石家莊市2015-2016年高二上期末數(shù)學(xué)試卷(理)含答案解析

第 1 頁（共 18 頁） 2015年河北省石家莊市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1拋物線 x 的焦點坐標(biāo)（ ） A（ 0， 2） B（ 2， 0） C（ 4， 0） D（ 0， 4） 2某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級有 30 名，高二年級有 40 名，現(xiàn)從這 70 人中用分層抽樣的方法抽取一個容量為 14 的樣本，則在高二年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 3已知命題 p： x 0，總有 2x 1，則 p 為（ ） A x 0，總有 2x 1 B x 0，總有 2x 1 C D 4 “p 或 q 為真命題 ”是 “p 且 q 為真命題 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 5閱讀如圖程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為 15，則 處應(yīng)填的數(shù)字為（ ）A 3 B 4 C 5 D 6 6在棱長為 a 正方體 ， 交于點 O，則有（ ） A B C D 7已知某運動員每次投籃命中的概率低于 40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生 0 到 9 之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定 1， 2， 3，4 表示命中， 5， 6， 7， 8， 9， 0 表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下 20 組隨機數(shù)： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ） A 2 頁（共 18 頁） 8已知雙曲線 的離心率為 ，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= 2x B C D y= 4x 9已知函數(shù) f（ x） =x2+x 2， x 1， 6，若在其定義域內(nèi)任取一數(shù) 得 f（ 0概率是（ ） A B C D 10已知正方體 棱長為 1， M 為棱 中點，則點 M 到平面 ） A B C D 11如圖，在底面半徑和高均為 4 的圓錐中， 底面圓 O 的兩條互相垂直的直徑，E 是母線 中點若過直 徑 點 E 的平面與圓錐側(cè)面的交線是以 E 為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點 P 的距離為（ ） A 4 B C D 12我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對 “相關(guān)曲線 ”已知 2 是一對相關(guān)曲線的焦點， P 是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當(dāng) 0時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率為（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13將參加數(shù)學(xué)競賽的 1000 名學(xué)生編號如下： 0001， 0002， 0003， ， 1000，若從中抽取一個容量為 50 的樣本，按照系統(tǒng)抽樣的方法分成 50 個部分，如果第一部分編號為 0001，0002， 0003， ， 0020，第一部分隨機抽取一個號碼為 0015，則抽取的第 3 個號碼為 14在兩個袋內(nèi)，分別裝著寫有 0， 1， 2， 3， 4， 5 六個數(shù)字的 6 張卡片，今從每個袋中任取一張卡片，則兩數(shù)之和等于 5 的概率為 15已知空間四點 A（ 0， 3， 5）， B（ 2， 3， 1）， C（ 4， 1， 5）， D（ x， 5， 9）共面，則 x= 16已知兩定點 M（ 2， 0）， N（ 2， 0），若直線 y=0 上存在點 P，使得 | |2，則實數(shù) k 的取 值范圍是 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 . 17已知 A（ 1， 0）， B（ 3， 0），圓 C 以 直徑 （ 1）求圓 C 的方程； 第 3 頁（共 18 頁） （ 2）求直線 l： 3x+4y 8=0 被圓 C 截得的弦長 18從某校高二年紀(jì) 800 名學(xué)生中隨機抽取 100 名測量身高，得到頻率分布直方圖如圖 （ 1）求這 100 名學(xué)生中身高在 170 厘米以下的人數(shù)； （ 2）根據(jù)頻率分布直方圖估計這 800 名學(xué)生的平均身高 19 指空氣中直徑小于或等于 米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）為了探究車流量與 濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與 時間 周一 周二 周三 周四 周五 車流量 x（萬輛） 50 51 54 57 58 濃度 y（微克 /立方米） 69 70 74 78 79 （ ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)求出 y 與 x 的線性回歸直線方程 ， （ ）若周六同一時間段車流量是 25 萬輛，試根據(jù)（ ）中求出的線性回歸方程預(yù) 濃度是多少？