2016年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2016 年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（ ） A y=x+1 B y= D y=x|x| 3設(shè) 首項大于零的等比 數(shù)列，則 “ “數(shù)列 遞增數(shù)列 ”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 4如圖所示，已知正方形 邊長為 1，點 E 從 D 點出發(fā)，按字母順序 DABA， 動到 C 點，在此過程中 的最大值是（ ） A 0 B C 1 D 1 5某四面體 的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是（ ） A 8 B C 10 D 6函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0， | ）的部分圖象如圖所示，則 ， 的值分別是（ ） 第 2 頁（共 17 頁） A B C D 7已知拋物線 x 的弦 點的橫坐標(biāo)為 2，則 |最大值為（ ） A 1 B 3 C 6 D 12 8將數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5， 6 書寫在每一個骰子的六個表面上，做成 6 枚一樣的骰子分別取三枚同樣的這種骰子疊放成如圖 A 和 B 所示的兩個柱體，則柱體 A 和 B 的表面（不含地面）數(shù)字之和分別是 （ ） A 47， 48 B 47， 49 C 49， 50 D 50， 49 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9雙曲線 =1 的焦距是 ，漸近線方程是 10若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值 11如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”執(zhí)行該 程序框圖，若輸入的 a， b 分別為 14， 20，則輸出的 a= 12設(shè) ， b=1 2 ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是 （從小到大排列） 第 3 頁（共 17 頁） 13已知函數(shù) 若直線 y=m 與函數(shù) f（ x）的圖象只有一個交點，則實數(shù) m 的取值范圍是 14某次考試的第二大題由 8 道判斷題構(gòu)成，要求考生用畫 “”和畫 “ ”表示對各題的正誤判斷，每題判斷正確得 1 分，判斷錯誤不得分請根據(jù)如下甲，乙，丙 3 名考生的判斷及得分結(jié)果，計算出考生丁的得分 第 1 題 第 2 題 第 3 題 第 4 題 第 5 題 第 6 題 第 7 題 第 8 題 得分 甲 5 乙 5 丙 6 丁 ？ 丁得了 分 三、解答題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或 證明過程 15已知在等比數(shù)列 ， ，且 1 的等差中項 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）若數(shù)列 足 n 1+n N*），求 前 n 項和 16在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大??； （ 2）若 b=3， 別求 a 和 c 的值 17交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通 指數(shù)T其范圍為 0， 10，分別有五個級別： T 0， 2）暢通； T 2， 4）基本暢通； T 4，6）輕度擁堵； T 6， 8）中度擁堵； T 8， 10嚴重擁堵在晚高峰時段（ T 2），從貴陽市交通指揮中心選取了市區(qū) 20 個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示 （ 1）求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段各有多少個？ （ 2）用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段中共抽出 6 個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數(shù)； （ 3）從（ 2）中抽取的 6 個路段中任取 2 個，求至少一個路段為輕 度擁堵的概率 18如圖所示，在直四棱柱 ， C， M 是棱 一點 （ 1）求證： 面 （ 2）求證： （ 3）試確定點 M 的位置，使得平面 平面 第 4 頁（共 17 頁） 19已知函數(shù) f（ x） =2x （ ）求函數(shù) f（ x）的極值； （ ）證明：當(dāng) x 0 時， 20在平面直角坐標(biāo)系 ，動點 P 到兩點 ， 的距離之和等于 4，設(shè)點 P 的軌跡為曲線 C，直線 l 過點 E（ 1， 0）且與曲線 C 交于 A， B 兩點 （ 1）求曲線 C 的軌跡方程； （ 2）是否存在 積的最大值，若存在，求出 面積；若不存在，說明理由 第 5 頁（共 17 頁） 2016 年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1設(shè) i 是虛數(shù)單位 ，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 