大一上學(xué)期高數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn).doc

;.大一上學(xué)期高數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn) 同志們，馬上就要考試了，考慮到這是你們上大學(xué)后的第一個(gè)春節(jié)，為了不影響闔家團(tuán)圓的氣氛，營造以人文本，積極向上，相互理解的師生關(guān)系，減輕大家學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，以下幫大家梳理本學(xué)期知識(shí)脈絡(luò)，抓住復(fù)習(xí)重點(diǎn)；1.主要以教材為主，看教材時(shí)，先把教材看完一節(jié)就做一節(jié)的練習(xí)，看完一章后，通過看小結(jié)對整一章的內(nèi)容進(jìn)行總復(fù)習(xí)。2.掌握重點(diǎn)的知識(shí)，對于沒有要求的部分可以少花時(shí)間或放棄，重點(diǎn)掌握要求的內(nèi)容，大膽放棄老師不做要求的內(nèi)容。3.復(fù)習(xí)自然離不開大量的練習(xí)，熟悉公式然后才能熟練任用。結(jié)合課后習(xí)題要清楚每一道題用了哪些公式。沒有用到公式的要死抓定義定理！一.函數(shù)與極限 二.導(dǎo)數(shù)與微分 三.微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 四.不定積分 瀏覽目錄了解真正不熟悉的章節(jié)然后有針對的復(fù)習(xí)。一函數(shù)與極限熟悉 差集 對偶律（最好掌握證明過程） 鄰域（去心鄰域）函數(shù)有界性的表示方法 數(shù)列極限與函數(shù)極限的區(qū)別 收斂與函數(shù)存在極限等價(jià) 無窮小與無窮大的轉(zhuǎn)換 夾逼準(zhǔn)則（重新推導(dǎo)證明過程） 熟練運(yùn)用兩個(gè)重要極限 第二準(zhǔn)則 會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小快速化簡計(jì)算 了解間斷點(diǎn)的分類 零點(diǎn)定理本章公式：兩個(gè)重要極限： 二.導(dǎo)數(shù)與微分熟悉函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 求高階導(dǎo)數(shù)會(huì)運(yùn)用兩邊同取對數(shù) 隱函數(shù)的顯化 會(huì)求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)洛必達(dá)法則：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意： 在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足或 型，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò).當(dāng)不存在時(shí)（不包括情形），就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則失效，應(yīng)從另外途徑求極限 . 洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止. 洛必達(dá)法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達(dá)法則，往往計(jì)算會(huì)十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結(jié)合，比如及時(shí)將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計(jì)算、乘積因子用等價(jià)量替換等等.曲線的凹凸性與拐點(diǎn)：注意：首先看定義域然后判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求極值和最值 利用公式判斷在指定區(qū)間內(nèi)的凹凸性或者用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷（注意二階導(dǎo)數(shù)的符號） 四.不定積分：（要求：將例題重新做一遍） 對原函數(shù)的理解原函數(shù)與不定積分 1 基本積分表基本積分表（共24個(gè)基本積分公式） 不定積分的性質(zhì) 最后達(dá)到的效果是會(huì)三算兩證（求極限，求導(dǎo)數(shù)，求積分）（極限和中值定理的證明），一定會(huì)取得滿意的成績！