【南方鳳凰臺】(江蘇專用)2017版高考數(shù)學大一輪復習-第十章-解析幾何初步-第59課-直線與圓的綜合問題-文.doc

第59課 直線與圓的綜合問題(本課時對應學生用書第頁)自主學習回歸教材1.(必修2P105習題23改編)若方程x2+y2-2mx+(2m-2)y+2m2=0表示一個圓，且該圓的圓心位于第一象限，則實數(shù)m的取值范圍為.【答案】【解析】將圓的方程化為(x-m)2+y+(m-1)2=1-2m，則1-2m0，所以m.又圓心(m，1-m)在第一象限，所以0m1.綜上，0m0，當MN=N時，實數(shù)r的取值范圍是.【答案】(0，2-【解析】集合M表示以原點為圓心、2為半徑的圓面，集合N表示以(1，1)為圓心、r為半徑的圓面.因為MN=N，所以點集N全部含在M中，作圖可知當且僅當圓x2+y2=4與圓(x-1)2+(y-1)2=r2內(nèi)切時，r最大，此時r=2-，所以r(0，2-.3.(必修2P100習題9改編)已知圓C1：x2+y2-2x+10y-24=0與圓C2：x2+y2+ax+by+c=0關(guān)于直線x-y+3=0對稱，那么a=，b=.【答案】16-84.(必修2P117練習23改編)若直線y=x+b與曲線x=恰有一個交點，則實數(shù)b的取值范圍是 .【答案】b|-1b1或b=-【解析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，曲線x=表示在y軸右側(cè)的半個單位圓(含邊界)，直線y=x+b表示斜率為1，在y軸上截距為b的直線，注意到b=-1時直線y=x+b與曲線x=有兩個交點及b=-時直線y=x+b與曲線x=相切，所以實數(shù)b的取值范圍是b|-1b1或b=-.1.與圓有關(guān)的最值和范圍的討論常用以下方法：(1)結(jié)合圓的方程的特點確定幾何量之間的大小關(guān)系；(2)函數(shù)值域求解法，把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍；(3)利用不等式，若能將問題能轉(zhuǎn)化為“和為定值”或“積為定值”，則可以用基本不等式求解.2.定點問題的求解步驟：(1)選參變量：需要證明過定點的動直線(曲線)往往隨著某一個量的變化而變化，可以選擇這個量為參變量(當涉及到的參變量較多時，也可以選擇多個參變量)；(2)求動直線(曲線)方程：求出值含上述參變量的動直線(曲線)方程，并由其他條件減少參變量的個數(shù)，最終使方程中只含一個參變量；(3)定點：求出定點坐標.不妨設方程中所含參變量為，把方程寫為形如f(x，y)+g(x，y)=0的形式，然后解關(guān)于x，y的方程組得到定點坐標.【要點導學】要點導學各個擊破最值、范圍問題例1如圖，設圓x2+y2=1的一條切線與x軸、y軸分別交于點A，B，則線段AB長的最小值為.(例1)【思維引導】直線與圓中有關(guān)長度的問題主要包括弦長、切線長及直線被坐標軸截得的長度等.其中弦長、切線長都可以與半徑構(gòu)造直角三角形來求解.【答案】2【解析】方法一：設切點為D，OAB=，連接OD，則ODAB，從而得到AD=，BD=.所以線段AB=+=(0)，則線段AB長度的最小值為2.方法二：設A(a，0)，B(0，b)，則直線AB：+=1，又直線AB與圓相切，故d=1，即+=1，又AB2=a2+b2=(a2+b2)=2+2+2=4，當且僅當a=b時取等號，所以AB長的最小值為2.【精要點評】本題方法一在建立函數(shù)時，沒有選擇用點D的坐標建立函數(shù)，而是選擇OAB為自變量來建立函數(shù)，這種方法對于二元函數(shù)來說，有利于求解.變式1(2015南京調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2-6x+5=0，點A，B在圓C上，且AB=2，則|+|的最大值是.【答案】8【解析】設弦AB的中點為M，則+=2.又圓C：(x-3)2+y2=4，AB=2，從而CM=1，因此|max=3+1=4，所以|+|max=8.變式2若直線ax+by=1過點A(b，a)，則以坐標原點O為圓心、OA長為半徑的圓的面積的最小值是.【答案】【解析】依題意，由直線ax+by=1過點A(b，a)，得2ab=1ab=，從而OA2=a2+b22ab=1，所以S=OA2，當且僅當a=b=時取等號.定點問題例2已知tR，圓C：x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.(1)若圓C的圓心在直線x-y+2=0上，求圓C的方程.(2)圓C是否過定點?如果過定點，求出定點的坐標；如果不過定點，請說明理由.【思維引導】根據(jù)圓心在直線上，構(gòu)造關(guān)于t的方程，然后求t；對于圓的定點問題，把圓的方程化成關(guān)于t的恒等式形式，構(gòu)造關(guān)于x，y的方程，求定點.若有解，則說明圓過定點，否則圓不過定點.【解答】(1)由原方程配方得(x-t)2+(y-t2)2=t4+t2-4t+4，其圓心為C(t，t2).依題意知t-t2+2=0，所以t=-1或2.即圓C的方程為x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)整理圓C的方程為(x2+y2-4)+(-2x+4)t+(-2y)t2=0，令所以圓C過定點(2，0).【精要點評】判定圓是否過定點，或是求圓所過定點坐標的問題，可以在方程形式上轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個參量的方程，結(jié)合恒等式的關(guān)系，再構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組求該點的坐標.若方程組有解，則說明圓過定點，否則圓不過定點.