先化簡復(fù)數(shù)，再得出點的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論 【解答】 解： =i（ 1+i） = 1+i，對應(yīng)復(fù)平面上的點為（ 1， 1），在第二象限， 故選： B 2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（ ） A y=x+1 B y= D y=x|x| 【考點】 函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 【分析】 逐個分析函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷 【解答】 解： y=x+1 不是奇函數(shù)， y= R 上是減函數(shù)， y= 在定義域上不是增函數(shù)， y=x|x|= ，故 y=x|x|是增函數(shù)且為奇函數(shù) 故選： D 3設(shè) 首項大于零的等比數(shù)列，則 “ “數(shù)列 遞增數(shù)列 ”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 等比數(shù)列 【分析】 首項大于零是前提條件，則由 “q 1， 0”來判斷是等比數(shù)列 遞增數(shù)列 【解答】 解：若已知 設(shè)數(shù)列 公比為 q， 因為 以有 得 q 1，又 0， 所以數(shù)列 遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列 遞增數(shù)列， 則公比 q 1 且 0，所以 所以 數(shù)列 遞增數(shù)列的充分必要條件 故選 C 4如圖所示，已知正方形 邊長為 1，點 E 從 D 點出發(fā)，按字母順序 DABA， 動到 C 點，在此過程中 的最大值是（ ） 第 6 頁（共 17 頁） A 0 B C 1 D 1 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 建系，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，分類討論，結(jié)合點 E 的運動，即可求出最大值 【解答】 解：以 在直線為 x 軸、 y 軸 ，建立坐標(biāo)系如圖 可得 A（ 0， 1）， B（ 0， 0）， C（ 1， 0）， D（ 1， 1）， 當(dāng) E 在 ，設(shè) E（ x， 1），其中 0 x 1 =（ x 1， 0）， =（ 0， 1）， =0， 當(dāng) E 在 ，設(shè) E（ 0， y），其中 0 y 1 =（ 1， y 1）， =（ 0， 1）， =y 1，（ 0 y 1），此時最大值為 0， 當(dāng) E 在 ，設(shè) E（ x， 0），其中 0 x 1 =（ x 1， 1）， =（ 0， 1）， = 1， 當(dāng) E 在 ，設(shè) E（ 1， y），其中 0 y 1 =（ 0， y 1）， =（ 0， 1）， =y 1，（ 0 y 1），此時最大值為 0， 綜上所述 的最大值是 0， 故選： A 5某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是（ ） 第 7 頁（共 17 頁） A 8 B C 10 D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 三視圖復(fù)原的幾何體是一個三棱錐，根據(jù)三視圖的圖形特征，判斷三棱錐的形狀，三視圖的數(shù)據(jù)，求出四面體四個面的面積中，最大的值 【解答】 解：三視圖復(fù)原的幾何體是一個三棱錐，如圖，四個面的面積分別為： 8， 6， ，10， 顯然面積的最大值， 10 故選 C 6函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0， | ）的部分圖象如圖所示，則 ， 的值分別是（ ） A B C D 【考點】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【 分析】 由圖象和函數(shù)的周期公式可得 ，代入點的坐標(biāo)結(jié)合角的范圍可得 值 【解答】 解：由圖象可得函數(shù)的周期 T 滿足 T= （ ） = ， T=， = =2， f（ x） =22x+）， 第 8 頁（共 17 頁） 又函數(shù)圖象經(jīng)過點（ ， 2）， 2+） =2， +=2， =2， k Z | ， 當(dāng) k=0 時， = 故選： A 7已知拋物線 x 的弦 點的橫坐標(biāo)為 2，則 |最大值為（ ） A 1 B 3 C 6 D 12 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 由題意，設(shè)直線 方程為 y=kx+b，代入拋物線 x，再結(jié)合弦長公式| |示出 |把弦長用引入的參數(shù)表示出來，再由中點的橫坐標(biāo)為2，研究出參數(shù) k， b 的關(guān)系，使得弦長公式中只有一個參數(shù)，再根據(jù)其形式判斷即可得出最值 【解答】 解：設(shè) A（ B（ 則 x1+， 令直線 方程為 y=kx+b，代入拋物線 x 得 （ 2） x+， 故有 x1+， ， 故有 4= ，解得 b= ，即 ， 又 | | ， =4 =4 4 =6 故 |最大值為 6， 故選 C 8將數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5， 6 