高考數學大一輪復習 第十章 解析幾何初步 57 直線與圓的位置關系課件 文.ppt

第十章解析幾何初步 第57課直線與圓的位置關系 課前熱身 1 必修2p113例2改編 圓 x 1 2 y 2 2 6與直線2x y 5 0的位置關系是 2 必修2p113例1改編 已知圓o x2 y2 4 那么過點p 2 4 與圓o相切的切線方程為 激活思維 相交 3x 4y 10 0或x 2 4 必修2p103例3改編 直線6x 8y 10 0被圓x2 y2 4截得的弦所對應的劣弧所對的圓心角為 1 直線與圓有三種位置關系 2 直線與圓的位置關系的判定有兩種方法 代數法和幾何法 1 代數法 聯立直線與圓的方程 根據方程組的解的個數 判定它們的位置關系 將直線方程代入圓的方程 得到關于x或者y的一元二次方程 若 0 則它們相交 若 0 則它們相切 若 0 則直線與圓相離 2 幾何法 由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小來判斷 當時 直線與圓相交 當時 直線與圓相切 當時 直線與圓相離 知識梳理 相離 相交 相切 d r d r d r 3 圓的切線 1 若點p x0 y0 在圓x2 y2 r2上 則經過點p x0 y0 的圓的切線方程為 若點p x0 y0 在圓 x a 2 y b 2 r2上 則經過點p x0 y0 的圓的切線方程為 2 當點p x0 y0 在圓外時 切線有條 求圓的切線方程時 常設出切線的點斜式方程 然后運用點到直線的距離求出斜率 如果只能解出斜率的一個值 要注意斜率不存在的情形 x0 x y0y r2 x0 a x a y0 b y b r2 兩 4 圓的弦 直線與圓相交時 1 當直線與圓相交時 設圓心到直線的距離為d 圓的半徑為r 則直線被圓截得的弦長為 2 若直線y kx b與曲線c相交于a x1 y1 b x2 y2 兩點 則ab 課堂導學 1 過點p 3 4 作直線l 當斜率為何值時 直線l與圓c x 1 2 y 2 2 4有公共點 思維引導 1 先設出直線方程 然后再用代數方法或幾何方法判斷 2 若直線和圓相交 則圓心到直線的距離小于半徑 若直線過圓內一點 則直線和圓相交 解答 方法一 設直線l的方程為y 4 k x 3 即kx y 3k 4 0 直線與圓位置關系的判斷 例1 方法二 設直線l的方程為y 4 k x 3 即y kx 3k 4 2 已知圓c x 1 2 y 2 2 25 直線l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 m r 求證 無論m取什么實數 直線l與圓恒交于兩點 解答 由題意 直線方程可變形為 2x y 7 m x y 4 0 所以直線l必過定點a 3 1 又因為 3 1 2 1 2 2 5 25 所以點 3 1 在圓c內 故l必與圓c相交 精要點評 1 圓與直線的位置關系的判定方法主要有兩種 利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r的關系 利用一元二次方程根的判別式的符號 2 若動態(tài)直線過定點 且定點在圓內或圓上 則直線必與圓相交或相切 1 2016 蘇州 無錫 常州 鎮(zhèn)江三模 若直線3x 4y m 0與圓x2 y2 2x 4y 4 0始終有公共點 則實數m的取值范圍是 變式 0 10 2 2016 蘇州期末改編 已知直線l1 y x a和直線l2 y x b將圓 x 1 2 y 2 2 8分成長度相等的四段弧 求a2 b2的值 切線問題 例2 思維引導 1 顯然點p在圓c上 直接用代數法可得答案 2 將點 1 7 代入圓的方程得12 7 2 50 25 故點 1 7 在圓外 過圓外一點與圓相切的切線方程的求法有三種 2 求經過點 1 7 與圓x2 y2 25相切的直線方程 解答 方法一 設切線的斜率為k 由點斜式知y 7 k x 1 即y k x 1 7 將 代入圓的方程x2 y2 25 得x2 k x 1 7 2 25 化簡整理 得 k2 1 x2 2k2 14k x k2 14k 24 0 方法二 設所求切線的斜率為k 則所求直線方程為y 7 k x 1 整理成一般式得kx y k 7 0 化簡得12k2 7k 12 0 故所求切線方程為4x 3y 25 0或3x 4y 25 0 精要點評 求切線一般有三種方法 設切點用切線公式法 設切線斜率用判別式法 設切線斜率 用圓心到切線距離等于圓半徑法 一般地 過圓外一點可向圓作兩條切線 在后兩種方法中 應注意斜率不存在時的情況 三種方法中 最簡捷最常用 變式 4 已知直線l y x和圓c x 2 2 y 4 2 10 1 求直線l與圓c的交點的坐標 圓的弦長問題 例3 2 求直線l被圓c所截得的弦長 精要點評 求直線與圓的交點就是構造方程組 然后求解 求圓的弦長可以先求出交點a b的坐標 再求線段ab的長度 也可以通過由半弦 半徑和圓心到直線的距離構成的直角三角形來處理 1 2016 蘇北四市摸底 若直線ax y 1 0被圓x2 y2 2ax a 0截得的弦長為2 則實數a的值是 變式 2 已知圓c x 1 2 y 2 2 2及點p 2 1 過點p作圓c的切線 切點分別為a b 1 求pa pb所在直線的方程 解答 由題意知圓的切線的斜率存在 設其為k 則切線的方程為y 1 k x 2 所以k 1或7 所以所求切線的方程為pa x y 1 0 pb 7x y 15 0 備用例題 2 求過點p的切線的長度 精要點評 求圓的切線方程時應先考慮所過點與圓的位置關系 這一點很重要 因為該位置確定了圓的切線條數與具體的求解方法 需要注意的是過圓外一點的切線有兩條 如果只解出一條 就要檢查是否有斜率不存在的情況 另外 在求切線長時 要盡量利用圓的性質 用幾何方法求解 以減少運算量 課堂評價 4 2 2015 蘇州調查 已知圓c x a 2 y a 2 1 a 0 與直線y 3x相交于p q兩點 那么當 cpq的面積最大時 實數a的值為 3 2015 江蘇卷改編 在平面直角坐標系xoy中 以點 1 0 為圓心且與直線mx y 2m 1