shù)學(xué) 變換思想 ，并能將它進(jìn)行合理地 應(yīng)用。 數(shù)學(xué)變換思想 從其 誕生以來 就不斷被 發(fā)展、演變 ，同時 不論是數(shù)學(xué)界的教育家還是一線的數(shù)學(xué)教師 對 變換思想 的教學(xué)和理解的 研究也不斷地進(jìn)行 本文主要參閱近十多年來的研究文獻(xiàn)， 絕大部分研究都是從解題角度對變換思想進(jìn)行探討的，都重于用變換思想解題，輕于作為一種思想傳遞給學(xué)生。這些研究 有從教育學(xué)角度研究的，也有從心理學(xué)角度研究的， 或者側(cè)重于從數(shù)學(xué) 解題 的角度來認(rèn)識和理解 數(shù)學(xué)變換 ，或者側(cè)重于對學(xué)生 變換 的 運(yùn)用 過程進(jìn)行研究，對教學(xué) 提出建議 盡管關(guān)于變換思想 的研究工作取得了多方面的成果，但 是學(xué)生把變換作為一種解決問題的思想還是不太令人滿意，所以 許多研究仍待進(jìn)一步發(fā)展，必須 讓學(xué)生 對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 有 一種思想的高度理解。 我們 初 中教師讓學(xué)生做的大量 關(guān)于變換的練習(xí) 幾 乎都是解題技能的訓(xùn)練， 很少是關(guān)于體現(xiàn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的 ， 所以，學(xué)生對變換思想 的理解水平究竟如何 ？ 是一個有必要去調(diào)查和研究的問題 本課題研究的主要問題是： 1) 初 中生 對變換 概念的理解 存在 哪 些困難 即原因分析 ？ 2) 幾何變換在解決問題中的應(yīng)用 ? 3）初中幾何變換 的實(shí)質(zhì) 對教學(xué)產(chǎn)生的影響？ 4）初中幾何變換的意義？ 根據(jù)以上研究問題，本文 客觀地揭示目前初中生理解變換概念的現(xiàn)狀，探討造成初 中生 變換思想 理解困難的主要原因 ；進(jìn)而提出克服初 中生 變換理解 困難的一些教學(xué)對策 通過這樣的研究，能夠?qū)Τ踔猩儞Q的有效教學(xué)帶來一定的借鑒作用 。 研究的 理論基礎(chǔ) 7 第二章 研究的理論基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)教育家 為數(shù)學(xué)理解有“工具性理解”和“關(guān)系性理解”之分 知道符號所代表的事物或操作的規(guī)則，但不知道其邏輯依據(jù)；而關(guān)系性理解是指對符號的意義、獲得符號所代表的 事物意義的途徑、規(guī)則的邏輯依據(jù)等有深刻的認(rèn)識“理解”不是單方面的，它有多個側(cè)面、多個成分，它是一個發(fā)展、變化的“范圍” 。 例如，學(xué)生在處理這個問題。 為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖 示 在的直線建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn) C 和點(diǎn) D 處， A， ，已知 25 15 10問：圖書室 E 應(yīng)該建在距點(diǎn) ，才能使它到兩所學(xué)校的距離之和最短？ 圖 生在研究這個問題時，無法將到兩所學(xué)校的距離之和最短形成符號語言，造成理解困難。由于 E 點(diǎn)的運(yùn)動 性，使得 段距離一致處于變換之中，學(xué)生對這種關(guān)系感到非常模糊。無法理解。 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論 是由 行為主義發(fā)展到認(rèn)知主義 這兩者的區(qū)別在于： 行為主義認(rèn)為學(xué)習(xí)就是通過強(qiáng)化建立刺激與反應(yīng)之間聯(lián)接的鏈 ； 在學(xué)習(xí)過程中，教師的主要作用是知識的傳遞或傳授 。 這是典型的傳授式教學(xué)模式。 