變式如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x+1)2+y2=1，圓C2：(x-3)2+(y-4)2=1.設動圓C同時平分圓C1，圓C2的周長.(變式)(1)求證：動圓圓心C在一條定直線上運動.(2)動圓C是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過，求出定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.【解答】(1)設圓心C(x，y)，由題意，得CC1=CC2，即=，化簡得x+y-3=0，即動圓圓心C在定直線x+y-3=0上運動.(2)圓C過定點.設C(m，3-m)，則動圓C的半徑為=.于是動圓C的方程為(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2.整理，得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0.聯(lián)立方程組解得或所以動圓C過定點，定點的坐標為和.定值問題例3如圖，已知圓C：x2+(y-3)2=4，一動直線l過點A(-1，0)與圓C相交于P，Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于點N.(例3)(1)求證：當l與m垂直時，l必過圓心C.(2)當PQ=2時，求直線l的方程.(3)探索是否與直線l的傾斜角有關(guān)?若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由.【思維引導】問題(1)中直線m與直線AC垂直；問題(2)構(gòu)造常規(guī)的勾股關(guān)系，即可求得直線的斜率；問題(3)先將，然后再求其值.【解答】(1)因為l與m垂直，且km=-，所以kl=3.又kAC=3，所以當l與m垂直時，l的方程為y=3(x+1)，l必過圓心C.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x=-1，符合題意.當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k(x+1)，即kx-y+k=0.因為PQ=2 ，所以CM=1，則由CM=1，得k=，所以直線l：4x-3y+4=0.從而所求的直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0.(3)因為CMMN，所以=(+)=+= .當l與x軸垂直時，易得N(-1，-)，則=.又=(1，3)，所以=-5；當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x+1)，則由得N，則=.所以=+=-5.綜上，與直線l的斜率無關(guān)，且=-5.【精要點評】一般地，涉及到圓的切線或考慮其弦長問題時，若需要求直線的方程，則務必要全面考慮問題，即要考慮直線的斜率存在與不存在兩種情況.變式已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=4，直線l1過定點A(1，0).(1)若l1與圓相切，求直線l1的方程.(2)若l1與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點為N，判斷AMAN是否為定值?若是，則求出定值；若不是，請說明理由.【解答】(1)若直線l1的斜率不存在，即直線為x=1，符合題意.若直線l1斜率存在，設直線l1的方程為y=k(x-1)，即kx-y-k=0.由題意知，圓心(3，4)到已知直線l1的距離等于半徑2，即=2，解得k=.所以所求直線方程為x=1或3x-4y-3=0.(2)方法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx-y-k=0.由得N.又因為直線CM與l1垂直，由得M.所以AMAN=6為定值.故AMAN是定值，且為6.方法二：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx-y-k=0.由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0.所以x1+x2=，得M.以下同方法一.(變式)方法三：(幾何法)連接CA并延長交l2于點B，由題知kAC=2，=-，所以CBl2.如圖，AMCABN，所以=，可得AMAN=ACAB=2=6，是定值.存在性問題例4如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點M，N均在直線x=5上.圓弧C1的圓心是坐標原點O，半徑為r1=13；圓弧C2過點A(29，0).(例4)(1)求圓弧C2所在圓的方程.(2)曲線C上是否存在點P，滿足PA=PO?若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由.【思維引導】對于(1)，先求得圓C1的方程，再求得點M，N的坐標，結(jié)合圓弧C2過點點A(29，0)，設其一般方程并求解.對于(2)，先假設滿足條件的點存在，然后由條件PA=PO可得一個圓的方程，最后分別聯(lián)立兩個圓的方程，求解方程組.【解答】(1)由題意得圓弧C1所在圓的方程為x2+y2=169.令x=5，解得M(5，12)，N(5，-12)，又C2過點A(29，0)，設圓弧C2所在圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則解得所以圓弧C2所在圓的方程為x2+y2-28x-29=0.(2)假設存在這樣的點P(x，y)，則由PA=PO，得(x-29)2+y2=30(x2+y2)，即x2+y2+2x-29=0.