高考橢圓幾種題型

第 1 頁(yè) 共 10 頁(yè) 高考橢圓幾種題型高考橢圓幾種題型 引言 在高考之中占有比較重要的地位 并且占的分?jǐn)?shù)也多 分析歷年的高考試題 在選擇題 填空題 大題都有橢圓 的題 所以我們對(duì)知識(shí)必須系統(tǒng)的掌握 對(duì)各種題型 基本的解題方法也要有一定的了解 二二 橢圓的知識(shí) 一 定義 1 平面內(nèi)與與定點(diǎn) F1 F2的距離之和等于定長(zhǎng) 2a 2a F1F2 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中 F1 F2稱為橢圓的焦點(diǎn) F1F2 稱為焦距 其復(fù)數(shù)形式的方程為 Z Z1 Z Z2 2a 2a Z1 Z2 2 一動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn) F 的距離和它到一條直線的距離之比是一個(gè)大于 0 小于 1 的常數(shù) 則這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢 圓 其中 F 稱為橢圓的焦點(diǎn) l 稱為橢圓的準(zhǔn)線 二 方程 1 中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在 x 軸上 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在 y 軸上 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 3 參數(shù)方程 sin cos by ax 4 一般方程 0 0 1 22 BAByAx 三 性質(zhì) 1 頂點(diǎn) 或 0 0 ba 0 0 ba 2 對(duì)稱性 關(guān)于 軸均對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 xy 3 離心率 1 0 a c e 4 準(zhǔn)線 c a y c a x 22 或 5 焦半徑 設(shè)為上一點(diǎn) F1 F2為左 右焦點(diǎn) 則 00 yxP 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 01 exaPF 設(shè)為上一點(diǎn) F1 F2為下 上焦點(diǎn) 則 02 exaPF 00 yxP 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 01 exaPF 02 exaPF 第 2 頁(yè) 共 10 頁(yè) 三三 橢圓題型橢圓題型 一 橢圓定義 一 橢圓定義 1 橢圓定義的應(yīng)用橢圓定義的應(yīng)用 例例 1 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 倍 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 02 A 分析 分析 題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置 要考慮兩種位置 解 解 1 當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí) 02 A2 a1 b 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 14 22 yx 2 當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí) 02 A2 b4 a 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 164 22 yx 說(shuō)明 說(shuō)明 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè) 給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置 是不能確定橢圓的橫豎的 因而要考慮兩 種情況 例例 2 已知橢圓已知橢圓的離心率的離心率 求 求的值 的值 1 98 22 y k x 2 1 ek 分析 分析 分兩種情況進(jìn)行討論 解 解 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí) 得 由 得 x8 2 ka9 2 b1 2 kc 2 1 e4 k 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí) 得 y9 2 a8 2 kbkc 1 2 由 得 即 2 1 e 4 1 9 1 k 4 5 k 滿足條件的或 4 k 4 5 k 說(shuō)明 說(shuō)明 本題易出現(xiàn)漏解 排除錯(cuò)誤的辦法是 因?yàn)榕c 9 的大小關(guān)系不定 所以橢圓的焦點(diǎn)可能在軸上 8 kx 也可能在軸上 故必須進(jìn)行討論 y 例例 3 已知方程已知方程表示橢圓 求表示橢圓 求的取值范圍的取值范圍 1 35 22 k y k x k 解 解 由得 且 35 03 05 kk k k 53 k4 k 滿足條件的的取值范圍是 且 k53 k4 k 第 3 頁(yè) 共 10 頁(yè) 說(shuō)明 說(shuō)明 本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解 由得 故的取值范圍是 03 05 k k 53 kk53 k 出錯(cuò)的原因是沒(méi)有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件 當(dāng)時(shí) 并不表示橢圓 0 baba 例例 4 已知已知表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓 求軸上的橢圓 求的取值范圍 的取值范圍 1cossin 22 yx 0 y 分析 分析 依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系 再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性 求出的取值范圍 