小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)知識及其拓展.doc

小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)知識及其拓展一、關(guān)于給小學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行學(xué)科知識及其拓展的培訓(xùn)意見1、培訓(xùn)內(nèi)容（1）幫助教師們系統(tǒng)地掌握小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系及其結(jié)構(gòu)，包括能夠解答教科書（如人教版12冊）所有的練習(xí)題和復(fù)習(xí)題。（2）幫助教師們正確理解小學(xué)數(shù)學(xué)知識中容易誤解的數(shù)學(xué)概念與有關(guān)知識，使他們的小學(xué)數(shù)學(xué)知識得到橫向拓展。（3）立足于教學(xué)的需要，幫助教師們開闊知識視野，使他們的小學(xué)數(shù)學(xué)知識得到一定的縱向延伸。例如一些數(shù)學(xué)史知識。如數(shù)學(xué)王子高斯巧算1+2+100的故事；哥德巴赫猜想；祖沖之與圓周率等等。特別是，市場經(jīng)濟(jì)要求人們掌握更多有用的數(shù)學(xué)，成本、利潤、投入、產(chǎn)出、貨款、效益、市場預(yù)測、風(fēng)險評估等一系列經(jīng)濟(jì)名詞將成為人們社會生活中使用最為頻繁的詞匯，與這一系列經(jīng)濟(jì)活動相關(guān)的數(shù)學(xué)，如估算、比和比例、利息與利率、運(yùn)籌與優(yōu)化以及統(tǒng)計與概率等，理應(yīng)成為數(shù)學(xué)課程中的組成部分，要求教師要有所掌握。2、培訓(xùn)方式（1）集中培訓(xùn)輔導(dǎo)：可根據(jù)實際情況，分段分塊進(jìn)行輔導(dǎo)，幫助教師們解決小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中的疑難問題。（2）校本培訓(xùn)學(xué)習(xí)：布置學(xué)習(xí)任務(wù)和作業(yè)任務(wù)，讓教師們各自完成學(xué)習(xí)任務(wù)，自我提高。3、評價與考核建議小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識拓展培訓(xùn)的評價可分為：第一、學(xué)習(xí)態(tài)度和完成作業(yè)情況評價，占一定比例；第二、小學(xué)數(shù)學(xué)知識過關(guān)考試（卷面考試），占比例大些?？荚噧?nèi)容：以小學(xué)數(shù)學(xué)新課程的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)所涉及的小學(xué)數(shù)學(xué)知識作為考試基本內(nèi)容。試題設(shè)計：（1）基本數(shù)學(xué)概念及計算題，（2）綜合題（中等難度），（3）知識拓展題。二、關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)知識及其拓展的認(rèn)識1、小學(xué)教師的知識結(jié)構(gòu)：教育知識、學(xué)科知識、學(xué)科教學(xué)知識三大部分。教育知識包括教育學(xué)、心理學(xué)、學(xué)生思想工作（班主任）等方面的知識。它是教師在職前教育學(xué)習(xí)和平時工作實踐學(xué)習(xí)積累而成的；學(xué)科知識是指本學(xué)科專業(yè)知識，包括了本學(xué)科知識體系及其思想方法，也是教師的學(xué)科專業(yè)功底涵養(yǎng)所在。它主要來源于教師的在接受教育期間學(xué)習(xí)和職前教學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，以及平時教學(xué)實踐學(xué)習(xí)的充實提高；學(xué)科教學(xué)知識體現(xiàn)了教師的專業(yè)獨特性,是本專業(yè)教學(xué)實踐性的知識。從數(shù)學(xué)專業(yè)的角度看，數(shù)學(xué)家不一定具有這種知識；從教學(xué)經(jīng)驗來看，高中語文教師也不具有小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的這種知識。這是教師將特定的學(xué)科知識與學(xué)生思維、學(xué)習(xí)特點等教學(xué)法的知識融合起來而形成的教學(xué)實踐性知識。2、小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)知識我們在林崇德（北京師范大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師）和申繼亮（申繼亮教授現(xiàn)任北師大心理學(xué)院黨委書記、教育部人文社科重點研究基地發(fā)展心理研究所所長，中國心理學(xué)會常務(wù)理事、中國心理學(xué)會教育心理專業(yè)委員會主任，博士生導(dǎo)師）關(guān)于教師知識結(jié)構(gòu)劃分的基礎(chǔ)上，結(jié)合新課程改革的發(fā)展及數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，把數(shù)學(xué)教師的知識結(jié)構(gòu)分為“教什么”的本體性知識，“如何教”的條件性知識和在教育教學(xué)實踐中大量積累起來的實踐性知識三個主要方面：（1）本體性知識，即學(xué)科專業(yè)知識。小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)具有的學(xué)科知識是特定的數(shù)學(xué)知識，主要包括教學(xué)所需要的數(shù)學(xué)理論知識、 數(shù)學(xué)應(yīng)用性知識 、數(shù)學(xué)思想方法知識和數(shù)學(xué)史知識。（2）條件性知識，指個體在何種條件下，為什么傳授數(shù)學(xué)知識以及如何更好地傳授數(shù)學(xué)知識的一種知識類型，主要包括教育學(xué)和心理學(xué)的知識， 其中教育學(xué)知識包括教育理論知識、 教育技術(shù)知識 、數(shù)學(xué)課程知識 、數(shù)學(xué)教學(xué)知識；心理學(xué)知識包括教師心理知識和學(xué)生心理知識，教師心理知識又分為教學(xué)監(jiān)控知識教學(xué)效能感 、教學(xué)風(fēng)格知識 、教師品德知識；學(xué)生心理知識又分為數(shù)學(xué)認(rèn)知的知識、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知知識、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的非認(rèn)知知識 、學(xué)習(xí)風(fēng)格知識。（3）實踐性知識，指關(guān)于數(shù)學(xué)課堂情景及與之相關(guān)的知識，主要包括數(shù)學(xué)課堂教學(xué)管理知識和教材處理知識。教師要在自己的教學(xué)工作中不斷增長自己的學(xué)科知識，也包括對已有知識的不斷改進(jìn)或必要重組。從另一角度說，數(shù)學(xué)學(xué)科知識主要包括：知識的內(nèi)涵及多重表示、知識的發(fā)生和發(fā)展過程、知識之間的聯(lián)系、知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和思維方式。小學(xué)數(shù)學(xué)教師要具有豐厚的數(shù)學(xué)知識、扎實的數(shù)學(xué)技能和成熟的數(shù)學(xué)思想。