當-13x5時，由解得x=-70(舍去)；當5x29時，由解得x=0(舍去).所以這樣的點P不存在.【精要點評】對于存在性問題，可先假設滿足條件的點或其他量是存在的，然后把其存在性作為條件構(gòu)造關(guān)系式，然后求解關(guān)系式中的量來確定其存在性.變式如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，直線l：y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心在直線l上.(變式)(1)若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.【解答】(1)由得圓心C為(3，2)，因為圓C的半徑為1，所以圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=1.由題知切線的斜率一定存在，設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0.所以=1，所以|3k+1|=，所以2k(4k+3)=0，所以k=0或k=-.所以所求圓C的切線方程為y=3或y=-x+3，即y=3或3x+4y-12=0.(2)因為圓C的圓心在直線l：y=2x-4上，所以設圓心C為(a，2a-4)，則圓C的方程為(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又因為MA=2MO，所以設點M(x，y)，則=2，整理得x2+(y+1)2=4，設為圓D.所以點M應該既在圓C上又在圓D上，即圓C和圓D有交點.所以|2-1|2+1|，由5a2-12a+80得aR；由5a2-12a0，得0a.終上所述，實數(shù)a的取值范圍為0，.1.圓x2+y2-6x-4y+12=0上一點到直線3x+4y-2=0的距離的最小值為.【答案】2【解析】圓心坐標為(3，2)，半徑為1.因為圓心到直線的距離為3，所以圓上的點到直線的最小距離為3-1=2.2.(2015蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調(diào))在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+(y-3)2=2，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ長的取值范圍是.【答案】【解析】設PCA=，所以PQ=2sin .又cos =，AC3，+)，所以cos ，所以cos2，sin2=1-cos2，所以sin ，所以PQ.3.已知點P(10，0)，Q為圓x2+y2=16上一動點，當點Q在圓上運動時，PQ的中點M的軌跡方程是.【答案】(x-5)2+y2=4【解析】設點M(x，y)為所求軌跡上任意一點，Q(x0，y0).因為M為PQ的中點，所以即又因為點Q在圓x2+y2=16上，所以(2x-10)2+(2y)2=16，故所求的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.4.在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(xR)與兩坐標軸有三個交點.記過三個交點的圓為圓C.(1)求圓C的方程；(2)圓C是否經(jīng)過定點(與b的取值無關(guān))?證明你的結(jié)論.【解答】(1)設所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，這與x2+2x+b=0是同一個方程，故D=2，F(xiàn)=b；令x=0，得y2+Ey+b=0，此方程有一個根為b，代入得E=-b-1，所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(2)圓C必過定點(0，1)，(-2，1).理由如下：原方程轉(zhuǎn)化為(x2+y2+2x-y)+b(1-y)=0，即解得或【融會貫通】融會貫通能力提升(2015蘇北四市期末)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-3，4)，B(9，0)，C，D分別為線段OA，OB上的動點，且滿足AC=BD.(1)若AC=4，求直線CD的方程；(2)求證：OCD的外接圓恒過定點(異于原點O).【思維引導】(1)(2)方法一：方法二：方法三：【規(guī)范解答】(1)因為A(-3，4)，所以OA=5.1分又因為AC=4，所以OC=1，所以C3分由BD=4，得D(5，0)，4分所以直線CD的斜率k=-，5分所以直線CD的方程為y=-(x-5)，即x+7y-5=06分(2)方法一：設C(-3m，4m)(0m1)，則OC=5m7分所以AC=OA-OC=5-5m.因為AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，所以點D的坐標為(5m+4，0)8分又設OCD的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則有12分解得D=-(5m+4)，F(xiàn)=0，E=-10m-3，所以OCD的外接圓的方程為x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0，14分整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0.令所以(舍去)或所以OCD的外接圓恒過定點(2，-1)16分方法二：設C(-3m，4m)(0m1)，則OC=5m7分所以AC=OA-OC=5-5m.