高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 3.3 熱點專題——導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的熱點問題課件 文 新人教B版.ppt

3 3熱點專題 導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的熱點問題熱點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的綜合問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 極值和最值均是高考命題的重點內(nèi)容 在選擇題 填空題和解答題中都有涉及 主要有以下兩種考查形式 1 研究具體函數(shù)的單調(diào)性 極值或最值 常涉及分類討論思想 2 由函數(shù)的單調(diào)性 極值或最值 求解參數(shù)的值或取值范圍 例1 2017 成都模擬 已知關(guān)于x的函數(shù)f x lnx a x 1 2 a r 1 求函數(shù)f x 在點p 1 0 處的切線方程 2 若函數(shù)f x 有極小值 試求a的取值范圍 3 若在區(qū)間 1 上 函數(shù)f x 不出現(xiàn)在直線y x 1的上方 試求a的最大值 方法規(guī)律 函數(shù)性質(zhì)綜合問題的難點是函數(shù)單調(diào)性和極值 最值的分類討論 1 單調(diào)性討論策略 單調(diào)性的討論是以導(dǎo)數(shù)等于零的點為分界點 把函數(shù)定義域分段 在各段上討論導(dǎo)數(shù)的符號 在不能確定導(dǎo)數(shù)等于零的點的相對位置時 還需要對導(dǎo)數(shù)等于零的點的位置進行討論 2 極值討論策略 極值的討論以單調(diào)性的討論為基礎(chǔ) 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值點 3 最值討論策略 圖象連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上最值的討論 是以函數(shù)在該區(qū)間上的極值和區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較為標(biāo)準進行的 在極值和區(qū)間端點函數(shù)值中最大的為最大值 最小的為最小值 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 0 1 和 a 1 單調(diào)遞減區(qū)間是 1 a 1 當(dāng)0 a 1 1 即1 a 2時 在區(qū)間 0 a 1 和 1 上 f x 0 在區(qū)間 a 1 1 上 f x 0 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 0 a 1 和 1 單調(diào)遞減區(qū)間是 a 1 1 當(dāng)a 1 0 即a 1時 在區(qū)間 0 1 上 f x 0 在區(qū)間 1 上 f x 0 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 單調(diào)遞減區(qū)間是 0 1 熱點二利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根或函數(shù)的零點問題此類試題一般以含參數(shù)的三次式 分式 以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點或方程根的形式出現(xiàn) 是近幾年高考命題熱點 一般有兩種考查形式 1 確定函數(shù)零點 圖象交點及方程根的個數(shù)問題 2 應(yīng)用函數(shù)零點 圖象交點及方程解的存在情況 求參數(shù)的值或取值范圍問題 令h x g x 則h x axlna bxlnb ax lna 2 bx lnb 2 從而對任意x r h x 0 所以g x h x 是 上的單調(diào)增函數(shù) 于是當(dāng)x x0 時 g x g x0 0 當(dāng)x x0 時 g x g x0 0 因而函數(shù)g x 在 x0 上是單調(diào)減函數(shù) 在 x0 上是單調(diào)增函數(shù) 下證x0 0 方法規(guī)律 對于方程解的個數(shù) 或函數(shù)零點個數(shù) 問題 可利用函數(shù)的值域或最值 結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性 草圖確定其中參數(shù)范圍 變式訓(xùn)練2 2017 濟南模擬 已知函數(shù)f x ex ax a a r且a 0 1 若函數(shù)f x 在x 0處取得極值 求實數(shù)a的值 并求此時f x 在 2 1 上的最大值 2 若函數(shù)f x 不存在零點 求實數(shù)a的取值范圍 解析 1 函數(shù)f x 的定義域為r f x ex a f 0 e0 a 0 a 1 f x ex 1 在區(qū)間 0 上 f x 0 f x 單調(diào)遞減 在區(qū)間 0 上 f x 0 f x 單調(diào)遞增 在x 0處 f x 取得極小值 a 1 當(dāng)a 0時 函數(shù)f x 存在零點 不滿足題意 當(dāng)a 0時 令f x ex a 0 解得x ln a 在區(qū)間 ln a 上 f x 0 f x 單調(diào)遞減 在區(qū)間 ln a 上 f x 0 f x 單調(diào)遞增 當(dāng)x ln a 時 f x 取得最小值 函數(shù)f x 不存在零點等價于f ln a eln a a ln a a 2a aln a 0 解得 e2 a 0 綜上所述 實數(shù)a的取值范圍是 e2 0 熱點三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題是近幾年高考熱點 常涉及不等式恒成立 證明不等式及大小比較問題 1 不等式恒成立問題一般考查三次式 分式 以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式 三角式及絕對值結(jié)構(gòu)的不等式在某個區(qū)間a上恒成立 存在性 求參數(shù)取值范圍 2 證明不等式一般是證明與函數(shù)有關(guān)的不等式在某個范圍內(nèi)成立 3 大小比較問題 一般是作差后不易變形定號的三次式 分式 以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式 三角式結(jié)構(gòu) 可轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或最值的函數(shù)問題 角度一不等式的恒成立問題 例3 2017 西安八校聯(lián)考 已知函數(shù)f x m x 1 ex x2 m r 1 若m 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若對任意的x 0 不等式x2 m 2 x f x 恒成立 求m的取值范圍 解析 1 當(dāng)m 1時 f x 1 x ex x2 則f x x 2 ex 由f x 0得 0 x ln2 由f x 0得x 0或x ln2 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 ln2 單調(diào)遞減區(qū)間為 0 ln2 方法規(guī)律 求解不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍問題 一般常用分離參數(shù)的方法 但是如果分離參數(shù)后對應(yīng)的函數(shù)不便于求解其最值 或者求解其函數(shù)最值繁瑣時 可采用直接構(gòu)造函數(shù)的方法求解 2 已知函數(shù)f x ax x2 xlna a 0 a 1 求函數(shù)f x 在點 0 f 0 處的切線方程 求函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 若存在x1 x2 1 1 使得 f x1 f x2 e 1 e是自然對數(shù)的底數(shù) 求實數(shù)a的取值范圍 2 對f x 求導(dǎo) 得f x axlna 2x lna 可得f 0 0 因為f 0 1 所以函數(shù)f x 在點 0 f 0 處的切線方程為y 1 由 知 f x axlna 2x lna 2x ax 1 lna 因為當(dāng)a 0 a 1時 總有f x 在r上是增函數(shù) 又f 0 0 所以不等式f x 0的解集為 0 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為