三、小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)知識及其拓展（一）小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中“數(shù)與代數(shù)”的知識及其拓展1、小學(xué)數(shù)學(xué)中的“數(shù)的認(rèn)識及其運(yùn)算”數(shù)的認(rèn)識數(shù)的運(yùn)算數(shù)學(xué)思考一上20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識20以內(nèi)加減法、進(jìn)位加法求和應(yīng)用題求差應(yīng)用題圖示加減兩步應(yīng)用題一下100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識20以內(nèi)的退位減法100以內(nèi)的加法與減法圖文應(yīng)用題表格應(yīng)用題（在練習(xí)中）加減、比多少應(yīng)用題二上100以內(nèi)的加法和減法表內(nèi)乘法幾個幾的乘法應(yīng)用題求一個數(shù)的幾倍的二下萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識表內(nèi)除法整百、整千數(shù)加減法萬以內(nèi)數(shù)的加法和減法（一）解決問題三上分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識萬以內(nèi)數(shù)的加法和減法（二）有余數(shù)的除法多位數(shù)乘一位數(shù)分?jǐn)?shù)的簡單計算有余數(shù)除法的應(yīng)用題鞏固兩步應(yīng)用題三下小數(shù)的初步認(rèn)識除數(shù)是一位數(shù)的除法兩位數(shù)乘兩位數(shù)簡單的小數(shù)加減法鞏固除法應(yīng)用題連乘應(yīng)用題解決問題四上大數(shù)的認(rèn)識三位數(shù)乘兩位數(shù)除數(shù)是兩位數(shù)的除法速度問題四下小數(shù)的意義和性質(zhì)四則運(yùn)算運(yùn)算定律小數(shù)的加法和減法相應(yīng)的兩三步應(yīng)用題五上循環(huán)小數(shù)小數(shù)乘法小數(shù)除法解決問題每一種方程對應(yīng)一種應(yīng)用題五下因數(shù)和倍數(shù)分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)分?jǐn)?shù)的加法和減法分?jǐn)?shù)兩三步應(yīng)用題六上倒數(shù)的認(rèn)識百分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)乘法分?jǐn)?shù)除法解決問題按比例分配用百分?jǐn)?shù)解決問題六下負(fù)數(shù)用比例解決問題關(guān)于數(shù)的認(rèn)識的知識要點：（1）整數(shù)十進(jìn)制計數(shù)法：一（個）、十、百、千、萬都叫做計數(shù)單位。其中“一”是計數(shù)的基本單位。10個1是10，10個10是100每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十。這種計數(shù)方法叫做十進(jìn)制計數(shù)法整數(shù)的讀法：從高位一級一級讀，讀出級名（億、萬），每級末尾0都不讀。其他數(shù)位一個或連續(xù)幾個0都只讀一個“零”。整數(shù)的寫法：從高位一級一級寫，哪一位一個單位也沒有就寫0。四舍五入法：求近似數(shù)，看要求近似到哪一位數(shù)，再看其后一位的數(shù)是幾，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾數(shù)向前一位進(jìn)1。這種求近似數(shù)的方法就叫做四舍五入法。整數(shù)大小的比較：位數(shù)多的數(shù)較大，數(shù)位相同最高位上數(shù)大的就大，最高位相同比看第二位較大就大，以此類推。 （2）小數(shù)小數(shù)表示：把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份這樣的一份或幾份是十分之幾、百分之幾、千分之幾這些分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示。如1/10記作0.1,6/100記作0.06。小數(shù)計數(shù)：小數(shù)點右邊第一位叫十分位，計數(shù)單位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，計數(shù)單位是百分之一（0.01）小數(shù)部分最大的計數(shù)單位是十分之一，沒有最小的計數(shù)單位。小數(shù)部分有幾個數(shù)位，就叫做幾位小數(shù)。如0.56是兩位小數(shù)，4.067是三位小數(shù)。數(shù)位順序表：整數(shù)部分小數(shù)點小數(shù)部分億級萬級個級數(shù)位千億位百億位十億位億位千萬位百萬位十萬位萬位千位百位十位個位十分位百分位千分位計數(shù)單位千億百億十億億千萬百萬十萬萬千百十一（個）十分之一百分之一千分之一小數(shù)的讀法：整數(shù)部分整數(shù)讀，小數(shù)點讀點，小數(shù)部分順序讀。小數(shù)的寫法：小數(shù)點寫在個位右下角。小數(shù)的性質(zhì)：小數(shù)末尾添0去0大小不變?；喰?shù)點位置移動引起大小變化：右移擴(kuò)大左縮小，1十2百3千倍。小數(shù)大小比較：整數(shù)部分大就大；整數(shù)相同看十分位大就大；以此類推。（3）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。在分?jǐn)?shù)里，表示把單位“1”平均分成多少份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)的分母；表示取了多少份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)的分子；其中的一份，叫做分?jǐn)?shù)單位。百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)。也叫百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)的形式，而用特定的“%”來表示。百分?jǐn)?shù)一般只表示兩個數(shù)量關(guān)系之間的倍數(shù)關(guān)系，后面不能帶單位名稱。百分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系，它的后面不能寫計量單位。成數(shù)：幾成就是十分之幾。分?jǐn)?shù)的種類按照分子、分母和整數(shù)部分的不同情況，可以分成：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)除法是一種運(yùn)算，有運(yùn)算符號；分?jǐn)?shù)是一種數(shù)。因此，一般應(yīng)敘述為被除數(shù)相當(dāng)于分子，而不能說成被除數(shù)就是分子。由于分?jǐn)?shù)和除法有密切的關(guān)系，根據(jù)除法中“商不變”的性質(zhì)可得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，它是約分和通分的依據(jù)。約分和通分分子、分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。把一個分?jǐn)?shù)化成同它相等但分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分?jǐn)?shù)為止。