高數(shù)高頻易錯(cuò)點(diǎn) 1.求極限請注意自變量趨向什么。我們知道：lim(x趨向0)sinx/x=1，但是當(dāng)x趨向無窮limsinx/x=0，原因：無窮小量有界函數(shù)=無窮小量。這里：|sinx|0或(A0，當(dāng)x取x0的去心x-x0 鄰域時(shí),f(x)0(或f(x)0，然而并不滿足f(x)0(在x=0處)。介紹這個(gè)定理的作用：解一類題。請看：已知f(x)可導(dǎo)，且當(dāng)x趨向0，limf(x)/|x|=1，判斷f(x)是否存在極值點(diǎn)。 因?yàn)閒(x)可導(dǎo)，那么f(x)必連續(xù)，因?yàn)閘im(x趨向0)f(x)/|x|=1這個(gè)極限存在且為1，那么我們得到結(jié)論：lim(x趨向0)f(x)=0，否則不會(huì)存在極限的，又因?yàn)閒(x)連續(xù)，那么f(0)=0，令f(x)/|x|=g(x)，根據(jù)保號性，因?yàn)閘img(x)=10，那么：g(x)0，那么由于|x|在x趨向0時(shí)0，所以f(x)0，而0=f(0)，所以f(x)f(0)，根據(jù)極小值的定義，x=0為f(x)的極小值點(diǎn)。 綜上：已知limg(x)=a，a的正負(fù)已知，可以使用保號性。3. 請注意當(dāng)題目說：x趨向無窮時(shí)，那么題目包含兩個(gè)意思：x趨向正無窮和x趨向負(fù)無窮。在含有ex，arctanx，等等類的題目時(shí)，請看清楚x趨向無窮還是趨向正無窮或者是負(fù)無窮。補(bǔ)充：在含有絕對值的題目時(shí)，這點(diǎn)尤其重要，如果說x趨向無窮，那么在去|時(shí)，必須考慮|x|中x是趨向正無窮還是負(fù)無窮，當(dāng)然題目不一定非要以絕對值出現(xiàn)，有些題會(huì)以(x2)出現(xiàn)。4.關(guān)于和差化積積化和差公式的記憶。8字口訣：同c異s，s異c同。前者用來記住積化和差，后者用來記住和差化積。舉例：sinacosb=？因?yàn)樗鼈兊娜呛瘮?shù)名異名，那么使用s，sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)，說明：1，純粹個(gè)人記憶方法，接受不了也正常；2，這個(gè)口訣的使用基于你知道=右邊的基礎(chǔ)輪廓，比如所有的積化和差，右邊是1/2()(或者-)()；3，實(shí)在不會(huì)，死記硬背吧，或者請教別的大神。5. 關(guān)于極值點(diǎn)的3種判別法：法一：定義法；法二：若f(x)可導(dǎo)，f(xo)=0，且f(x)不為0，則f(x)在xo處取得極值，若二階導(dǎo)0，極小，反之，極大；若n為奇數(shù)，n階導(dǎo)不等于0，則(xo，f(xo)為拐點(diǎn)，xo不是極值點(diǎn)。證明：略6.參數(shù)方程二階導(dǎo)問題(無數(shù)不懂事的孩子搞不清楚)，我們說一般地，y表示對x的二階導(dǎo)數(shù)，不是對參數(shù)t的二階導(dǎo)數(shù)。y=d2y/dx2=d(dy/dx)/dx，對于求dy/dx，我們采用求關(guān)于t的y(t)，和關(guān)于t的x(t)，因?yàn)閐y/dx=(dy/dt)(dt/dx)=y(t)/x(t)。舉例：已知y=cost，x=t2，那么求dy/dx，d2y/dx2。標(biāo)準(zhǔn)解答：1：y(t)=-sint，x(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d2y/dx2=d(dy/dx)/dx=d(-sint)/2t/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t3) 綜上：二階導(dǎo)是一個(gè)整體記號，不是簡單的除法。7.等價(jià)無窮小只能使用于乘除(題外：其實(shí)它可以使用于加減的，這里不說，以防混淆)。比如：初學(xué)者可能會(huì)認(rèn)為這個(gè)極限為0，lim(x趨向0)(tanx-sinx)/x3=0計(jì)算思路：(x-x)/x3=0，事實(shí)上它等于1/2.原因：提取tanx后等價(jià)無窮小。等價(jià)無窮小必須自己去背的，沒有人可以幫你。8.對隱函數(shù)求導(dǎo)的問題很多同學(xué)搞不清楚。錯(cuò)誤一：把變量當(dāng)做常量。比如：y=xx，標(biāo)準(zhǔn)解答lny=xlnx，兩邊對x求導(dǎo)，y/y=1+lnx，所以y=(xx)(1+lnx)。錯(cuò)誤做法：y=xx，y=x(x(x-1)=xx。(但愿你們找到了錯(cuò)誤在哪)，錯(cuò)誤二：搞不清楚對x求導(dǎo)是什么意思。