（保留整數(shù)） 參考公式其中 = = ：方程 20如圖，在棱長為 2 的正方體 ， E， F 分別為 中點 （ ）求證： 平面 （ ）求平面 平面 成的二面角（銳角）的余弦值 21該試題已被管理員刪除 22已知橢圓 過點 ，且它的離心率為 第 4 頁（共 18 頁） （ ）求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）與圓（ x 1） 2+ 相切的直線 l： y=kx+t（ k R， t R）交橢圓 E 于 M、 N 兩點，若橢圓 E 上一點 C 滿足 （ O 為坐標(biāo)原點），求實數(shù) 的取值范圍 四、附加題：（本題各?？筛鶕?jù)本校的教學(xué)進(jìn)度自行選擇，分值自定） 23已知函數(shù) f（ x） =x（ b R）在 x=2 處取得極值 （ ）求 b 的值； （ ）求 f（ x）在區(qū)間 0， 4上的最大值和最小值 第 5 頁（共 18 頁） 2015年河北省石家莊市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1拋物線 x 的焦點坐標(biāo)（ ） A（ 0， 2） B（ 2， 0） C（ 4， 0） D（ 0， 4） 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 確定拋物線的焦點位置，進(jìn)而可確定拋物線的焦點坐標(biāo) 【解答】 解： 拋物線 x 的焦點在 x 軸上，且 p=4， =2， 拋物線 x 的焦點坐標(biāo)為（ 2， 0） 故選： B 2某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級有 30 名，高二年級有 40 名，現(xiàn)從這 70 人中用分層抽樣的方法抽取一個容量為 14 的樣本，則在高二年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【考點】 分層抽樣方法 【分析】 根 據(jù)總?cè)藬?shù)和抽取的人數(shù)，做出每個個體被抽到的概率，利用這個概率乘以高二的學(xué)生數(shù)，得到高二要抽取的人數(shù) 【解答】 解： 高一年級有 30 名，高二年級有 40 名，這 70 人中用分層抽樣的方法抽取一個容量為 14 的樣本 故每個個體被抽到的概率是 = 高二年級有 40 名， 要抽取 40 =8， 故選： B 3已知命題 p： x 0，總有 2x 1，則 p 為（ ） A x 0，總有 2x 1 B x 0，總有 2x 1 C D 【考點】 命題的否定 【分析】 根據(jù)全稱命題否定的方法，結(jié)合已知中的原命題，可得答案 【解答】 解：命題 p： x 0，總有 2x 1， 則 p： ， 故選： D 第 6 頁（共 18 頁） 4 “p 或 q 為真命題 ”是 “p 且 q 為真命題 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 “p 或 q 為真命題 ”只要 p 和 q 中至少有一個真命題即可，而 “p 且 q 為真命題 ”是 p和 q 均為真命題 【解答】 解： “p 或 q 為真命題 ”只要 p 和 q 中至少有一個真命題即可，而 “p 且 q 為真命題 ”是 p 和 q 均為真命題 故 “p 或 q 為真命題 ”“p 且 q 為真命題 ”，反之不一定成立 故選： B 5閱讀如圖程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為 15，則 處應(yīng)填的數(shù)字為（ ）A 3 B 4 C 5 D 6 【考點】 程序框 圖 【分析】 分析程序中各變量、語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求 S 的值，模擬程序運行過程中各變量的值的變化情況，即可得出答案 【解答】 解：模擬程序運行的過程，各變量的值如下表示； 開始， S=1， i=1； 第一次循環(huán)， S=3， i=2； 第二次循環(huán)， S=7， i=3； 第三次循環(huán)， S=15， i=4； 此時不滿足條件 i 4，退出循環(huán)， 故 處應(yīng)填的數(shù)字為 4 故選： B 6在棱長為 a 正方體 ， 交于點 O，則有（ ） A B C D 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 第 7 頁（共 18 頁） 【分析】 以 D 為坐標(biāo)原點，以 x 軸，以 y 軸，以 軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示，分別根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則計算即可 【解答】 解：在正方體 ，棱長為 a，令 a=1， 以 D 