把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。通分的方法：先求出原來幾個分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。倒數(shù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。求一個數(shù)（0除外）的倒數(shù)，只要把這個數(shù)的分子、分母調(diào)換位置。1的倒數(shù)是1，0沒有倒數(shù)。分?jǐn)?shù)的大小比較分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的那個分?jǐn)?shù)就大。分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的那個分?jǐn)?shù)就大。分母和分子都不同的分?jǐn)?shù)，通常是先通分，轉(zhuǎn)化成通分母的分?jǐn)?shù)，再比較大小。如果被比較的分?jǐn)?shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要比較它們的整數(shù)部分，整數(shù)部分大的那個帶分?jǐn)?shù)就大；如果整數(shù)部分相同，再比較它們的分?jǐn)?shù)部分，分?jǐn)?shù)部分大的那個帶分?jǐn)?shù)就大。百分?jǐn)?shù)與折數(shù)、成數(shù)的互化：例如：三折就是30，七五折就是75，成數(shù)就是十分之幾，如一成就是10%，則六成五就是65%。納稅和利息：稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率。利率：利息與本金的百分率。由銀行規(guī)定按年或按月計算。利息的計算公式：利息=本金利率時間百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別主要有以下三點：意義不同。百分?jǐn)?shù)是“表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。”它只能表示兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，不能表示某一具體數(shù)量。如：可以說1米是5米的 20，不可以說“一段繩子長為20米?！币虼?，百分?jǐn)?shù)后面不能帶單位名稱。分?jǐn)?shù)是“把單位1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)”。分?jǐn)?shù)不僅可以表示兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，如：甲數(shù)是3，乙數(shù)是4，甲數(shù)是乙數(shù)的?；還可以表示一定的數(shù)量。應(yīng)用范圍不同。百分?jǐn)?shù)在生產(chǎn)、工作和生活中，常用于調(diào)查、統(tǒng)計、分析與比較。而分?jǐn)?shù)常常是在測量、計算中，得不到整數(shù)結(jié)果時使用。書寫形式不同。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采用百分號“”來表示。如：百分之四十五，寫作：45；百分?jǐn)?shù)的分母固定為100，因此，不論百分?jǐn)?shù)的分子、分母之間有多少個公約數(shù)，都不約分；百分?jǐn)?shù)的分子可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)。而分?jǐn)?shù)的分子只能是自然數(shù)，它的表示形式有：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)，計算結(jié)果不是最簡分?jǐn)?shù)的一般要通過約分化成最簡分?jǐn)?shù)，是假分?jǐn)?shù)的要化成帶分?jǐn)?shù)。（4）數(shù)的整除整除的意義整數(shù)a除以整數(shù)b（b0），除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a）除盡的意義 甲數(shù)除以乙數(shù)，所得的商是整數(shù)或有限小數(shù)而余數(shù)也為0時，我們就說甲數(shù)能被乙數(shù)除盡，（或者說乙數(shù)能除盡甲數(shù)）這里的甲數(shù)、乙數(shù)可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)（乙數(shù)不能為0）。約數(shù)和倍數(shù)如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫b的倍數(shù)，b就叫a的約數(shù)。一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的是它本身，它沒有最大的倍數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)。例如：0、2、4、6、8、10注：0也是偶數(shù) 2、不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)。例如：1、3、5、7、9整除的特征能被2整除的數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8。能被5整除的數(shù)的特征：個位上是0或5。能被3整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)之和能被3整除，這個數(shù)就能被3 整除。質(zhì)數(shù)和合數(shù)在正整數(shù)集合里分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。一個數(shù)只有1和它本身兩個約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（素數(shù)）。質(zhì)數(shù)有無窮多個。一個數(shù)除了1和它本身外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。合數(shù)有無窮多個。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。自然數(shù)按約數(shù)的個數(shù)可分為：質(zhì)數(shù)、合數(shù)自然數(shù)按能否被2整除分為：奇數(shù)、偶數(shù)分解質(zhì)因數(shù)每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個質(zhì)數(shù)叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。例如：18=332，3和2叫做18的質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)用幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法來分解質(zhì)因數(shù)。幾個數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個叫這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)。其中最大的一個叫這幾個數(shù)的最大公倍數(shù)。特殊情況下幾個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。