解 解 方程可化為 因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上 所以 1 cos 1 sin 1 22 yx y0 sin 1 cos 1 因此且從而 0sin 1tan 4 3 2 說(shuō)明 說(shuō)明 1 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知 這是容易忽視的地方 0 sin 1 0 cos 1 2 由焦點(diǎn)在軸上 知 3 求的取值范圍時(shí) 應(yīng)注意題目中的條件y cos 1 2 a sin 1 2 b 0 例例 5 已知?jiǎng)訄A已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn) 且在定圓 且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切 求動(dòng)圓圓心的內(nèi)部與其相內(nèi)切 求動(dòng)圓圓心的軌跡方程 的軌跡方程 P 03 A 643 2 2 yxB P 分析 分析 關(guān)鍵是根據(jù)題意 列出點(diǎn) P 滿足的關(guān)系式 解 解 如圖所示 設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn) PBMP 即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑 03 A 03 B 即 點(diǎn)的軌跡是以 為兩焦點(diǎn) 8 BMPBPMPBPAPAB 半長(zhǎng)軸為 4 半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程 734 22 b1 716 22 yx 說(shuō)明 說(shuō)明 本題是先根據(jù)橢圓的定義 判定軌跡是橢圓 然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 求軌跡的方程 這是求軌跡方程的一 種重要思想方法 2 關(guān)于線段長(zhǎng)最值的問(wèn)題一般兩個(gè)方法 一種是借助圖形 由幾何圖形中量的關(guān)系求最值 二是建立關(guān)于線段長(zhǎng)最值的問(wèn)題一般兩個(gè)方法 一種是借助圖形 由幾何圖形中量的關(guān)系求最值 二是建立 函數(shù)關(guān)系求最值 或用均值不等式來(lái)求最值 函數(shù)關(guān)系求最值 或用均值不等式來(lái)求最值 例 1 點(diǎn) P 為為橢圓上一點(diǎn) F1 F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) 試求 取得最值時(shí) 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 PFPF 的點(diǎn)坐標(biāo) P 解 1 設(shè) 則 由橢圓第二定義知 00 yxP 0 aax 0020 2 1 2 0exaaexaPFaexe c a xPF 第 4 頁(yè) 共 10 頁(yè) 當(dāng)時(shí) 取最大值 此時(shí)點(diǎn) P 0 b 當(dāng)時(shí) 21 PFPF 0 222 xea 0 0 x 21 PFPF 2 aax 0 取最小值 b2 此時(shí)點(diǎn) P a 0 21 PFPF 二 二 焦半徑及焦三角的應(yīng)用焦半徑及焦三角的應(yīng)用 例例 1 已知橢圓方程已知橢圓方程 長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 焦點(diǎn)為 焦點(diǎn)為 是橢圓上一點(diǎn) 是橢圓上一點(diǎn) 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 A 2 A 1 F 2 FP 求 求 的面積 用的面積 用 表示 表示 21PA A 21PF F 21PF F ab 分析 分析 求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊 從而利用求面 CabSsin 2 1 積 解 解 如圖 設(shè) 由橢圓的對(duì)稱性 不妨設(shè) 由橢圓的對(duì)稱性 不妨設(shè) yxP yxP 在P 第一象限 由余弦定理知 2 21F F 2 2 2 1 PFPF 1 2PF 2 2 4coscPF 由橢圓定義知 則得 aPFPF2 21 2 cos1 2 2 21 b PFPF 故 sin 2 1 21 21 PFPFS PFF sin cos1 2 2 1 2 b 2 tan 2 b 第 5 頁(yè) 共 10 頁(yè) 例例 2 已知橢圓已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn) 分別是橢圓的左 右焦點(diǎn) 點(diǎn)分別是橢圓的左 右焦點(diǎn) 點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn) 是橢圓上一點(diǎn) 求求1 59 22 yx 1 1 A 1 F 2 FP 的最大值 最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的最大值 最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo) 坐標(biāo) 1 PFPA P 分析 分析 本題考查橢圓中的最值問(wèn)題 通常探求變量的最值有兩種方法 一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng) 即代數(shù)方法 二是數(shù)形 結(jié)合 即幾何方法 本題若按先建立目標(biāo)函數(shù) 再求最值 則不易解決 若抓住橢圓的定義 轉(zhuǎn)化目標(biāo) 運(yùn)用數(shù)形結(jié) 合 就能簡(jiǎn)捷求解 解 解 如上圖 設(shè)是橢圓上任一點(diǎn) 由 62 a 0 2 2 F2 2 AFP62 21 aPFPF 等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 22 AFPFPA 