數(shù)學歸納法教學設(shè)計-公開課

精品文檔 1歡迎下載 新苗杯 初賽教學設(shè)計 課題 數(shù)學歸納法 第一課時 學科組 數(shù)學組 授課教師 胡瀟 精品文檔 1歡迎下載 數(shù)學歸納法 第一課時 教學設(shè)計 一 教材內(nèi)容分析 人教版 普通高中課程標準試驗教科書 數(shù)學 A 版選修 2 2 第二章 推理與證明 的主要內(nèi)容是數(shù)學的基本思維過程 也是人們生活和學習中經(jīng)常使用的思維方式 該章內(nèi) 容分為三小節(jié) 合情推理和演繹推理 直接證明和間接證明 數(shù)學歸納法 通過合情推理 歸納出的有一類特殊問題 與正整數(shù)n有關(guān)的命題 用之前學習的方法難以解決 從 而我們產(chǎn)生學習 數(shù)學歸納法 的必要性 學習了數(shù)學歸納法后 學生可以解決部分 證 明n取無限多個正整數(shù)命題成立 的問題 本節(jié)內(nèi)容編寫思路是 問題情境引發(fā)數(shù)學歸納法的學習欲望 多米諾骨牌蘊含的原 理分析 用多米諾骨牌原理解決數(shù)學問題 從具體問題中概括出數(shù)學歸納法 在這個 過程中 學生首先需要從生活實例中抽象出數(shù)學原理 然后需要利用該原理對數(shù)學問題進 行嚴格證明 因此 本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生嚴密的推理能力 訓練學生的抽象思維能力的好 素材 二 學情分析 高二學生具備一定的抽象思維能力和邏輯推理能力 但對于數(shù)學歸納法 學生理解和 接受它是一件很困難的事情 因為學生缺少體驗和認知基礎(chǔ) 所以需為學生創(chuàng)設(shè)與數(shù)學歸 納法有類似想法的實際體驗 三 教學目標 1 通過具體情境 體會學習數(shù)學歸納法的必要性 2 借助生活實例和體驗操作 感知數(shù)學歸納法的原理 體會數(shù)學與生活的緊密結(jié)合性 3 通過從解決具體數(shù)學問題的思維中概括出數(shù)學歸納法 訓練學生的抽象思維能力 在證明過程中 培養(yǎng)學生嚴密的推理能力 四 教學重 難點 教學重點 通過游戲模型和生活實例 了解數(shù)學歸納法的基本思想 掌握數(shù)學歸 納法的證明步驟及每個步驟的作用 教學難點 如何類比多米諾骨牌原理解決數(shù)學問題 了解數(shù)學歸納法的基本步驟 如何理解數(shù)學歸納法中第二步的本質(zhì) 建立遞推關(guān)系 五 教學策略 基于上述分析 我采取以下的教學策略 精品文檔 2歡迎下載 1 設(shè)置問題串 教學策略 在列舉模型反思游戲過程時 設(shè)置具有啟發(fā)性的問題 逐步推進對思想方法的理解 為本節(jié)課教學重點作鋪墊 在類比抽象的過程中 設(shè)置類比 問題 幫助學生類比多米諾骨牌原理解決數(shù)學問題 突破教學難點 在形成數(shù)學歸納法 概念后 設(shè)置反思問題 了解數(shù)學歸納法第二步驟的作用 明確第一步驟的起點問題 加 深對數(shù)學歸納法的理解 突破教學難點 課堂小結(jié)時 利用問題串 幫助學生回顧知識 要點 2 螺旋上升 教學策略 先通過具體情境的探究 引發(fā)學生求知欲 再通過多米諾 骨牌初步體會和認識數(shù)學歸納法的雛形 然后類比這種思想 解決數(shù)學問題 進而從中提 煉出數(shù)學歸納法 通過對數(shù)學歸納法的步驟反思 對步驟的本質(zhì)進行認識和剖析 通過例 題教學 幫助學生掌握數(shù)學歸納法步驟和易錯點 以此逐步完成對數(shù)學歸納法的深刻理 解 精品文檔 3歡迎下載 六 教學過程 教學流程設(shè)計意圖 創(chuàng)設(shè) 情境 引入 新課 情境 將若干個小立方塊如圖所示擺放 第 1 堆擺放 1 個 第 2 堆擺放 9 個 以此類推 問題 1 第 3 堆 第 4 堆 第 5 堆各有多少個小方塊 問題 2 第n堆有多少個小方塊 你能得到怎樣的等式 2 33332 1 12 31 4 nnn 預設(shè) 學生有可能得到 2 3333 12 3123nn 提示學生進行化簡 問題 3 如何驗證你得到的結(jié)論正確與否呢 總結(jié) 