（1）如果幾個數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，則較大數(shù)是它們的最小公倍數(shù)，較小數(shù)是它們的最大公約數(shù)。（2）如果幾個數(shù)兩兩互質(zhì)，則它們的最大公約數(shù)是1，小公倍數(shù)是這幾個數(shù)連乘的積。奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)相鄰兩個自然數(shù)之和是奇數(shù)，之積是偶數(shù)。奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)-奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)。關(guān)于數(shù)的四則運(yùn)算的知識要點：（1）四則運(yùn)算的法則 加法：整數(shù)和小數(shù)：相同數(shù)位對齊，從低位加起，滿十進(jìn)一。同分母分?jǐn)?shù)：分母不變，分子相加；異分母分?jǐn)?shù)：先通分，再相加減法：整數(shù)和小數(shù)：相同數(shù)位對齊，從低位減起，哪一位不夠減，退一當(dāng)十再減。同分母分?jǐn)?shù)：分母不變，分子相減；異分母分?jǐn)?shù)：先通分，再相減乘法：整數(shù)和小數(shù)：用乘數(shù)每一位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，用哪一位上的數(shù)去乘，得數(shù)的末位就和哪一位對起，最后把積相加，因數(shù)是小數(shù)的，積的小數(shù)位數(shù)與兩位因數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同。分?jǐn)?shù)：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。能約分的先約分，結(jié)果要化簡除法：整數(shù)和小數(shù)：除數(shù)有幾位，先看被除數(shù)的前幾位，（不夠就多看一位），除到被除數(shù)的哪一位，商就寫到哪一位上。除數(shù)是小數(shù)是，先化成整數(shù)再除，商中的小數(shù)點與被除數(shù)的小數(shù)點對齊b、甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)除以乙數(shù)的倒數(shù) （2）運(yùn)算定律加法交換律 ab=ba 結(jié)合律 （ab）c=a（bc） 減法性質(zhì) abc=a（bc） a（bc）=abc乘法交換律 ab=ba 結(jié)合律 （ab）c=a（bc） 分配律 （ab）c=acbc 除法性質(zhì) a（bc）=abc a（bc）=abc （ab）c=acbc （ab）c=acbc 商不變性質(zhì)m0 ab=（am）（bm） =（am）（bm） 積的變化規(guī)律：在乘法中，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀叮e也擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)。推廣：一個因數(shù)擴(kuò)大A倍，另一個因數(shù)擴(kuò)大B倍，積擴(kuò)大AB倍。一個因數(shù)縮小A倍，另一個因數(shù)縮小B倍，積縮小AB倍。商不變規(guī)律：在除法中，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大（或縮小）相同的倍數(shù)，商不變。推廣：被除數(shù)擴(kuò)大（或縮小）A倍，除數(shù)不變，商也擴(kuò)大（或縮小）A倍。被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。〢倍，商反而縮小（或擴(kuò)大）A倍。利用積的變化規(guī)律和商不變規(guī)律性質(zhì)可以使一些計算簡便。但在有余數(shù)的除法中要注意余數(shù)。如：8500200= 可以把被除數(shù)、除數(shù)同時縮小100倍來除，即852=42（余1），商不變，但此時的余數(shù)1是被縮小100被后的，所以還原成原來的余數(shù)應(yīng)該是100，即8500200=42100。關(guān)于簡易方程的知識要點：（1）用字母表示數(shù) 用字母表示數(shù)是代數(shù)的基本特點。既簡單明了，又能表達(dá)數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律。用字母表示數(shù)的注意事項 ：數(shù)字與字母、字母和字母相乘時，乘號可以簡寫成“或省略不寫。數(shù)與數(shù)相乘，乘號不能省略。 當(dāng)1和任何字母相乘時，“1”省略不寫。數(shù)字和字母相乘時，將數(shù)字寫在字母前面。（2）含有字母的式子及求值 求含有字母的式子的值或利用公式求值，應(yīng)注意書寫格式 （3）等式與方程 表示相等關(guān)系的式子叫等式。含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個式子是不是方程應(yīng)具備兩個條件：一是含有未知數(shù)；二是等式。所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。（4）方程的解和解方程 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。求方程的解的過程叫解方程。在列方程解文字題時，如果題中要求的未知數(shù)已經(jīng)用字母表示，解答時就不需要寫設(shè)，否則首先演將所求的未知數(shù)設(shè)為x。（5）解方程的方法直接運(yùn)用四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系去解。如x-8=12加數(shù)+加數(shù)=和 一個加數(shù) = 和 另一個加數(shù) 被減數(shù)減數(shù)=差 減數(shù)=被減數(shù)差 被減數(shù)=差減數(shù) 被乘數(shù)乘數(shù)=積 一個因數(shù)=積另一個因數(shù) 被除數(shù)除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)商 被除數(shù)=除數(shù)商 先把含有未知數(shù)x的項看作一個數(shù)，然后再解。如3x+20=41先把3x看作一個數(shù)，然后再解。按四則運(yùn)算順序先計算，使方程變形，然后再解。如2.54-x=4.2，要先求出2.54的積，使方程變形為10-x=4.2，然后再解。利用運(yùn)算定律或性質(zhì)，使方程變形，然后再解。如：.x.x先利用運(yùn)算定律或性質(zhì)使方程變形為（.）x，然后計算括號里面使方程變形為x，最后再解。2、小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)的結(jié)構(gòu)；零自然數(shù)正整數(shù)負(fù)整數(shù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)。如， 等實數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都能化為分?jǐn)?shù)。在自然數(shù)的基礎(chǔ)上負(fù)數(shù)概念引進(jìn)后，“整數(shù)集”完整地形成了，并使“加法、減法、乘法”在整數(shù)集內(nèi)永遠(yuǎn)實施。在自然數(shù)的基礎(chǔ)上分?jǐn)?shù)概念的引進(jìn)，首先形成了“非負(fù)理數(shù)集”，使除法（0不作除數(shù)）在這個數(shù)集內(nèi)永遠(yuǎn)實施；再引進(jìn)負(fù)數(shù)后，有理數(shù)集就完整地形成，使“加、減、乘、除”四則運(yùn)算在有理數(shù)集內(nèi)永遠(yuǎn)實施。