書寫在每一個骰子的六個表面上，做成 6 枚一樣的骰子分別取三枚同樣的這種骰 子疊放成如圖 A 和 B 所示的兩個柱體，則柱體 A 和 B 的表面（不含地面）數(shù)字之和分別是（ ） 第 9 頁（共 17 頁） A 47， 48 B 47， 49 C 49， 50 D 50， 49 【考點】 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 【分析】 根據(jù)骰子中 1 與 6， 2 與 5， 3 與 4 分別相對，找出圖 A 與圖 B 的表面數(shù)字，分別求出之和即可 【解答】 解：圖 A 中數(shù)字之和為 1+6+3+4+2+5+6+1+6+1+4+3+5=47； 圖 B 中數(shù)字之和為 3+4+5+2+1+6+5+2+3+4+2+5+6=48， 故選： A 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9雙曲線 =1 的焦距是 2 ，漸近線方程是 y= x 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 確定雙曲線中的幾何量，即可求出焦距、漸近線方程 【解答】 解：雙曲線 =1 中， a= ， b=1， c= ， 焦距是 2c=2 ，漸近線方程是 y= x 故答案為： 2 ； y= x 10若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值 10 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由 約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 化目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 為 y= 2x+z， 由圖可知，當(dāng)直線過 B（ 4， 2）時直線在 y 軸上的截距最大， z 最大， 為 z=2 4+2=10 故答案為： 10 第 10 頁（共 17 頁） 11如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”執(zhí)行該程序框 圖，若輸入的 a， b 分別為 14， 20，則輸出的 a= 2 【考點】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量 a 的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：當(dāng) a=14， b=20 時，滿足 a b，但不滿足 a b，執(zhí)行 b=b a 后， a=14， b=6， 當(dāng) a=14， b=6 時，滿足 a b，且滿足 a b，執(zhí)行 a=a b 后， a=8， b=6， 當(dāng) a=8， b=6 時，滿足 a b，且滿足 a b，執(zhí) 行 a=a b 后， a=2， b=6， 當(dāng) a=2， b=6 時，滿足 a b，但不滿足 a b，執(zhí)行 b=b a 后， a=2， b=4， 當(dāng) a=2， b=4 時，滿足 a b，但不滿足 a b，執(zhí)行 b=b a 后， a=2， b=2， 當(dāng) a=2， b=2 時，不滿足 a b， 故輸出的 a 值為 2， 故答案為： 2 12設(shè) ， b=1 2 ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是 c a b （從小到大排列） 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 根據(jù)兩角和的正弦公式求出 a=根據(jù)倍角公式求出 b=64，根據(jù)三角函數(shù)值求出 c=60，從而判斷出 a， b， c 的大小即可 【解答】 解： = b=1 2 = 則 c a b， 故答案為： c a b 13已知函數(shù) 若直線 y=m 與函數(shù) f（ x）的圖象只有 一個交點，則實數(shù) m 的取值范圍是 m 2 或 m=0 【考點】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 作出函數(shù) f（ x）的圖象，判斷函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷即可 第 11 頁（共 17 頁） 【解答】 解：作出函數(shù) f（ x）的圖象如圖， 則當(dāng) x 1 時， f（ x） （ 0， 2）， 當(dāng) x 1 時， f（ x） 0， 則若直線 y=m 與函數(shù) f（ x）的圖象只有一個交點， 則 m 2 或 m=0， 故答案為： m 2 或 m=0 14某次考試的第二大題由 8 道判斷題構(gòu)成，要求考生用畫 “”和畫 “ ”表示對各題 的正誤判斷，每題判斷正確得 1 分，判斷錯誤不得分請根據(jù)如下甲，乙，丙 3 名考生的判斷及得分結(jié)果，計算出考生丁的得分 第 1 題 第 2 題 第 3 題 第 4 題 第 5 題 第 6 題 第 7 題 第 8 題 得分 甲 5 乙 5 丙 6 丁 ？ 