這個問題無法利用已學知識解決 因此 我們需要一 種新的證明方法 這就是我們今天要學習的數(shù)學歸納法 板 書 大綱版教材采用的引入 例題是 求證 2222 12 3n 1 121 6 n nn 該引入方式計算前幾項 后 學生不容易歸納得 到結(jié)論 直接給出命題 證明顯得較為突兀 課 標版教材引入例題是 1 1a 1 1 n n n a a a 在數(shù)列的學習中 學生 已能夠解決該引例問題 較難說明學習數(shù)學歸納 法是必要的 該例題的 設(shè)計旨在利用先行組織 者 引發(fā)學生認知沖突 明確學習數(shù)學歸納法的 必要性 激發(fā)學生求知 欲 在學習數(shù)學歸納法之前 先來看一個小游戲 多米諾骨 牌 2011 年 12 月 31 日晚 中國小伙子劉楊成功以 321197 枚多米諾骨牌的成績 刷新了多米諾骨牌個人吉尼斯世界紀 錄 隨著一段簡短的視頻 我們一起感受一下當時壯觀的場 面 播放視頻 30s 利用視頻引出多米諾骨 牌游戲 激發(fā)學生學習 興趣 同時 利用中國 人創(chuàng)造吉尼斯紀錄視頻 激發(fā)學生愛國情懷 活動 體驗 探究 原理 從視頻上看多米諾骨牌游戲是很震撼的 我們自己也可以動 手體驗一下多米諾骨牌游戲過程 游戲道具 折疊的撲克牌 利用游戲體驗 激發(fā)學 生求知興趣 讓學生動 手操作 鍛煉學生動手 能力 學生參與體驗 精品文檔 4歡迎下載 游戲規(guī)則 分組活動 每組 8 張撲克牌 將本組所有折疊的撲克牌豎直擺放 擺放好后 推倒其中一張撲克牌 游戲判定 所有撲克牌倒下即為成功 才能更好地從自身體驗 中總結(jié)過程 為后面抽 象原理做鋪墊 請結(jié)合剛才的游戲體驗 思考并討論下列問題 問題 1 我們把手動推到的撲克牌稱作 第 1 張撲克牌 第 1 張撲克牌倒下后 其他撲克牌如何倒下的 問題 2 如果任給n張撲克牌排成一列 要保證所有撲克牌 全部倒下 需要滿足哪些條件 小組代表發(fā)言 預案 若學生回答相鄰兩張撲克牌相隔不能太遠 預設(shè)追問 不能相隔太遠目的是什么 預案 若學生忽略第 1 張撲克牌倒下的條件 預設(shè)追問 若不手動推到任何一張撲克牌 撲克牌會倒下嗎 反思游戲過程 讓學生 親身經(jīng)歷多米諾骨牌原 理的提煉過程 培養(yǎng)學 生抽象思維和概括能力 利用問題 逐步推進對 思想方法的理解 問題 1 旨在幫助學生思考相鄰 撲克牌的遞推關(guān)系 問 題 2 旨在幫助學生總結(jié) 兩個條件 學生易忽略 起點問題 總結(jié) 任給n張一列撲克牌倒下的條件 1 第 1 塊撲克牌倒下 2 第k張撲克牌倒下導致第k 1 張撲克牌倒下 預案 學生在總結(jié)第 2 步時 易用自然語言描述 任意一 張牌倒下導致后一張牌倒下 預設(shè)追問 請用數(shù)學語言表述 任意一張 和 后一張 教師總結(jié) 提煉要點 類比 抽象 形成 概念 回到引入情境中需要證明的猜想 對任意的正整數(shù)n成立 2 33332 1 1231 4 nnn 問題 你能否將解決 任給n張撲克牌全部倒下 的思想運 用到 等式對任意的正整數(shù)n成立 的證明中呢 預案 稍停 觀察有無學生能夠解決該問題 若無 則給出 提示 問題 1 和 2 若有 讓學生陳述 教師點評總結(jié) 利用問題串 類比多米 諾骨牌原理解決數(shù)學問 題 為數(shù)學問題的證明 作鋪墊 精品文檔 5歡迎下載 提示 上述猜想換一個說法 任意正整數(shù)n等式成立 兩個 問題說法類似 我們已經(jīng)找到了使 任給n張撲克牌全部倒 下 的條件 問題 1 類比 任給n張撲克牌全部倒下 的兩個條件 任 意正整數(shù)n等式成立 需要滿足什么條件 問題 2 要證明猜想成立 現(xiàn)在需要解決什么問題 n張撲克牌全部倒下任意正整數(shù)n等式成立 第 1 塊多米諾骨牌倒下 第k塊多米諾骨牌倒下導致 第k 1 塊多米諾骨牌倒下 問題 3 驗證上述兩個條件是否滿足 完成對猜想的證明 學生思考 小組討論 投影成果 教師 PPT 規(guī)范格式 證明 1 當時 左邊右邊 結(jié)論成立 1n 32 11 2 假設(shè)當時 命題成立 即nk 2 33332 1 1231 4 kkk 當時 左邊1nk 3 3333 