也可理解為：加法和乘法的實施使“非0自然數(shù)集”擴(kuò)充為“自然數(shù)集”；再實施減法，使“自然數(shù)集”擴(kuò)充為“整數(shù)集”，也即“負(fù)整數(shù)”加入；又再實施除法（0不作除數(shù)），使“整數(shù)集”擴(kuò)充為“有理數(shù)集”，也即“分?jǐn)?shù)”的加入。3、小學(xué)數(shù)學(xué)中對于數(shù)及其運(yùn)算的幾點深入理解 （1）對“自然數(shù)”的理解0為什么規(guī)定為自然數(shù)上世紀(jì)90年代以前人們習(xí)慣的自然數(shù)不包括0，1993年中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)頒布，規(guī)定了0屬于自然數(shù)。因為，自然數(shù)有三大功能，一是基數(shù)，二是序數(shù)，三是能加法和乘法運(yùn)算。缺少了0就不完善了。在基數(shù)上，0表示沒有，是“空集”這個有限集合的元素個數(shù)；在順序上，有時當(dāng)著起點，如尺子的0厘米；在加乘運(yùn)算上，如果沒有0的自然數(shù)，不能運(yùn)算。在小學(xué)數(shù)學(xué)中所指的整數(shù)就是自然數(shù)。（2）對于分?jǐn)?shù)的理解 小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)的定義是：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。因此，分?jǐn)?shù)的分子、分母都是非0自然數(shù)，并且分母不能是1。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，像0/3，2/1，0.1/3，4/0.2等的數(shù)都不是分?jǐn)?shù)。但是，有時在計算中會出現(xiàn)分子是0的分?jǐn)?shù)，就叫零分?jǐn)?shù)，或分母是1的分?jǐn)?shù)是整數(shù)。所以，分?jǐn)?shù)補(bǔ)充定義：當(dāng)分?jǐn)?shù)m/n的 n=1時,m/n=m/1=m；當(dāng)分?jǐn)?shù)m/n的m=0時，m/n=0/n=0。另一方面，在過去的小學(xué)數(shù)學(xué)里，有繁分?jǐn)?shù)這個概念，可把0.1/3或4/0.2等看成是繁分?jǐn)?shù)。繁分?jǐn)?shù)可化成整數(shù)或分?jǐn)?shù)。（3）分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系 任何一個分?jǐn)?shù)都可化為小數(shù)，即是化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。但是，并非任何小數(shù)都能化成分子、分母都是整數(shù)的分?jǐn)?shù)，如無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)。（4）關(guān)于0為什么不能做除數(shù) 整數(shù)除法定義：如果bq=a，那么ab=q 。這說明除法是乘法的逆運(yùn)算，已知積和一個因數(shù)，求另一個因數(shù)。當(dāng)a=0，b0時，b 0=0，0b=0。如果除數(shù)b=0，那么：當(dāng)被除數(shù)a不為零時，由于任何數(shù)乘0都不可能等于a，所以a0的商是不存在的；當(dāng)被除數(shù)a為零時，因為任何數(shù)乘0都等于0，所以ab的商是不能確定的。因此，規(guī)定除法中，除數(shù)不能為零。（5）對小學(xué)數(shù)學(xué)整除性的理解 因數(shù)和倍數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)是在非0整數(shù)（自然數(shù)）范圍內(nèi)研究因數(shù)和倍數(shù)的。在小學(xué)數(shù)學(xué)中的非0自然里，ab=c,a和b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)；從數(shù)的整理除性來看，0能被任何非0自然數(shù)整除，故0是任何非0自然數(shù)整除的倍數(shù)，任何非0自然數(shù)也都是0的因數(shù)，所以在研究因數(shù)和倍數(shù)時，把0包括在內(nèi)就沒有什么實際意義，因此，小學(xué)數(shù)學(xué)中的0不作為因數(shù)、倍數(shù)的研究范圍。（學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)后，一個數(shù)的倍數(shù)可以是負(fù)整數(shù)）因0不能當(dāng)除數(shù)，任何整數(shù)都不是0的倍數(shù)，故0沒有倍數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)是在自然數(shù)中定義奇數(shù)和偶數(shù)的，所以0是偶數(shù)。奇數(shù)性質(zhì)：兩個奇數(shù)的和或差是偶數(shù)；兩個奇數(shù)的積是奇數(shù)；一奇一偶的和或差是奇數(shù)；一奇一偶的積是偶數(shù)。偶數(shù)性質(zhì)：兩偶的和、差、積是偶數(shù)。在自然數(shù)中，最小的偶數(shù)的0，最小的奇數(shù)的1。數(shù)擴(kuò)充到全體整數(shù)時，就沒有最小的整數(shù)，也沒有最小的奇數(shù)（偶數(shù)）。人教版五下P22練習(xí)題11奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？奇數(shù)與奇數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？偶數(shù)與偶數(shù)的和呢？（設(shè)奇數(shù)為2n-1，nN，設(shè)偶數(shù)為2n-1，nN，可以證明）質(zhì)數(shù)和合數(shù)一個數(shù)除了1和它本身外，還有其他的因數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)，合數(shù)至少有3個因數(shù)。一個數(shù)除了1和它本身外，不再有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)都有2個因數(shù)。0雖然能被1整除，但不能被它本身整除（00無意義），故O不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。（6）為什么要引進(jìn)負(fù)數(shù)？一是人們在生產(chǎn)生活中經(jīng)常會遇到各種相反意義的量，二是使減法運(yùn)算永遠(yuǎn)可以實施。負(fù)數(shù)的引進(jìn)，是中國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的一個巨大貢獻(xiàn)。在九章算術(shù)中，除了引進(jìn)正負(fù)數(shù)的概念外，還完整地記載了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，實際上是正負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則。如負(fù)數(shù)出現(xiàn)在方程的系數(shù)和常數(shù)項中，把“賣（收入錢）”作為正，則“買（付出錢）”作為負(fù)，把“余錢”作為正，則“不足錢”作為負(fù)。劉徽第一次給出了正負(fù)區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法。