而 認(rèn)知主義者較行為主義 最大的進(jìn)步之處在于確認(rèn)了學(xué)生 內(nèi)部的認(rèn)知過程， 從內(nèi)化上來理解的 建構(gòu)主義者則更進(jìn)一步認(rèn)為世界是客觀存在的，但是對世界的理解和賦予意義卻是由每個人自己決定的 由于個體的經(jīng)驗(yàn)不同，對外部世界的理解便也不同 。 大部分建構(gòu)主義者對學(xué)習(xí)有以下共識 ： 學(xué)習(xí)者以自己的方式建構(gòu)自己的理解 ；新的學(xué)習(xí)依靠原有的經(jīng)驗(yàn) ； 社會性的互動可以促進(jìn)學(xué)習(xí) ； 有意義的學(xué)習(xí)發(fā)生于真 K 1986. A of 0of 高中數(shù)學(xué)課程中圓錐曲線的教學(xué)研究 徐忠才 -西北師范大學(xué)碩士論文 鄭毓信 ,梁貫成 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的現(xiàn)代研究 M上海 :上海教育出版社 8 實(shí)的學(xué)習(xí)任務(wù)中 。 例如，在上述問題中，如果學(xué)生能快速建構(gòu)自己的理解，把原有的經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來，在大腦中提取出已有的知識，在平面中，兩點(diǎn) 之 間 線段 的距離最短， 但是 段位于同側(cè)，故就會提取另一個知識點(diǎn)，通過對稱思想可以轉(zhuǎn)化到異側(cè)。如 圖 了上述問題的解決方法，學(xué)生就能很快建構(gòu)起解決這類問題的思想方法了，那么，在解決下列問題時就應(yīng)該是輕而易舉的事了。 例如 ： 如圖 方形 ，邊長為 4， E 是 一點(diǎn)， ，點(diǎn) P 是異于 A、 C 的一動點(diǎn)，求 B 的最小值。 面問題中，可以把正方形變成棱形。通過對這一類問題的研究，學(xué)生建構(gòu)起解決這類問題的模型，這類問題模型的特點(diǎn)就是：圖形具有軸對稱性，求的是兩條線段之和最小值，動 點(diǎn)在對稱軸上變化，兩定點(diǎn)在對稱軸的同側(cè)。學(xué)生會類比，如果兩定點(diǎn)在對稱軸的異側(cè)呢？應(yīng)該是求兩線段的差的最大值。由于學(xué)生對知識的建構(gòu)，促成了對一類問題的統(tǒng)一解法，達(dá)到了多題一解的目的。 元認(rèn)知通常被簡單地認(rèn)為是“對思考的思考”（ 或?qū)ψ约旱恼J(rèn)知過程的認(rèn)知 。 它最先由弗拉維爾提出他指出，元認(rèn)知通常被廣義地定義為任何以認(rèn)知過程及其結(jié)果為對象的知識，或是任何調(diào)節(jié)認(rèn)知過程的認(rèn)知活 鄭毓信 ,梁貫成 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的現(xiàn)代研究 M上海 :上海教育出版社 A 4,究的 理論基礎(chǔ) 9 動，它之所以被稱為元認(rèn)知， 是因?yàn)槠浜诵囊饬x是對認(rèn)知的認(rèn)知 ， 數(shù)學(xué)解題 中所謂的“元認(rèn)知”，亦是指解題者對于自身所從事的解題活動（包括解題策略的選擇、整個過程的組織、目前所從事的工作在整個解題過程中的作用等）的自我意識、自我分析（包括評估）和自我調(diào)整 不成功的解題者往往不加思考地采取某一方法或解題途徑，或總是在各種可能的“解題途徑”之間徘徊，而對自己在干什么，特別是對為什么要這樣干缺乏明確的認(rèn)識；另外，在沿著某一途徑走下去時，則又往往不能對自己目前的處境作出清醒的評估并由此而作出必要的調(diào)整，而只是“一股勁地往前走”，直到最終陷入僵局而一無所措 一個好的解題者則清醒地表現(xiàn)出如 下的“素質(zhì)”：在具體地采用某一方法或解題途徑前應(yīng)對各種可能性進(jìn)行仔細(xì)的考慮；在整個解題過程中則能做到“心中有數(shù)”，即清楚地知道自己在干什么和為什么要這樣干；他們并能對目前的處境作出清醒的評估，從而作出必要的調(diào)整，特殊地，即使出現(xiàn)了錯誤 ，他們也不會簡單地拋棄已有的工作，而是力圖從中吸取有益的成分；最后，在成功地解決了問題以后，他們又能自覺地對所進(jìn)行的工作進(jìn)行回顧，特別是考慮是否存在更為有效的解題途徑 。 