為坐標(biāo)原點，以 x 軸，以 y 軸 ，以 軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示， A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 1， 0）， 1， 0， 1）， 0， 1， 1）， 0， 0，1）， O（ ， ， ）， =（ 0， 1， 0）， =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 1， 1）， =（ ， ， ），=（ 1， 0， 0）， =（ ， ， ）， =1， =1， = ， = ， 只有 C 正確， 故選： C 7已知某運動員每次投籃命中的概率低于 40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生 0 到 9 之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定 1， 2， 3，4 表示命中， 5， 6， 7， 8， 9， 0 表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下 20 組隨機數(shù)： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ） A 考點】 模擬方法估計概率 【分析】 由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下 20 組隨機數(shù)，在 20 組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有可以通過列舉得到共 5 組隨機數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果 【解答】 解：由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下 20 組隨機數(shù)， 在 20 組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有： 191、 271、 932、 812、 393 共 5 組隨機數(shù)， 第 8 頁（共 18 頁） 所求概率為 = = 故選 B 8已知雙曲線 的離心率為 ，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= 2x B C D y= 4x 【考 點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 運用雙曲線的離心率公式和 a， b， c 的關(guān)系，結(jié)合漸近線方程，即可得到所求 【解答】 解：由題意可得 e= = ， 即 c= a， 則 b= =2a， 由漸近線方程 y= x， 可得 y= x 故選： B 9已知函數(shù) f（ x） =x2+x 2， x 1， 6，若在其定義域內(nèi)任取一數(shù) 得 f（ 0概率是（ ） A B C D 【考點】 幾何概型 【分析】 由題意，本題符合幾何概型的特點，只要求出區(qū)間長度，由公式解答 【解答】 解： 已知區(qū)間 1， 6長度為 7， 滿足 f（ 0， f（ x） =2 0，解得 1 1，對應(yīng)區(qū)間長度為 2， 由幾何概型公式可得，使 f（ 0 成立的概率是 P= 故選： A 10已知正方體 棱長為 1， M 為棱 中點，則點 M 到平面 ） A B C D 【考點】 點、線、面間的距離計算 【分析】 以 D 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點 M 到平面 距離 【解答】 解：以 D 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 第 9 頁（共 18 頁） 則 D（ 0， 0， 0）， 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 0）， M（ 0， 1， ）， =（ 1， 0， 1）， =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 1， ）， 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 1）， 點 M 到平面 距 離： d= = = 故選： D 11如圖，在底面半徑和高均為 4 的圓錐中， 底面圓 O 的兩條互相垂直的直徑，E 是母線 中點若過直徑 點 E 的平面與圓錐側(cè)面的交線是以 E 為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點 P 的距離為（ ） A 4 B C D 【考點】 拋物線的應(yīng)用；平面與圓錐面的截線 【分析】 根據(jù)圓錐的性質(zhì)，建立坐標(biāo)系，確定拋物線的方程，計算出 長度，結(jié)合直角三角形的關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】 解：如圖所示，過點 E 作 足為 H E 是母線 中點，圓錐的底面半徑和高均為 4， H=2 第 10 頁（共 18 頁） 在平面 建立直角坐標(biāo)系如圖 設(shè)拋物線的方程為 