他說：“正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異”意思是說，用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù)，用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù)；也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù)，用正擺的小棍表示正數(shù)。在國外，負(fù)數(shù)出現(xiàn)得很晚，直至公元1150年（比九章算術(shù)成書晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了負(fù)數(shù)，而且在公元17世紀(jì)以前，許多數(shù)學(xué)家一直采取不承認(rèn)的態(tài)度。如法國大數(shù)學(xué)家韋達(dá)，盡管在代數(shù)方面作出了巨大貢獻(xiàn)，但他在解方程時卻極力回避負(fù)數(shù)，并把負(fù)根統(tǒng)統(tǒng)舍去。有許多數(shù)學(xué)家由于把零看作“沒有”，他們不能理解比“沒有”還要“少”的現(xiàn)象，因而認(rèn)為負(fù)數(shù)是“荒謬的”。直到17世紀(jì)，笛卡兒創(chuàng)立了坐標(biāo)系，負(fù)數(shù)獲得了幾何解釋和實際意義，才逐漸得到了公認(rèn)。從上面可以看出，負(fù)數(shù)的引進(jìn)，是我國古代數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)給世界數(shù)學(xué)的一份寶貴財富。（7）對近似數(shù)和近似值的理解與實際數(shù)相接近的數(shù)稱為近似數(shù)。如海南省人口860萬，是個近似數(shù)。近似等于精確值的數(shù)值稱為近似值。如除法運(yùn)算時，求到某一位數(shù)上四舍五入所得的數(shù)值，是商的近似值。近似數(shù)和近似值不是一回事的。（8）關(guān)于估算（從二上P31開始有“加減法估算”）。小學(xué)數(shù)學(xué)的估算有三類；一是對大數(shù)目的估算，如254196大約是多少？；二是對日?？谒恪⒐P算的驗算；三是對日常生活中一些最簡單的推算，如100萬張紙有多厚？對大數(shù)目的估算：通常用四舍五入方法保留最高位或次高位，用“湊整”的方法口算出近似數(shù)。如上式254196可看成大約250200=50000。具有現(xiàn)實生活背景的估算問題：依據(jù)實際情況而定，有時估大些或估小些。如某人要去商店買熱水瓶29元，水壺44元，水杯24元，他需要大約帶多少錢？4、對小學(xué)數(shù)學(xué)中的解決問題理解（解決問題與傳統(tǒng)的應(yīng)用題的區(qū)別）（1）重視過程的教學(xué)。應(yīng)用題更多的強(qiáng)調(diào)盡快獲得答案，而解決問題強(qiáng)調(diào)一個過程，就是尋求解決問題方式方法的過程。重視解決問題的過程，尋求解決問題的方法和策略比獲得一個結(jié)論本身來得更重要。（2）不僅僅依附一個知識點。應(yīng)用題往往是結(jié)合某一個具體的知識點，例如今天講加法，就是加法應(yīng)用題，明天學(xué)乘法是乘法應(yīng)用題，應(yīng)用題常常是依附在某一個知識點的背景下；而解決問題是強(qiáng)調(diào)針對一個具體的真實的情境，它更多地強(qiáng)調(diào)綜合解決問題的過程。例如今天講完加法后，解決問題的情境可能不局限于用加法，也不局限于用減法，它要調(diào)動學(xué)生已有的知識來解決問題。它是不僅僅依附于某一個知識點的。（3）具體問題具體分析。應(yīng)用題教學(xué)把應(yīng)用題歸成類，集中一類問題進(jìn)行思考，強(qiáng)調(diào)速度和技巧；而解決問題強(qiáng)調(diào)的是具體問題具體分析，換句話說就是在一種新的情境中如何運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，使問題更具挑戰(zhàn)性，可能是一個問題接著一個問題。學(xué)生面臨的具體情境不同，問題就不同，學(xué)生要具體問題具體分析。要尋求解決這個問題的方法，它更具有挑戰(zhàn)性，更具有新意。（4）問題的開放性和多元性。應(yīng)用問題強(qiáng)調(diào)廣泛性，即從生活中、從兒童已有的經(jīng)驗出發(fā)、從現(xiàn)在的科技和社會發(fā)展的過程中發(fā)現(xiàn)問題和提煉問題。問題本身的開放性和多元性也是其很重要一個特征。5、常見的量上學(xué)期下學(xué)期一年級鐘表的認(rèn)識（時針、分針）認(rèn)識人民幣； 認(rèn)識時間二年級長度單位克和千克三年級毫米、分米、千米的認(rèn)識； 噸的認(rèn)識； 時、分、秒年、月、日； 24時計時法（1）關(guān)于量與計量及的計算事物的多少、長短、大小、輕重、快慢等，這些可以測定的客觀事物的特征叫做量。把一個要測定的量同一個作為標(biāo)準(zhǔn)的量相比較叫做計量。用來作為計量標(biāo)準(zhǔn)的量叫做計量單位。數(shù)+單位名稱=名數(shù) 只帶有一個單位名稱的叫做單名數(shù)。帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做復(fù)名數(shù)高級單位的數(shù)如把米改成厘米 低級單位的數(shù)如把厘米改成米只帶有一個單位名稱的數(shù)叫做單名數(shù)。如：5小時， 3千克（只有一個單位的） 帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做復(fù)名數(shù)。如：5小時6分，3千克500克（有兩個單位的）56平方分米=(0.56)平方米 就是單名數(shù)轉(zhuǎn)化成單名數(shù) 560平方分米=(5)平方米(60平方分米) 就是單名數(shù)轉(zhuǎn)化成復(fù)名數(shù)的例子.高級單位與低級單位是相對的.比如,米相對于分米,就是高級單位,相對于千米就是低級單位. 1年12個月(31天的月份有1、3、5、7、8、10、12月份，30天的月份有4、6、9、11月份，平年2月28天，閏年2月29天 閏年年份是4的倍數(shù)，整百年份須是400的倍數(shù)。平年一年365天，閏年一年366天。公元1年100年是第一世紀(jì)，公元19012000是第二十世紀(jì)。（2）對北京時間的理解格林尼治時間也稱為“世界時”。 格林尼治是英國倫敦南郊原格林尼治天文臺的所在地，它又是世界上地理經(jīng)度的起始點。對于世界上發(fā)生的重大事件，都以格林尼治的地方時間記錄下來。一旦知道了格林尼治時間，人們就很容易推算出相當(dāng)?shù)谋镜貢r間。例如，某事件發(fā)生在格林尼治時間上午8 時，我國在英國東面，北京時間比格林尼治時同要早8小時，我們就立刻知道這次事情發(fā)生在相當(dāng)于北京時間16時，也就是北京時間下午4時。國際上把地球表面按經(jīng)線分為24時區(qū)，規(guī)定每一時區(qū)內(nèi)使用它的中央子午線的地方時為該區(qū)的“標(biāo)準(zhǔn)時間”。 各國的標(biāo)準(zhǔn)時間一般以首都所處的時區(qū)來確定。我國采用首都北京所在的東八時區(qū)的區(qū)時作為標(biāo)準(zhǔn)時間，稱為北京時間。就是東8區(qū)的中央子午線東經(jīng)120的地方時，相當(dāng)于山海關(guān)以東的地方時，并非北京市的地方時。北京城中心大約在東經(jīng)11625，其地方時比北京時間晚14分17秒左右。我國有些城市處在東經(jīng)120位置，如山東膠縣、江蘇常州、福建霞浦，它們的地方時和北京時間一致。北京時間=世界時+8小時。（3）質(zhì)量和重量的區(qū)別質(zhì)量是物體所含物質(zhì)的多少。