立 此時(shí) 共線 PA 2 F 由 等號(hào)僅當(dāng) 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 時(shí)成立 此時(shí) 共線 22 AFPFPA PA 2 F 建立 的直線方程 解方程組得兩交點(diǎn)A 2 F02 yx 4595 02 22 yx yx 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 1 P 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 2 P 綜上所述 點(diǎn)與重合時(shí) 取最小值 點(diǎn)與重合時(shí) 取最大值 P 1 P 1 PFPA 26 P 2 P 2 PFPA 26 第 6 頁(yè) 共 10 頁(yè) 三 三 直線與橢圓相交問(wèn)題 直線與橢圓相交問(wèn)題 1 常用分析一元二次議程解的情況 僅有常用分析一元二次議程解的情況 僅有 還不夠 且用數(shù)形結(jié)合的思想 還不夠 且用數(shù)形結(jié)合的思想 2 弦的中點(diǎn) 弦長(zhǎng)等 利用根與系數(shù)的關(guān)系式 但弦的中點(diǎn) 弦長(zhǎng)等 利用根與系數(shù)的關(guān)系式 但 0 這一制約條件不同意 這一制約條件不同意 a kAB 2 1 21 21 xx xx 例例 1 已知直線已知直線 過(guò)橢圓過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 斜率為的一個(gè)焦點(diǎn) 斜率為 2 與橢圓相交于與橢圓相交于 M N 兩點(diǎn) 求弦兩點(diǎn) 求弦的長(zhǎng) 的長(zhǎng) l7298 22 yxlMN 解 由得 7298 1 2 22 yx xy 091811 2 xx 方法一 由弦長(zhǎng)公式 11 60 11 9114185 1 2 2 a kAB 方法二 2 212 2 1 2 xxaex c a ex c a NFMFMN 11 60 3 1 11 18 6 例例 2 已知長(zhǎng)軸為已知長(zhǎng)軸為 12 短軸長(zhǎng)為 短軸長(zhǎng)為 6 焦點(diǎn)在 焦點(diǎn)在軸上的橢圓 過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)軸上的橢圓 過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為作傾斜解為的直線交橢圓于的直線交橢圓于 兩兩x 1 F 3 AB 點(diǎn) 求弦點(diǎn) 求弦的長(zhǎng) 的長(zhǎng) AB 分析 分析 可以利用弦長(zhǎng)公式求得 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 也可以利用橢圓定義及余弦定理 還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求 解 解 法法 1 利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解 利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解 因?yàn)?所以 因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上 21 2 1xxkAB 4 1 21 2 21 2 xxxxk 6 a3 b33 cx 所以橢圓方程為 左焦點(diǎn) 從而直線方程為 1 936 22 yx 0 33 F93 xy 由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得 設(shè) 為方程兩根 所以 083637213 2 xx 1 x 2 x 13 372 21 xx 第 7 頁(yè) 共 10 頁(yè) 從而 13 836 21 xx3 k 13 48 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 法法 2 利用橢圓的定義及余弦定理求解利用橢圓的定義及余弦定理求解 由題意可知橢圓方程為 設(shè) 則 1 936 22 yx mAF 1 nBF 1 mAF 12 2 nBF 12 2 在中 即 21F AF 3 cos2 211 2 21 2 1 2 2 FFAFFFAFAF 2 1 362336 12 22 mmm 所以 同理在中 用余弦定理得 所以 34 6 m 21F BF 34 6 n 13 48 nmAB 法法 3 利用焦半徑求解 利用焦半徑求解 先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根 它們分別是 的橫坐標(biāo) 083637213 2 xx 1 x 2 xAB 再根據(jù)焦半徑 從而求出 11 exaAF 21 exaBF 11 BFAFAB 四 點(diǎn)差法點(diǎn)差法 解題 解題 設(shè)而不求設(shè)而不求 的思想 的思想 當(dāng)涉及至平行法的中點(diǎn)軌跡 過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡 過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程 用當(dāng)涉及至平行法的中點(diǎn)軌跡 過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡 過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程 用 點(diǎn)差法點(diǎn)差法 來(lái)求解來(lái)求解 步驟 1 設(shè) A x1 y1 B x2 y2 分別代入橢圓方程 2 設(shè)為 AB 的中點(diǎn) 兩式相減 00 yxp 0 2 0 2 21 2 21 2 21 21 ya xb yya xxb xx yy 3 得出 21 21 xx yy k 注 一般的 對(duì)橢圓上弦及中點(diǎn) 有1 2 2 2 2 b y a x ABM 2 2 a b KK OMAB 說(shuō)明 說(shuō)明 1 