p 0）， F 為拋物線的焦點 C（ 2 ， 4）， 16=2p（ 2 ），解得 p=2 F（ ， 0） 即 ， ， ， ， 該拋物線的焦點到圓錐頂點 P 的距離為 = = ， 故選： D 12我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對 “相關(guān)曲線 ”已知 2 是一對相關(guān)曲線的焦點， P 是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當(dāng) 0時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率為（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì)； 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) m， n， c，由余弦定理 4c2=m2+ 橢圓的長半軸，雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得 m+n=2m n=2此能求出結(jié)果 【解答】 解：設(shè) m， n， c， 由余弦定理得（ 2c） 2=m2+2即 4c2=m2+ 設(shè) 橢圓的實半軸， 雙曲線的實半軸， 第 11 頁（共 18 頁） 由橢圓及雙曲線定義，得 m+n=2m n=2 m=a1+n= 將它們及離心 率互為倒數(shù)關(guān)系代入前式得 34c2+， e1= =1 即 3 故選： A 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13將參加數(shù)學(xué)競賽的 1000 名學(xué)生編號如下： 0001， 0002， 0003， ， 1000，若從中抽取一個容量為 50 的樣本，按照系統(tǒng)抽樣的方法分成 50 個部分，如果 第一部分編號為 0001，0002， 0003， ， 0020，第一部分隨機抽取一個號碼為 0015，則抽取的第 3 個號碼為 0055 【考點】 系統(tǒng)抽樣方法 【分析】 根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征，從 1000 名學(xué)生從中抽取一個容量為 50 的樣本，抽樣的分段間隔為 =20，可得抽取的第 3 個號碼 【解答】 解： 從 1000 名學(xué)生從中抽取一個容量為 50 的樣本， 系統(tǒng)抽樣的分段間隔為 =20， 第一部分隨機抽取一個號碼為 0015， 抽取的第二個編號為 0035， 抽取的第三個編號為 0055 故答案為： 0055 14在兩個袋內(nèi)，分別裝著寫有 0， 1， 2， 3， 4， 5 六個數(shù)字的 6 張卡片，今從每個袋中任取一張卡片，則兩數(shù)之和等于 5 的概率為 【考點】 等可能事件的概率 【分析】 本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是兩數(shù)之和共有的情況，可以通過列舉得到結(jié)果，這些情況發(fā)生的可能性相等，滿足條件的事件可以從列舉出的表格中看出有 6種，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果 【解 答】 解：由題意知本題是一個古典概型， 試驗發(fā)生包含的事件是兩數(shù)之和共有如下圖所示 36 種情況 第 12 頁（共 18 頁） 其中和為 5 的從表中可以看出有 6 種情況， 所求事件的概率為 故答案為： 15已知空間四點 A（ 0， 3， 5）， B（ 2， 3， 1）， C（ 4， 1， 5）， D（ x， 5， 9）共面，則 x= 6 【考點】 共線向量與共面向量 【分析】 由于四點 A， B， C， D 共面，可得存在實數(shù) ， 使得，解出即可 【解答】 解： A（ 0， 3， 5）， B（ 2， 3， 1）， C（ 4， 1， 5）， D（ x， 5， 9）， =（ 2， 0， 4）， =（ 4， 2， 0）， =（ x， 2， 4）， 四點 A， B， C， D 共面， 存在實數(shù) ， 使得， = + ， （ x， 2， 4） =（ 2， 0， 4） +（ 4， 2， 0）， ，解得 x= 6， 故答案為： 6 16已知兩定點 M（ 2， 0）， N（ 2， 0），若直線 y=0 上存在點 P，使得 | |2，則實數(shù) k 的取值范圍是 （ ， ） 【考點】 雙曲線的簡單性 質(zhì) 【分析】 由 | |2 |由雙曲線的定義可得 P 的軌跡為以 M， N 為焦點，實軸長為 2 的雙曲線的右支，求得雙曲線的方程，代入 y=方程可令 3 0，解不等式即可得到所求范圍 【解答】 解：由題意可得 |4， | |2 | 由雙曲線的定義可得 P 的軌跡為以 M， N 為焦點，實軸長為 2 的雙曲線的右支， 由 a=1， c=2，可得 b2=， 可得方程為 =1（ x 0）， 由 y=入雙曲線的方程 ，可得： （ 3 ， 由題意可得 3 0，解得 k 故答案為：（ ， ） 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 . 