例如，如下問題的處理： 在矩形 ， 2， ， E、 F 分別是 的動點(diǎn)，求 F+如圖 生在這個問題的解決時，往往不知道怎么辦？成功的解題者會固定一個動點(diǎn)找到 F 的最小值，在研究另一段的最小值。 從而成功解決這個問題，從認(rèn)知角度上講，解題者明白自己該干什么，明白自己用何種知識解決此題。當(dāng)學(xué)生固定一個動點(diǎn)后，就完全轉(zhuǎn)化為 圖 圖 問題了。找到 F 的最小值后，其實(shí) E 點(diǎn)就確定，接下來仿照此法尋找 F 點(diǎn)。 張大均 M北京 :人民 教育出版社 ,2004 問題解決與數(shù)學(xué)教育 禹輝煌 -湖南師范大學(xué)碩士論文 D 問題解決與數(shù)學(xué)教育 禹輝煌 -湖南師范大學(xué)碩士論文 D 鄭毓信 ,梁貫成 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的現(xiàn)代研究 M上海 :上海教育出版社 四川師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 10 第三章 目前初中學(xué)生認(rèn)識變換思想的現(xiàn)狀暨 原因分析 初中生變換 學(xué)習(xí)的實(shí)證 調(diào)查與分析 卷的設(shè)計(jì) 首先要 了解 初中生 對 變換思想 的理解狀況，設(shè)計(jì)了 一 份調(diào)查問卷問題的選擇是 在基于 分析 了初中 數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn) （ 2011）的前提下 ，按本研究的目的精心挑選和改編而成 調(diào)查的對象是成都七中初中學(xué)校 2014 級學(xué)生，所涉及到的問題共有 14 道題，其中選擇題 9 道，填空題 3 道，作圖題一道，解答題一道。其中問題 1 到 7 分別考查學(xué)生對初中幾何變換的幾種 具體 變換 的概念的理解程度，目的是了解學(xué)生對幾何變換的表象理解。問題 10 到 12 是以填空題的形式出現(xiàn)，主要考察學(xué)生對變換在折疊中的運(yùn)用， 目的是了解學(xué)生能否靈活運(yùn)用幾何變換中的不變性解決問題。問題 13 到 14 考查學(xué)生解決問題的能力， 13 題以作圖題的形式出現(xiàn)，看學(xué)生是否具有轉(zhuǎn)化的意識， 14 題考查學(xué)生對實(shí)際問題的研究能力。（詳見附錄） 卷的信度 用問卷測試了同一水平不同教師任教的的兩組學(xué)生， 測試的結(jié)果相關(guān)程度高 從測試的情況進(jìn)行分析，兩組學(xué)生回答的比率基本接近，從 32 個選取的樣本可以看出學(xué)生答題的效果差不多， 說明這份測驗(yàn)題的可信程度高 ，能夠用于測驗(yàn)和分析。 試的選取 選取 成都七中初中學(xué)校初 2014 級 1 到 10 班 做問卷容量 比較大，樣本 也 較具代表性 在這次調(diào)查中共發(fā)出問卷 445 份，收回 445 份，其中有效問卷 445 份，回收率 100%。 問卷調(diào)查安排在 2012 年 12 月， 初 2014 級 學(xué)生已經(jīng)完成 問卷上所出現(xiàn)的 全部課程 。 卷調(diào)查 2012 年 12 月 24 日下午第四節(jié)， 對 2014 級全體學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷調(diào)查采用閉卷的形式，由各班班主任和部分?jǐn)?shù)學(xué)教師監(jiān)考，學(xué)生在答題的過程中，不討論，不問監(jiān)考老師，測試時間為 30 分鐘。 卷的統(tǒng)計(jì)方法 依據(jù)教育測量學(xué)和教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理 ，本實(shí)證調(diào)查的數(shù)據(jù)用 件管理，并用 統(tǒng)計(jì)函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析并繪制出 統(tǒng)計(jì)圖 采用定量的方式得出了研究目前初中學(xué)生認(rèn)識變換思想的現(xiàn)狀暨 原因分析 11