有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題 主要有三種類型 過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦 平行弦的中點(diǎn)軌跡 過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌 跡 2 解法二是 點(diǎn)差法 解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題的題較方便 要點(diǎn)是巧代斜率 3 有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是 韋達(dá)定理應(yīng)用 及 點(diǎn)差法 有關(guān)二次曲線問(wèn)題也適用 例例 1 已知橢圓已知橢圓 1 求過(guò)點(diǎn) 求過(guò)點(diǎn)且被且被平分的弦所在直線的方程 平分的弦所在直線的方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 2 求斜率為 求斜率為 2 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程 3 過(guò) 過(guò)引橢圓的割線 求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程 引橢圓的割線 求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程 12 A 第 8 頁(yè) 共 10 頁(yè) 4 橢圓上有兩點(diǎn) 橢圓上有兩點(diǎn) 為原點(diǎn) 且有直線為原點(diǎn) 且有直線 斜率滿足斜率滿足 PQOOPOQ 2 1 OQOP kk 求線段求線段中點(diǎn)中點(diǎn)的軌跡方程 的軌跡方程 PQM 分析 分析 此題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān) 因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法 解 解 設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為 線段的中點(diǎn) 則 11 yxM 22 yxN MN yxR yyy xxx yx yx 2 2 22 22 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 得 02 21212121 yyyyxxxx 由題意知 則上式兩端同除以 有 21 xx 21 xx 02 21 21 2121 xx yy yyxx 將 代入得 02 21 21 xx yy yx 1 將 代入 得 故所求直線方程為 2 1 x 2 1 y 2 1 21 21 xx yy 0342 yx 將 代入橢圓方程得 符合題意 為所求 22 22 yx0 4 1 66 2 yy0 4 1 6436 0342 yx 2 將代入 得所求軌跡方程為 橢圓內(nèi)部分 2 21 21 xx yy 04 yx 3 將代入 得所求軌跡方程為 橢圓內(nèi)部分 2 1 21 21 x y xx yy 0222 22 yxyx 4 由 得 將 平方并整理得 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 21 22 2 2 1 24xxxxx 21 22 2 2 1 24yyyyy 將 代入 得 224 4 24 21 2 21 2 yyy xxx 再將代入 式得 即 2121 2 1 xxyy 2 2 1 242 21 2 21 2 xxyxxx1 2 1 2 2 y x 此即為所求軌跡方程 當(dāng)然 此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法 還可用其它方法解決 例例 2 已知中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在已知中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線軸上的橢圓與直線交于交于 兩點(diǎn) 兩點(diǎn) 為為中點(diǎn) 中點(diǎn) 的斜率為的斜率為x01 yxABMABOM 0 25 橢圓的短軸長(zhǎng)為 橢圓的短軸長(zhǎng)為 2 求橢圓的方程 求橢圓的方程 第 9 頁(yè) 共 10 頁(yè) 解 解 由題意 設(shè)橢圓方程為 1 2 2 2 y a x 由 得 1 01 2 2 2 y a x yx 021 22 2 xaxa 2 2 21 1 2a axx xM 2 1 1 1 a xy MM 4 11 2 ax y k M M OM 4 2 a 為所求 1 4 2 2 y x 例例 5 分析 已知分析 已知是直線是直線 被橢圓被橢圓所截得的線段的中點(diǎn) 求直線所截得的線段的中點(diǎn) 求直線 的方程 的方程 2 4 Pl1 936 22 yx l 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題 通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去 或 得到關(guān)于 或 的一元二次yxxy 方程 再由根與系數(shù)的關(guān)系 直接求出 或 的值代入計(jì)算即得 21 xx 21x x 21 yy 21y y 并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo) 這種 設(shè)而不求 的方法 在解析幾何中是經(jīng)常采用的 解 解 方法一 方法一 設(shè)所求直線方程為 代入橢圓方程 整理得 4 2 xky 036 24 4 24 8 14 222 kxkkxk 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為 則 是 的兩根 11 yxA 22 yxB 1 x 2 x 14 24 8 2 21 k kk xx 為中點(diǎn) 所求直線方程為 2 4 PAB 14 24 4 2 4 2 21 k kkxx 2 1 k082 yx 方法二 方法二 設(shè)直線與橢圓交點(diǎn) 為