17已知 A（ 1， 0）， B（ 3， 0），圓 C 以 直徑 （ 1）求圓 C 的方程； （ 2）求直線 l： 3x+4y 8=0 被圓 C 截得的弦長 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 第 13 頁（共 18 頁） 【分析】 （ 1）求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可求圓 C 的方程； （ 2）求出圓心到直線的距離，即可求直線 l： 3x+4y 8=0 被圓 C 截得的弦長 【解答】 解：（ 1） 中點坐標(biāo)為（ 1， 0），圓的半徑為 2， 圓 C 的方程為（ x 1） 2+； （ 2）圓心到直線的距離 d= =1， 直線 l： 3x+4y 8=0 被圓 C 截得的弦長 2 =2 18從某校高二年紀(jì) 800 名學(xué)生中隨機抽取 100 名測量身高，得到頻率分布直方圖如圖 （ 1）求這 100 名學(xué)生中身高在 170 厘米以下的人數(shù)； （ 2）根據(jù)頻率分布直方圖估計這 800 名學(xué)生的平均身高 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出身高在 170 厘米以下的頻率，再求對應(yīng)的頻數(shù)即可； （ 2）根據(jù)頻率和為 1，求出身高在 185 190 內(nèi)的頻率為，再求平均數(shù) 【解答】 解：（ 1）根據(jù)頻率分布 直方圖，得； 身高在 170 厘米以下的頻率為 （ 5= 所以這 100 名學(xué)生中身高在 170 厘米以下的人數(shù)為 100 4； （ 2）根據(jù)頻率分布直方圖，得； 身高在 185 190 內(nèi)的頻率為 1（ 5= 所以估計這 800 名學(xué)生的平均身高為 =5+5+170 10 +5+5+5 =米 19 指空氣中直徑小于或等于 米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）為了探究車流量與 濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與 時間 周一 周二 周三 周四 周五 車流量 x（萬輛） 50 51 54 57 58 濃度 y（微克 /立方米） 69 70 74 78 79 第 14 頁（共 18 頁） （ ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)求出 y 與 x 的線性回 歸直線方程 ， （ ）若周六同一時間段車流量是 25 萬輛，試根據(jù)（ ）濃度是多少？（保留整數(shù)） 參考公式其中 = = ：方程 【考點】 線性回歸方程 【分析】 （ ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算 、 與 （ ）（ ）和 的值，求出 與 ，寫出線性回歸方程； （ ）計算 x=25 時 的值，即可預(yù)測出 濃度 【解答】 解：（ ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得； = （ 50+51+54+57+58） =54， = （ 69+70+74+78+79） =74， （ ）（ ） =4 5+3 4+3 4+4 5=64， =（ 4） 2+（ 3） 2+32+42=50， = = = = =74 54= 故 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程是： = （ ）當(dāng) x=25 時， =25+37， 所以可以預(yù)測此時 濃度約為 37 20如圖，在棱長為 2 的正方體 ， E， F 分別為 中點 （ ）求證： 平面 （ ）求平面 平面 成的二面角（銳角）的余弦值 第 15 頁（共 18 頁） 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ ）以點 D 為坐標(biāo)原點，分別以 在直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向 量法能證明 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出平面 平面 成的銳二面角的余弦值 【解答】 證明：（ ） 在棱長為 2 的正方體 ， E， F 分別為 如圖：以點 D 為坐標(biāo)原點，分別以 在直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸， 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則 A（ 2， 0， 0）， D（ 0， 0， 0）， 0， 0， 2）， F（ 0， 1， 0）， E（ 2， 2， 1）， ， ， =（ 2， 2， 1）， =0， =0， 又 E=D， 平面 解：（ ）由（ 1）可知平面 法向量 設(shè)平面 法向量為 ， =（ 0， 0， 2）， =（ 0， 2， 2）， 則 =0， ，即 ， 令 x=1，則 y=1， z= 1，得 平面 平面 成的銳二面角的余弦值為 第 16 頁（共 18 頁） 21該試題已被管理員刪除 22已知橢圓 過點 ，且它的離心率為 （ ）求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）與圓（ x 1） 2+ 相切的直線 l： y=kx+t（ k R， t