當(dāng)然：y=x2求導(dǎo)大家都會(huì)吧，y=2x，當(dāng)出現(xiàn)對y2=x2，很多同學(xué)就迷茫了，我們說y是x的函數(shù)，所以最后必須乘y，對y2=x2求導(dǎo)，得到：2yy=2x.再則：對隱函數(shù)求導(dǎo)我們把其中一個(gè)看成常量，比如y=yx+x2，那么求導(dǎo)：y=y+yx+2x。綜上：對隱函數(shù)求導(dǎo)，若是單獨(dú)y，求導(dǎo)為y，一切關(guān)于y的函數(shù)(比如y2，lny，ay等)，先對這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)再乘y.9.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的本質(zhì)僅僅是該點(diǎn)的問題，與它的鄰域無關(guān)，也就是說點(diǎn)可導(dǎo)，在中心點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的點(diǎn)未必可導(dǎo)。比如函數(shù)f(x)=0 當(dāng)x是有理數(shù)。f(x)=x2 當(dāng) x是無理數(shù)。只在x=0處點(diǎn)連續(xù)，并可導(dǎo)。按定義可驗(yàn)證在x=0處導(dǎo)數(shù)為0.10.無窮小有界=無窮小，但是：無窮大有界未必等于無窮大。正確結(jié)論：無窮大有界=未知，比如：當(dāng)x趨向正無窮，x，x2始終為無窮大，而1/x，1/x2為有界量。 注意到：x*(1/x2)=1/x就是一個(gè)無窮小,而x2*(1/x)=x卻是無窮大,而x*(1/x)=1卻是有限的。11.可導(dǎo)與連續(xù)是完全不一樣的。有些同學(xué)看到題目說某個(gè)分段函數(shù)在某點(diǎn)xo連續(xù)，特別開心，他說易得：左導(dǎo)=右導(dǎo)=f(xo)，你太天真了。其實(shí)：連續(xù)是說左極限=右極限=f(xo)，可導(dǎo)是：lim(x-xo)f(x)=f(xo)，且左導(dǎo)=右導(dǎo)。請搞清楚你要處理的問題。不要學(xué)了一個(gè)學(xué)期都是云里霧里，當(dāng)然一學(xué)期沒上過一節(jié)課的同學(xué)，除外。補(bǔ)充：在一元函數(shù)微分學(xué)中，可導(dǎo)必然連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)(這個(gè)顯然嘛，y=|x|在x=0處連續(xù)但是不可導(dǎo))。 12.很多初學(xué)者認(rèn)為：(a到x)f(t)dt中，變量是t，這是錯(cuò)的，你忽略了變限積分的來歷，自己去回顧一下變限積分的來歷是大有裨益的。記?。哼@里x是變量，它求導(dǎo)=f(x)。13.還有人問為什么高等數(shù)學(xué)中分母可以為0，他說比如0/0不是以0為分母，他的錯(cuò)誤在于沒有搞清楚我們所說的0不是真正的初等數(shù)學(xué)中的數(shù)字0，它表示極限0，由于極限等于0，我們習(xí)慣稱為0/0形式。也就是說：若沒有l(wèi)im這個(gè)符號，0/0沒有意義。事實(shí)上：再比如：貨真價(jià)實(shí)的數(shù)字1，1無窮 =1，若是(極限1)無窮，則結(jié)果待定。高等數(shù)學(xué)中由于極限的四則運(yùn)算包括冪指數(shù)運(yùn)算無法解決形如：0/0，1無窮，無窮/無窮，等等7類運(yùn)算。為此，產(chǎn)生了7種特殊的式子：不定式。由于結(jié)果不確定，所以稱之為不定式。綜上：我們現(xiàn)在學(xué)的是高等數(shù)學(xué)，幾乎所有問題都是放在極限這個(gè)概念下討論，但是你不能拋棄原有的初等數(shù)學(xué)知識(shí)理論，并且注意區(qū)分。 14.求數(shù)列極限不可直接使用洛必達(dá)，數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)，每個(gè)孤立點(diǎn)不連續(xù)，不可導(dǎo)，故不符合洛必達(dá)的條件1，為此：正確做法：先令n為x，再使用洛必達(dá)，最后換為n.15. 無窮大的倒數(shù)是無窮小，無窮小的倒數(shù)是無窮大但是請注意：這里的無窮小除去了0。16.x趨向0，limsinx/x=1不可以使用洛必達(dá)法則證明，原因：(sinx)=cosx這個(gè)公式的證明使用了limsinx/x=1，所以犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤 17.關(guān)于洛必達(dá)法則的運(yùn)用條件絕非0/0，無窮/無窮那么簡單。