丁得了 6 分 【考點】 進行簡單的合情推理 【分析】 由已知得第 3、 4 題應(yīng)為一對一錯，所以丙和丁得分相同，即可得出結(jié)論 【解答】 解：因為由 已知得第 3、 4 題應(yīng)為一對一錯，所以丙和丁得分相同， 所以，丁的得分也是 6 分 故答案為： 6 三、解答題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 15已知在等比數(shù)列 ， ，且 1 的等差中項 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）若數(shù)列 足 n 1+n N*），求 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 （ I）設(shè)等比數(shù)列 公比為 q，由 1 的等差中項， ，知 2a2= 1） =此能求出數(shù)列 通項公式 （ ）由 n 1+ （ 2n 1+2n 1） =1+3+5+（ 2n 1） +（ 1+2+22+2n 1），由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式能求出 【解答】 解：（ I）設(shè)等比數(shù)列 公比為 q， 第 12 頁（共 17 頁） 1 的等差中項， ， 2a2= 1） = =2， =2n 1，（ n N*） （ ） n 1+ （ 2n 1+2n 1） =1+3+5+（ 2n 1） +（ 1+2+22+2n 1） = + =n 1 16在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大??； （ 2）若 b=3， 別求 a 和 c 的值 【考點】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）由 a正弦定理可得： 簡整理即可得出 （ 2）由 得 c=2a，由余弦定理可得： b2=a2+2入計算即可得出 【解答】 解：（ 1） a正弦定理可得： 0， B （ 0， ）， 可知： 0，否則矛盾 ， B= （ 2） c=2a， 由余弦定理可得： b2=a2+2 9=a2+ 把 c=2a 代入上式化為： ，解得 a= ， 17交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)T其范圍為 0， 10，分別有五個級別： T 0， 2）暢通； T 2， 4）基本暢通； T 4，6）輕度擁堵； T 6， 8）中度擁堵； T 8， 10嚴重擁堵在晚高峰時段（ T 2），從貴陽市交通指揮中心選取了市區(qū) 20 個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示 （ 1）求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段各有多少個？ （ 2）用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段中共抽出 6 個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數(shù)； （ 3）從（ 2）中抽取的 6 個路段中任取 2 個，求至少一個路段為輕度擁堵的概率 第 13 頁（共 17 頁） 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）由頻率分布直方圖可知底 高 =頻率，頻數(shù) 20=個數(shù)，即可得出結(jié)論； （ 2）根據(jù)分層抽樣，交通指數(shù)在 4， 10）的路段共 18 個，抽取 6 個，求出抽取的比值，繼而求得路段個數(shù) （ 3）考查古典概型，一一列舉所有滿足條件的基本事件，利用概率公式求得 【解答】 解：（ 1）由直方圖得：這 20 個路段中，輕度擁堵的路段有（ 1 20=6個，中度擁堵的路段有（ 1 20=9 個，嚴重擁堵的路段有（ 1 20=3個 （ 2）由（ 1）知：擁堵路段共有 6+9+3=18 個，按分層抽樣，從 18 個路段選出 6 個，依次抽取的三個級別路段的 個數(shù)分別為 ，即從交通指數(shù)在4， 6）， 6， 8）， 8， 10的路段中分別抽取的個數(shù)為 2， 3， 1 （ 3）記選出的 2 個輕度擁堵路段為 出的 3 個中度擁堵路段為 出的 1 個嚴重擁堵路段為 從這 6 個路段中選出 2 個路段的所有可能情況如下：（ 2），（ （ （ （ （ （ （ （ 1），（ （ （ （ （ （ 共 15 種情況其中至少有一個輕度擁堵路段的情況有：（ （ （ （ （ 1），（ （ （ （ 共 9 種 所以所選 2 個路段中至少一個輕度擁堵的概率是 18如圖所示，在直四棱柱 ， C， M 是棱 一點 （ 1）求證： 面 （ 2）求證： （ 3）試確定點 M 的位置，使得平面 平面 【考點】 平面與平面垂直的判定；直線與平面垂直的判定 第 14 頁（共 17 頁） 【分析】 （ 1）在平面 找到和 行的直線 可利用線線平行來推線面平行 （ 2）先利用條件 得 面 證明 可 （ 3）因為棱 最特殊的點是中點，所以先看中點取 中點 N， 中點 接 O， 面 面 又可證得 以可得 平面 面 平面 【解答】 解：（ 1）證明：由直四棱柱，得 以 平行四邊形， 所以 而 面 面 所以 平面 （ 2）證明：因為 面 以 又因為 ， 所以 面 而 以 （ 3）當(dāng)點 M 為棱 中點時，平面 平面 中點 N， 中點 接 O，連接 因為 N 是 點， C，所以 因為 面 面 交線，而面 面 所以 面 又可證得， O 是 中點，所以 N，即 平行四邊形，所以以 平面 為 以平面 平面 19已知函數(shù) f（ x） =2x （ ）求函數(shù) f（ x）的極值； （ ）證明：當(dāng) x 0 時， 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可； （ ）令 g（ x） =出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可 【解答】 解：（ ）函