直線與平面垂直的判定(典型)PPT課件

2 3 1直線與平面垂直的判定 生活中有很多直線與平面垂直的實例 你能舉出幾個嗎 實例引入 旗桿與底面垂直 思考 陽光下直立于地面的旗桿及它在地面的影子有何位置關(guān)系 1 旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直 2 直線AB垂直于平面內(nèi)的任意一條直線 如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直 我們說直線l與平面互相垂直 記作 平面的垂線 垂足 定義 直線與平面垂直 線面垂直的定義常這樣使用 簡記 線面垂直 則線線垂直 如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的一條直線 那么這條直線是否與這個平面垂直 不一定 兩條呢 無數(shù)條呢 問題 直線與平面垂直 除定義外 如何判斷一條直線與平面垂直呢 準(zhǔn)備一塊三角形紙片 過 ABC的頂點A翻折紙片 得到折痕AD 將翻折后的紙片豎起放置在桌上 BD DC與桌面接觸 思考 1 折痕AD與桌面垂直嗎 2 如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直 BD CD都在桌面內(nèi) AD CD AD BD BD CD D 直線AD所在的直線與桌面垂直 判定定理 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 則該直線與此平面垂直 直線與平面垂直判定定理 簡記為 線線垂直線面垂直 例1求證 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面 那么另一條也垂直于這個平面 已知 a b a 求證 b 證明 設(shè)m是 內(nèi)的任意一條直線 可作定理使用 如圖 直四棱柱 側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱 中 底面四邊形滿足什么條件時 底面四邊形對角線相互垂直 探究 隨堂練習(xí) 線面垂直判定定理的應(yīng)用 例1 已知 如圖1 空間四邊形ABCD中 AB AC DB DC 取BC中點E 連接AE DE 求證 BC 平面AED 圖1 證明 AB AC DB DC E為BC中點 AE BC DE BC 又 AE DE E BC 平面AED 2 如圖 圓O所在一平面為 AB是圓O的直徑 C在圓周上 且PAAC PAAB 求證 1 PABC 2 BC平面PAC 證明 PA O所在平面 BC O所在平面 PA BC AB為 O直徑 AC BC 又PA AC A BC 平面PAC 又AE 平面PAC BC AE AE PC PC BC C AE 平面PBC 例3 如圖6 已知PA O所在平面 AB為 O直徑 C是圓周上任一點 過A作AE PC于E 求證 AE 平面PBC 圖6 V A B C 提示 找AC中點D 連接VD BD 2 已知 正方體中 AC是面對角線 BD 是與AC異面的體對角線 求證 AC BD 正方體ABCD A B C D DD 正方形ABCD DD AC 證明 連接BD AC BD為對角線 AC BD DD BD D AC 平面D DB且BD 面D DB AC BD O P A 斜線 斜足 線面所成角 銳角 PAO 射影 關(guān)鍵 過斜線上一點作平面的垂線 線面所成的角 斜線和平面所成的角 1 直線和平面垂直直線和平面所成的角是直角直線和平面平行或在平面內(nèi)直線和平面所成的角是0 2 直線與平面所成的角 的取值范圍是 1 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 A1C1與面BB1D1D所成的角 A D C B 45o 2 在正方體ABCD A1B1C1D1中 求直線A1B和平面A1B1CD所成的角 O 求直線和平面所成的角 當(dāng)直線和平面斜交時 常有以下步驟 作 作出或找到斜線與射影所成的角 證 論證所作或找到的角為所求的角 算 常用解三角形的方法求角 結(jié)論 說明斜線和平面所成的角值 圖5 1 如圖5 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為 A 答案 D 解析 如圖22 連接A1C1 則 AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成角 圖22 1 若兩直線a與b異面 則過a且與b垂直的平面 A 有且只有一個B 可能存在也可能不存在C 有無數(shù)多個D 定不存在 2 正方形ABCD P是正方形平面外的一點 且PA 平面ABCD 則在 PAB PBC PCD PAD PAC及 PBD中 為直角三角形有 個 B 課堂練習(xí) 5 1 直線與平面垂直的概念 1 利用定義 2 利用判定定理 3 數(shù)學(xué)思想方法 轉(zhuǎn)化的思想 知識小結(jié) 2 直線與平面垂直的判定 垂直與平面內(nèi)任意一條直線 3 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面 那么另一條也垂直于同一個平面 4 直線與平面所成的角 P為 ABC所在平面外一點 O為P在平面ABC上的射影 2 若PA PB PC 則O是 ABC的 3 若PA BC PB AC 則O是 ABC的 4 若P到 ABC三邊的距離相等 且O在 ABC內(nèi)部 則 O是 ABC的 5 若PA PB PC兩兩互相垂直 則O是 ABC的 外心 垂心 內(nèi)心 垂心 中 4 如圖25 圖25 P到 ABC三邊的距離分別是PD PE PF 則PD PE PF PO 平面ABC PD PE PF在平面ABC上的射影 分別是OD OE OF OD OE OF 且OD AB OE BC OF AC O是 ABC的內(nèi)心 PO 平面ABC OA是PA在平面ABC上的射影 又 PA PB PA PC PA 平面PBC 又 BC 平面PBC PA BC OA BC 同理可證OB AC O是 ABC的垂心 5 如圖26 圖26