洛必達(dá)的3個(gè)條件： xa時(shí)， lim f(x)=0,lim F(x)=0;在點(diǎn)a的某 去心鄰域 內(nèi)f(x）與F(x）都可導(dǎo)，且F(x）的 導(dǎo)數(shù) 不等于0; xa時(shí)， lim( f(x)/F(x) ）存在或?yàn)?無窮大則 xa時(shí)，lim( f(x) / F(x)=lim( f(x)/F(x) ) ，請注意：1，第三點(diǎn)很容易被忽略，一般地：含有l(wèi)im(x趨向無窮)sinx，或者cosx，是不會(huì)采用洛必達(dá)的；2，在解含有抽象函數(shù)f(x)時(shí)尤其注意第二點(diǎn)，在求最后一步導(dǎo)時(shí)我們使用的是導(dǎo)數(shù)定義，也就是你不能不停地洛必達(dá)直到把它洛出來，因?yàn)槟悴淮_定它最后一步時(shí)是否滿足第二個(gè)條件，所以每次做含有抽象函數(shù)的題使用洛必達(dá)最后一步使用導(dǎo)數(shù)定義！3，單側(cè)極限對于第二點(diǎn)的要求只是去心鄰域內(nèi)單側(cè)可導(dǎo)。(如果你不注意以上這些，雖然在平?？荚嚂r(shí)有些老師不在意，但是如果你考研的話是會(huì)扣一半分以上的)18.一般地：我們有以下結(jié)論：lim(x趨向xo)f(x)=a，則必然有l(wèi)im(x趨向xo)|f(x)|=|a|。注意：若a不為0，上述結(jié)論的逆命題未必成立大多是不成立的，若a=0，上述結(jié)論逆命題仍然成立！19.并不是所有二元函數(shù)極限都可以使用極坐標(biāo)求解盡管極坐標(biāo)是一個(gè)好方法。在使用極坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)該同時(shí)注意到：和的任意性。比如：(x，y)趨向(0，0)，求lim(xy)/(x y)，容易證明該極限不存在(一條路徑：y=x，另一條：y=x2-x)，倘若使用極坐標(biāo)，則得：lim(cossin)/(cossin)，此時(shí)有分母出現(xiàn)0的可能(取=45度)，因此不確定該極限是否存在，本法失效，或者說：你無法證明(cossin)/(cossin)有界。綜上：倘若使用極坐標(biāo)，須同時(shí)考慮，的任意性，不可盲目使用。20. 注意僅當(dāng)y=f(x)時(shí)有：y=f(x)。若y=f()，不等于x時(shí)，y不等于f()。比如：y=f(x2)，y=f(x2)2x，而不是等于f(x2)。下面說明f()和f()的區(qū)別：f()表示已知f(x)的表達(dá)式，并且把當(dāng)做x代入，這個(gè)過程是代值過程；而f()的意思是求導(dǎo)，至于對誰求導(dǎo)，則根據(jù)確定。注意：僅當(dāng)=x時(shí)，f()=f()，即：f(x)=f(x)，其他情況沒有這個(gè)式子。綜上：f()=f()。21.一元函數(shù)中說f(x)連續(xù)可導(dǎo)不是指f(x)既連續(xù)又可導(dǎo)，“連續(xù)可導(dǎo)”意思是說f(x)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。ps：f(x)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)當(dāng)然有f(x)既可導(dǎo)又連續(xù)，反之不然。22.還有多少人不會(huì)三角函數(shù)中輔助角的兩個(gè)公式：asinx+bcosx=(a2+b2)sin(x+u)，其中u=arctan(b/a)，強(qiáng)制要求a0；asinx+bcosx=(a2+b2)cos(x+u)，其中u=arctan(-a/b)，強(qiáng)制要求b0。 ps：為什么要強(qiáng)制要求？以第一個(gè)為例，第二個(gè)同理原因在于：我們既然采用了用u=arctanb/a來確定u的值，好處在于u在-派/2，派/2上是一一對應(yīng)的(因?yàn)閥=tanx在該范圍內(nèi)單調(diào))，事實(shí)上，u的范圍就是-派/2，派/2，由此我們再來看給出的公式：asinx+bcosx=(a2+b2)sin(x+u)，將右邊展開得：(a2+b2)cosusinx+(a2+b2)sinucosx，根據(jù)待定系數(shù)原則可得：cosu=a/(a2+b2)，倘若我們不控制a0，比如取a0的話，那么cosu下限。 解答問題1：首先為了滿足單值，不可以取一個(gè)形如派，5派/2的區(qū)間去對應(yīng)原來的0，a盡管相對于x盡管相對x=asint來說不存在任何問題，但是你忽略了定積分換元的條件單值，在此區(qū)間派，5派/2內(nèi)x=asint不是單值的意思是：令x=k，解得t不唯一。所以不能取一個(gè)區(qū)間不滿足單值的。比如：你取一個(gè)0，派/2這樣的就是合適的，當(dāng)然你取派，派/2這個(gè)也是對