是物體的一種屬性，質(zhì)量不隨物體的形狀、溫度、狀態(tài)而改變，質(zhì)量也不隨物體的位置而改變。質(zhì)量沒有方向。重量是物體受到地心引力作用，而具有向下的力，這個力的大小叫做這個物體的重量。重量在各地區(qū)因地心引力的不同而有微小的差別，在地球兩極比在赤道大些，高處比低處小些。一個物體的重力與質(zhì)量有如下關(guān)系：重力=質(zhì)量g（g是重力加速度），在不同地點g略有變化，所以同一個物體，在不同的地點的重力略有差異。質(zhì)量的單位有噸（t）、千克（kg）克（g）、毫克等，重力與質(zhì)量有如下關(guān)系：重力=質(zhì)量g。測量質(zhì)量的工具有天平，磅秤等。（4）名數(shù)與不名數(shù)在書的后面富有數(shù)量單位名稱的數(shù)叫做名數(shù)。例如:3米,8元,10張,100千克等.；4角5分、15分30秒等叫做復(fù)名數(shù)。在數(shù)的后面沒有數(shù)量單位名稱的數(shù),叫做不名數(shù)。例如:45，3/4，32 等；在8加5乘以6的積是多少,這里的三個數(shù)都是不名數(shù)。6、比和比例知識內(nèi)容分布：小學(xué)數(shù)學(xué)六上學(xué)期學(xué)習(xí)：比；六下學(xué)習(xí)：比例，正、反比例、比例尺， 圖形的放大與縮小。（1)關(guān)于比和比例的知識要點表示兩個比相等的式子叫做比例。在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，這叫做比例的基本性質(zhì)。應(yīng)用比例的基本性質(zhì)可以解比例、組比例，還可以求兩個數(shù)的比。圖上距離和實際距離的比，叫做比例尺。兩種相關(guān)聯(lián)的量。若比值一定，則成正比例；若積一定，則成反比例。若比值和積都不一定，則不成比例。應(yīng)用比例知識解答應(yīng)用題，要先判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量成什么比例，找出這兩種相關(guān)聯(lián)的量的對應(yīng)數(shù)值，再根據(jù)正、反比例的意義列方程解答。(2)比和比例應(yīng)用題 在工業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常要把一個數(shù)量按照一定的比例來進(jìn)行分配，這種分配方法通常叫“按比例分配”。 (3)比例的解題策略按比例分配的有關(guān)習(xí)題，在解答時，要善于找準(zhǔn)分配的總量和分配的比，然后把分配的比轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)或份數(shù)來進(jìn)行解答 (4)正、反比例應(yīng)用題的解題策略第一、審題，找出題中相關(guān)聯(lián)的兩個量 ；第二、分析，判斷題中相關(guān)聯(lián)的兩個量是成正比例關(guān)系還是成反比例關(guān)系；第三、設(shè)未知數(shù)，列比例式；第四、解比例式；第五、檢驗，寫答語。（5）分?jǐn)?shù)、除法和比三者之間的聯(lián)系和區(qū)別聯(lián)系：在分?jǐn)?shù)中，分子相當(dāng)于除法算式中的被除數(shù),分母相當(dāng)于除數(shù), 分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號,分?jǐn)?shù)值相當(dāng)于商；把分?jǐn)?shù)放在“比”中,分子相當(dāng) 于前項，分母相于后項，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于比號，分?jǐn)?shù)值相當(dāng)于比值；比 的前項相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，比的后項相當(dāng)于除法中的除數(shù)，比號相當(dāng)于除法中的除號，比值相當(dāng)于除法中的商。 區(qū)別：分?jǐn)?shù)是一種數(shù)；除法是數(shù)與數(shù)之間運(yùn)算；比是一種關(guān)系。（6）對相關(guān)聯(lián)的量一定成正比例或反比例的理解有些量是相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們卻不成正比例也不成反比例。例如，圓的面積隨著半徑的變化而變化，變化的方向相同，好象是正比例關(guān)系，而它們實際上是不成正比例的。又如，一要繩子長度一定，剪去的長度與剩下的長度也不成反比例關(guān)系。正比例：x：y=k（常數(shù)），即y= k x。 反比例：xy=k（常數(shù)），即y= k /x。7、探索規(guī)律第一學(xué)段（13年級）發(fā)現(xiàn)給定的事物中隱含的簡單規(guī)律（一年級下冊、二年級下冊找規(guī)律單元）第二學(xué)段（46年級）探求給定事物中隱含的規(guī)律或變化趨勢小學(xué)數(shù)學(xué)探索規(guī)律有四種情況：算式中的規(guī)律 算式規(guī)律：如一個數(shù)乘11，101的計算。數(shù)列中的規(guī)律 12311=1353，58734101=5932134探索規(guī)律 數(shù)列規(guī)律：考慮相鄰兩項的關(guān)系，或一組數(shù)，的關(guān)系，找到規(guī)律。“式”的規(guī)律 式的規(guī)律：幾個算式排列在一起，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)形結(jié)合的規(guī)律 數(shù)形結(jié)合的規(guī)律從圖形對稱或排列找規(guī)律（1）電話聯(lián)系人的問題（五下打電話）每增加一分鐘新接到通知的隊員數(shù)正好是前面所有接到通知的隊員和老師的總數(shù)，也就是第n分鐘新接到通知的隊員數(shù)等于前（n-1）分鐘內(nèi)接到通知的隊員和老師的總數(shù)。因而到第n分鐘所有接到通知的隊員和老師的總數(shù)就是一個等比數(shù)列，通項公式為an=2n，到第n分鐘所有接到通知的隊員總數(shù)就是（2n-1）人。隨著時間的增加，所有接到通知的隊員數(shù)分別為1，3，7，15，31因此要通知完15個隊員，只需要4分鐘。根據(jù)這個規(guī)律算一算5分鐘最多可以通知多少人，以及如果一個合唱團(tuán)有50人，最少花多少時間就能通知到每個人。這些問題利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律都能輕松地解決。（2）因數(shù)是11，101的規(guī)律12311=1353 58734101=5932134(雙交叉)（二）小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中“空間與圖形”知識的拓展1、內(nèi)容介紹（1）幾何形體內(nèi)容分布與說明年級內(nèi)容分布詳 細(xì) 內(nèi) 容說 明一上認(rèn)識物體和圖形（立體圖形、平面圖形名稱認(rèn)識）1.長方體、正方體2.圓柱、球3.長方形、正方形4.三角形、圓1.先立體后平面的認(rèn)識順序，直觀的認(rèn)識方法2.涂色、數(shù)個數(shù)、分類等二上認(rèn)識線段角的初步認(rèn)識1.角的頂點和邊2.直角，和畫法1.在認(rèn)識長度單位的時候認(rèn)識線段并與曲線區(qū)別2.名稱，和畫法二下銳角和鈍角銳角比直角小，鈍角比直角大。三上四邊形四邊形平行四邊形周長的概念長方形和正方形的周長估計1.畫、剪等活動2.封閉圖形一周的長度，是它的周長3.教材沒有呈現(xiàn)“長”“寬”的概念。沒有呈現(xiàn)計算公式，只有算式。4.估計長度三下面積面積的概念長方形和正方形的面積計算1.物體表面或封閉圖形的大小，就是它們的面積2.