因為AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，所以點D的坐標為(5m+4，0)8分因為OC的中點為，直線OC的斜率kOC=-，所以線段OC的垂直平分線方程為y-2m=，即y=x+m.又因為線段OD的垂直平分線方程為x=，聯(lián)立解得12分所以OCD外接圓的圓心為，則半徑r= ，從而OCD外接圓的標準方程為+=+，14分整理得x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0.即x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0.令所以(舍去)或所以OCD的外接圓恒過定點(2，-1)16分方法三：設OC=t(0t5)，則AC=BD=5-t，7分因為A(-3，4)，B(9，0)，所以C，D(t+4，0)，8分又設OCD的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則有12分解得所以OCD的外接圓的方程為x2+y2-(t+4)x-(2t+3)y=014分整理得x2+y2-4x-3y-t(x+2y)=0.令所以(舍去)或所以OCD的外接圓恒過定點(2，-1)16分【精要點評】在確定圓的方程時，應根據(jù)已知條件與圓的標準方程和圓的一般方程的各自特點，靈活選用圓的方程形式.解題時要注意運用圓的相關(guān)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想.對于定點問題，要考慮構(gòu)建恒等式，繼而求解方程組.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習第117118頁.【檢測與評估】第59課直線與圓的綜合問題一、 填空題1.過直線x+y-2=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點P的坐標是.2.過圓x2+y2-4x+my=0上一點P(1，1)的圓的切線方程為.3.若圓x2+y2-2x+6y+5a=0關(guān)于直線y=x+2b成軸對稱圖形，則a-b的取值范圍是.4.若圓O：x2+y2=5與圓O1：(x-m)2+y2=20(mR)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長是.5.若過點P(1，1)的直線將圓形區(qū)域(x，y)|x2+y24分為兩部分，且使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為.6.(2015鹽城三模)動直線y=k(x-)與曲線y=相交于A，B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取得最大值時，k的值為.7.已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點，那么的最小值為.8.已知AC，BD為圓O：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形ABCD的面積的最大值為.二、 解答題 9.已知一個圓經(jīng)過直線l：2x+y+4=0與圓C：x2+y2+2x-4y+1=0的兩個交點，且此圓面積有最小值，求此圓的方程.10.已知直線l經(jīng)過點P且被圓x2+y2=25截得的弦長為8，求直線l的方程.11.已知圓C：x2+y2=9，點A(-5，0)，直線l：x-2y=0.(1)求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；(2)在直線OA上(O為坐標原點)存在定點B(不同于點A)，滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點B的坐標.三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.(2014湖北卷)已知直線l1：y=x+a和l2：y=x+b將單位圓C：x2+y2=1分成長度相等的四段弧，則a2+b2=.13.(2014江西模擬)已知實數(shù)x，y滿足x2+y2-4x+1=0，那么的最大值為.【檢測與評估答案】第59課直線與圓的綜合問題1.()【解析】設P(x，y)，則由已知可得PO(O為原點)與切線的夾角為30，則PO=2.由 可得 2.x-2y+1=0【解析】由P(1，1)是圓x2+y2-4x+my=0上一點，得m=2，則圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=5.設切線方程為y-1=k(x-1)，由題意得=，解得k=，所以切線方程為x-2y+1=0.3.(-，4)【解析】圓x2+y2-2x+6y+5a=0轉(zhuǎn)化成(x-1)2+(y+3)2=10-5a，則圓心坐標為(1，-3)，且a2.由于圓關(guān)于直線y=x+2b對稱，故b=-2，從而a-b=a+24.4.4【解析】依題意得OO1=5，且OO1A是直角三角形，=OO1=OAAO1，因此AB=4.5.x+y-2=0【解析】當圓心與點P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件.圓心O與點P連線的斜率k=1，所以所求直線的斜率為-1，故所求直線方程為x+y-2=0.6.-【解析】因為y=表示半圓x2+y2=1(y0)，而SAOB=12sinAOB，所以(SAOB)max=，此時AOB為等腰直角三角形，從而點O到AB的距離為=，解得k=(正值不合題意，舍去).7.-3+2【解析】設APB=2，|=x，則=|cos 2=cos 2=(|2-1)(1-2sin2)=(x2-1)=x2-2-1+-3+2，當且僅當x2=，即x=時取等號.8.5【解析】設圓心O到AC，BD的距離分別為d1