《高等數(shù)學(xué)1試題微積分》.doc

高等數(shù)學(xué) 一填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分）; 1.設(shè)，則的一個(gè)原函數(shù)是 . 2.曲線與軸、軸和直線所圍成的面積是 . 3.已知曲線上的任一點(diǎn)的切線斜率是，而且曲線經(jīng)過定點(diǎn)，則 曲線方程 . 4.在上的零點(diǎn)有 個(gè). 5.已知存在，且，則 . 二選擇題（本題共5小題，每小題4分，共20分） 1.已知具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則下面正確的是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3.已知的一階導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)，且， 則（ ） A. B. C. D. 4.設(shè)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，又，則 （ ） A.是的極小值點(diǎn) B.是的極大值點(diǎn) C.是曲線的拐點(diǎn) D.不是的極值點(diǎn)，也不是曲線的拐 點(diǎn)。 5. 設(shè)，那么在點(diǎn)處（ ） A.其連續(xù)性無法判定。B.是可導(dǎo)的。 C.是連續(xù)的，但不可導(dǎo)。D.是不連續(xù)的。三計(jì)算題（本題共6小題，共38分）1. 求。(6分)2. 求拋物線的曲率半徑。(6分)3. 求函數(shù)的極值和拐點(diǎn)。(6分)4.已知函數(shù)，求。(6分)5.求。(7分)6.設(shè)可導(dǎo)，若，求。(7分)四. 證明題（22分）1.證明：當(dāng)時(shí)，。 （6分）2.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得。 (8分)3.設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)減少，試證明對(duì)任何，皆有：。 （8分）高等數(shù)學(xué) 一填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分）1. 2.3. 4. 25二選擇題（本題共5小題，每小題4分，共20分）1-5. DBDBC三計(jì)算題（本題共8小題，共38分）1. 解一：解二：2. 解： ，則 ， 故。3. 解： 當(dāng)時(shí)，令，得的駐點(diǎn)：，令，得的可疑拐點(diǎn)：， 當(dāng)時(shí)，令，得的駐點(diǎn)：，令，沒有可疑拐點(diǎn)， 是的不可導(dǎo)點(diǎn)又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，是的極小點(diǎn)，極小值是 和 是的極大點(diǎn)，極大值是又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 點(diǎn)和點(diǎn)是的拐點(diǎn)。4. 解：所以 5. 解：6. 解：記，那么當(dāng)時(shí)，兩邊求導(dǎo)，得： 所以 又，可導(dǎo)必連續(xù)，從而得所以 于是兩邊求定積分，得： 所以 四、證明題（22分）1. 證一：令則，在上連續(xù)，且，令，得駐點(diǎn)當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，即。證二：令則，在上連續(xù)，且， 在上是向上凸的，當(dāng)時(shí)，即得：當(dāng)時(shí)，。2. 證：令，、在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得： .(*)又， （或直接在上應(yīng)用羅爾定理即可證得。） ，由(*)式可得 ：，即所以，至少存在一點(diǎn)，使得。3. 證：令 ，則在上連續(xù)，在