有歸納公式，、出現(xiàn)先求面積再求別的的兩步計算應(yīng)用題四上角的度量直線、射線、和角角的度量角的分類畫角1一束的光線近似看成射線，一端無限延伸。2.下面兩條是直線，可以向兩端無限延伸。3.從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角?！啊?，“度”4.平角、周角和相應(yīng)度數(shù)。平行四邊形和梯形垂直和平行，距離平行四邊形和梯形的概念韋恩圖（從屬關(guān)系）1.兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。四下三角形三角形的特性三角形的分類三角形的內(nèi)角和三角形的三邊關(guān)系1由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫做三角形2底、高，穩(wěn)定性3按角分，按邊分在練習(xí)中出現(xiàn)五上多邊形的面積平行四邊形的面積三角形的面積梯形的面積組合圖形的面積驗證推導(dǎo)平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積的計算公式。五下長方體和正方體1.特征、2.體積、容積、表面積的概念3.計算體積表面4.六聯(lián)方5.排水法求圓球的體積物體所占空間的大小在練習(xí)中出現(xiàn)六聯(lián)方和用排水法求體積的題目。六上圓圓的認(rèn)識圓的周長圓的面積圓心、半徑、直徑六下圓柱和圓錐圓柱的認(rèn)識、表面積、體積圓錐的認(rèn)識、體積展開圖驗證推導(dǎo)圓柱、圓錐體積計算公式（2）圖形與變換內(nèi)容分布及說明年級內(nèi)容舉例說明一下圖形的拼組剪一剪、擺一擺、拼一拼。初步感知數(shù)學(xué)的美。二下平移和旋轉(zhuǎn)平移向上、下、左、右、平移（ ）格子。旋轉(zhuǎn)認(rèn)識旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，如：風(fēng)車。區(qū)別旋轉(zhuǎn)和平移。四下圖形的拼組用三角形擺圖形五下圖形的變換軸對稱畫對稱軸的另一半旋轉(zhuǎn)繞“O”旋轉(zhuǎn)30到A點，或其他角度，如90等。（3）圖形與位置內(nèi)容分布及說明年級內(nèi) 容 分 布說 明一下位置1.上、下2.前、后3.左、右4.位置在什么的上面，在什么的下面。在什么的前面，在什么的后面。左手、右手第幾組第幾個二上觀察物體1.觀察的人2.對稱，對稱軸3.鏡像1.看恐龍，說出是誰看的？2.沒有說到對稱圖形3.認(rèn)識，會剪，會畫對稱軸4.倒影，鏡子，區(qū)別鏡像三下位置與方向東、南、西、北怎么走1.在教學(xué)樓的東面2.向東走200米，在向北走100米等四下位置與方向東偏北35，距離100米等五上觀察物體從不同角度看物體六上位置用（2，3）表示第二列第三排的同學(xué)（4）測量的內(nèi)容分布二上長度單位（厘米、米）三上測量（毫米、分米、千米的認(rèn)識，長方形、正方形等圖形的周長）三下面積（面積的含義、面積單位及進(jìn)率、單位換算、長、正方形的面積公式）四上角的度量五上多邊形的面積（探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式）五下長方體和正方體（體積的意義及度量單位、簡單的單位換算、長方體和正方體的表面積、體積等）2、平面圖形認(rèn)識和計算的知識要點三角形 三角形是由三條線段圍成的圖形。它具有穩(wěn)定性。從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。一個三角形有三條高。三角形的內(nèi)角和是180度三角形按角分，可以分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊分，可以分為：等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形 四邊形四邊形是由四條線段圍成的圖形。任意四邊形的內(nèi)角和是360度。只有一組對邊平行的四邊形叫梯形。兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形，它容易變形。長方形、正方形是特殊的平行四邊形；正方形是特殊的長方形。 圓圓是平面上的一種曲線圖形。同圓或等圓的直徑都相等，直徑等于半徑的2倍。圓有無數(shù)條對稱軸。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。 扇形 由圓心角的兩條半徑和它所對的弧圍成的圖形。扇形是軸對稱圖形。軸對稱圖形 如果一個圖形沿著一條直線對折，兩邊的圖形能夠完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；這條窒息那叫做對稱軸。線段、角、等腰三角形、長方形、正方形等都是軸對稱圖形，他們的對稱軸條數(shù)不等。 周長和面積 平面圖形一周的長度叫做周長。平面圖形或物體表面的大小叫做面積。常見圖形的周長和面積計算公式如下：(1)長方形面積=長寬，計算公式s=a b (2)正方形面積=邊長邊長，計算公式s=a a (3)長方形周長：(長+寬) 2，計算公式s=(a+b) 2 (4)正方形周長=邊長 4，計算公式s=4 a (5)平形四邊形面積=底高，計算公式s=a h (6)三角形面積=底高2，計算公式s=ah2 (7)梯形面積=(上底+下底)高2，計算公式s=(a+b)h2（8）圓：直徑 ：d = 2r ，半徑 ：r = d2，圓的周長：C圓= d， d = CC圓= 2r r = C2圓的面積 ：S圓 = r 圓環(huán)的面積：S圓環(huán) = （Rr）組合圖形的面積 由兩個或兩個以上的簡單圖形組合而成的比較復(fù)雜的圖形，叫做組合圖形。解題方法：合并求和法，去空求差法3、對小學(xué)數(shù)學(xué)空間與圖形的幾點深入理解（1）對直線、射線和線段的理解。直線在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中是通過實例（雙手拉緊的線）說明的，不是定義的概念。直線沒有端點，沒有方向，可以向兩方無限延伸，無頭無尾來可度量。射線：在直線上某一點一旁的部分叫做射線。射線有一個端點，可向一個方向無限延伸，不可度量。線段；直線上任意兩點間的部分叫做線段。線段有長短，可度量。這三者的區(qū)別：從端點的情況來區(qū)分。它們的聯(lián)系：線段是直線或射線的一部分，射線又是直線的一部分。（2）對數(shù)學(xué)中的點、線、面的理解點只有位置，沒有大?。痪€只有長短，沒有粗細(xì)；面只有長、寬，沒有厚薄。（3）對確定左右位置的理解第一要了解確定左、右的標(biāo)準(zhǔn)。一是“向誰說”、“問誰”就以誰為判斷主體，如叫學(xué)生向“左”轉(zhuǎn)；二是沒有明確誰是判斷主體時，應(yīng)指誰觀察就應(yīng)以誰為判斷主體，如路牌。第二注意左、右是相對性。（4）對位置的理解有序數(shù)對（，）有序數(shù)對：用含有兩個數(shù)的詞表示一個確定的位置，其中各個數(shù)表示不同的含義，我們把這種有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作（a,b）。常見的確定平面上的點位置常用的方法：一是以某一點為原點（0，0）將平面分成若干個小正方形的方格，利用點所在的行和列的位置來確定點的位置。二是以某一點為觀察點，用方位角、目標(biāo)到這個點的距離這兩個數(shù)來確定目標(biāo)所在的位置。（三）小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中“統(tǒng)計與概率”的知識及其拓展1、統(tǒng)計知識分布年級內(nèi)容分布主要內(nèi)容知識要點一上分類分物體、分圖形一下以一代一1.統(tǒng)計數(shù)量2.比較多少二上以一代二1.用“正”法統(tǒng)計數(shù)量2.比較多少每格代表（ ）人二下