1231kk 23 2 1 11 4 kkk 2 2 1 144 4 kkk 右邊 221 12 4 kk 因此 若時命題成立 可推出時命題成立 nk 1nk 由 1 2 可得 對任意 2 33332 1 1231 4 nnn 正整數(shù)n成立 學生通過思考討論 初 步了解數(shù)學歸納法的步 驟 同時 在證明過程 中 培養(yǎng)學生邏輯推理 能力 問題 請概括上述證明過程的步驟 總結(jié) 學生總結(jié) 教師板書數(shù)學歸納法步驟 任給n張撲克牌全部倒下任意正整數(shù)n等式成立 學生總結(jié)解題步驟 形 成數(shù)學歸納法的概念 明確其步驟 同時 培 養(yǎng)學生概括能力 精品文檔 6歡迎下載 上述證明問題的步驟方法即是數(shù)學歸納法 利用上述兩個證明步驟 可以建立命題鏈 第 1 塊多米諾骨牌倒下 1 時命題成立 1n 第k塊多米諾骨牌倒下 第k 1 塊多米諾骨牌倒下 2 假設(shè)時命題成立nk 驗證時命題成立 1nk 結(jié)合上述兩步 可知所有 多米諾骨牌都能倒下 結(jié)合上述兩步 斷定命題對 任意的正整數(shù)成立 辨析 概念 深化 理解 反思 1 第 2 步為什么要假設(shè)k成立 假設(shè)k成立為什么 可以作為條件使用 提示 解決這個問題 需要明確 2 證明的是什么 總結(jié) 2 本質(zhì)證明的是遞推關(guān)系 上述鏈表中的箭頭 為了證明遞推關(guān)系 構(gòu)造了一個命題 假設(shè)k成立是所構(gòu)造 命題的條件 2 證明了遞推關(guān)系 1 給出了起點問題 接下來我們研 究一下有關(guān)起點的問題 反思 2 1 用數(shù)學歸納法證明不等式 第一步需要驗證什么 1 111 1 232n n 1nn A 2 用數(shù)學歸納法證明 凸n邊形的對角線條數(shù)為 3 2 n n 第一步需要驗證什么 總結(jié) 利用數(shù)學歸納法證明時 第一步從等于幾開始起 要 根據(jù)具體問題而定 問題 從這兩個問題中 你覺得剛才得到的數(shù)學歸納法可以 怎樣的修改呢 預設(shè)追問 若 1 修改為命題成立 最后得到什么結(jié)論 0 nn 數(shù)學歸納法步驟可總結(jié)為 通過反思問題 辨析數(shù) 學歸納法第一步起點問 題 明確數(shù)學歸納法第 二步的作用 深化對數(shù) 學歸納法概念的理解 精品文檔 7歡迎下載 1 證明當 時 命題成立 0 nn 0 n A 2 假設(shè) 時命題成立 證明當nk o kn k A 時命題成立 1nk 結(jié)合上述兩步 斷定命題對任意的正整數(shù)成立 0 nn 總結(jié) 數(shù)學歸納法可用于證明與正整數(shù)n n取無限多個值 有關(guān)的數(shù)學命題 但是并不是所有與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學命 題都可以用數(shù)學歸納法證明 預設(shè)反例 單調(diào)增問題不能用數(shù)學歸納法證明 1 1 n n a n 例題 呈現(xiàn) 鞏固 知識 例 利用數(shù)學歸納法證明 2222 1 123121 6 nn nn 對任意正整數(shù)n成立 學生板書 學生修改 教師點評修改 證明 1 當時 左邊 右邊 命題成立 1n 2 假設(shè)當時 命題成立 即nk 2222 1 123121 6 kk kk 當時 左邊1nk 21 1211 6 k kkk 2 1 2761 6 kkk 1 2231 6 kkk 右邊 1 12211 6 kkk 因此 若時命題成立 可推出時命題成立 nk 1nk 綜合 1 2 步 可知命題對任意正整數(shù)n成立 學生通過運用數(shù)學歸納 法 模仿格式規(guī)范證明 檢驗數(shù)學歸納法步驟掌 握情況 在證明過程中 培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學推理能 力 精品文檔 8歡迎下載 課堂 練習 明確 易錯 點 備用 利用數(shù)學歸納法判斷 1221 321 n nnnnn 是否對任意正整數(shù)n成立 預設(shè)錯誤 時 添加項錯誤